Решетка пиявки

24-мерный повторяющийся узор из точек

В математике решетка Лича — это четная унимодулярная решетка Λ ₂₄ в 24-мерном евклидовом пространстве , которая является одной из лучших моделей для задачи целующегося числа . Он был открыт Джоном Личем  (1967). Возможно, он также был открыт (но не опубликован) Эрнстом Виттом в 1940 году.

Характеристика

Решетка Лича Λ ₂₄ — единственная решетка в 24-мерном евклидовом пространстве E 24 ^со следующим списком свойств:

• Он унимодулярный ; т.е. он может быть сгенерирован столбцами определенной матрицы 24×24 с определителем  1.
• Это даже; т. е. квадрат длины каждого вектора из Λ ₂₄ является четным целым числом.
• Длина каждого ненулевого вектора из Λ ₂₄ не меньше 2.

Последнее условие эквивалентно тому, что единичные шары с центрами в точках Λ ₂₄ не перекрываются. Каждый касается 196 560 соседей, и это, как известно, наибольшее количество непересекающихся 24-мерных единичных шаров, которые могут одновременно касаться одного единичного шара . Такое расположение 196 560 единичных шаров, центрированных вокруг другого единичного шара, настолько эффективно, что нет места для перемещения ни одного шара; эта конфигурация вместе со своим зеркальным отражением является единственной 24-мерной компоновкой, в которой 196 560 единичных шаров одновременно касаются друг друга. Это свойство также справедливо для 1, 2 и 8 измерений с 2, 6 и 240 единичными шарами соответственно, основанными на целочисленной решетке , шестиугольной мозаике и решетке E 8 соответственно.

Она не имеет корневой системы и фактически является первой унимодулярной решеткой без корней (векторы нормы меньше 4) и, следовательно, имеет плотность центра 1. Умножая это значение на объем единичного шара в 24 измерениях, , можно получить его абсолютную плотность. ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}}$

Конвей (1983) показал, что решетка Лича изометрична множеству простых корней (или диаграмме Дынкина ) группы отражений 26-мерной четной лоренцевой унимодулярной решетки II _25,1 . Для сравнения: диаграммы Дынкина II _9,1 и II _17,1 конечны.

Приложения

Двоичный код Голея , независимо разработанный в 1949 году, представляет собой приложение в теории кодирования . Точнее, это код, исправляющий ошибки, способный исправлять до трёх ошибок в каждом 24-битном слове и обнаруживать до семи. Его использовали для связи с зондами «Вояджер» , так как он гораздо компактнее ранее использовавшегося кода Адамара .

Квантизаторы или аналого-цифровые преобразователи могут использовать решетки для минимизации средней среднеквадратической ошибки. Большинство квантователей основаны на одномерной целочисленной решетке , но использование многомерных решеток уменьшает среднеквадратическую ошибку. Решетка Лича является хорошим решением этой проблемы, поскольку ячейки Вороного имеют низкий второй момент .

Вершинная алгебра двумерной конформной теории поля ^, описывающей бозонную теорию струн , компактифицированная на 24-мерном факторторе R24 /Λ24 _и орбифолдированная двухэлементной группой отражений, обеспечивает явную конструкцию алгебры Грисса , которая имеет группа монстров в качестве группы автоморфизмов. Эта чудовищная вершинная алгебра также использовалась для доказательства чудовищных гипотез самогона .

Конструкции

Решетка Лича может быть построена различными способами. Как и все решетки, ее можно построить, взяв целый интервал столбцов ее порождающей матрицы , матрицы 24×24 с определителем 1.

Матрица генератора пиявки

Генератор 24x24 (в виде строк) для решетки Лича задается следующей матрицей, разделенной на : ${\displaystyle {\sqrt {8}}}$

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0-3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

^[1]

Использование двоичного кода Голея

Решетка Лича может быть явно построена как набор векторов вида 2 ^−3/2 ( a ₁ , a ₂ , ..., a ₂₄ ), где a _i — целые числа такие, что

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}$

и для каждого фиксированного класса вычетов по модулю 4 24-битное слово, чьи единицы соответствуют координатам i таким, что a _i принадлежит этому классу вычетов, является словом в двоичном коде Голея . Код Голея вместе с соответствующим планом Витта используется в конструкции для 196560 минимальных векторов в решетке Лича.

Решетка Лича (L mod 8) может быть построена напрямую путем комбинации трех следующих наборов:

${\displaystyle L~=~~(4B+C)\otimes {1_{2^{12}}}~~+~~~{1_{2^{24}}}\otimes 2G~~~}$, ( вектор единиц размера n), ${\displaystyle {1_{n}}}$

• G — 24-битный код Голея
• B — Двоичная целочисленная последовательность
• C - последовательность Туэ-Морса или целочисленная сумма битов четности (которые обеспечивают киральность решетки)

24 - битное число Голея [ 2 ^ 12 кодов ] 24 - битное целое число [ 2 ^ 24 кода ] Решетка пиявки по четности [ 2 ^ 36 кодов ] G = B = C = L = ( 4 B + C ) ⊕ 2 G 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 0 00000000 00000000 00000000 11111111 00000000 00000000 10000000 00000000 00000000 1 22222222 00000000 00000000 11110000 11110000 00000000 01000000 00000000 00000000 1 22220000 22220000 00000000 00001111 11110000 00000000 11000000 00000000 00000000 0 ... 11001100 11001100 00000000 00100000 00000000 00000000 1 51111111 11111111 11111111 00110011 11001100 00000000 10100000 00000000 00000000 0 73333333 11111111 11111111 00111100 00111100 00000000 01100000 00000000 00000000 0 ... 11000011 00111100 00000000 11100000 00000000 00000000 1 15111111 11111111 11111111 10101010 10101010 00000000 00010000 00000000 00000000 1 37333333 11111111 11111111 01010101 10101010 00000000 10010000 00000000 00000000 0 ... 01011010 01011010 00000000 01010000 00000000 00000000 0 44000000 00000000 00000000 10100101 01011010 00000000 11010000 00000000 00000000 1 66222222 00000000 0 0000000                                                                                                                             ... ... ... ... 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 0 66666666 66666666 66666666            

Используя лоренцеву решетку II 25,1

Решетку Лича также можно построить так, где w — вектор Вейля: ${\displaystyle w^{\perp }/w}$

${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24;70)}$

в 26-мерной четной лоренцевой унимодулярной решетке II _25,1 . Существование такого целого вектора нулевой лоренцевой нормы основано на том факте, что 1 ² + 2 ² + ... + 24 ² является полным квадратом (фактически 70 ² ); число 24 — единственное целое число больше 1, обладающее этим свойством (см. задачу о пушечном ядре ). Это было предположено Эдуардом Люка , но доказательство пришло намного позже, основанное на эллиптических функциях .

Вектор в этой конструкции на самом деле является вектором Вейля четной подрешетки D ₂₄ нечетной унимодулярной решетки I ²⁵ . В более общем смысле, если L - любая положительно определенная унимодулярная решетка размерности 25 с по крайней мере 4 векторами нормы 1, то вектор Вейля ее корней нормы 2 имеет целую длину, и существует аналогичная конструкция решетки Лича с использованием L и это Вектор Вейля. ${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24)}$

На основе других решеток

Конвей и Слоан (1982) описали еще 23 конструкции решетки Лича, каждая из которых основана на решетке Нимейера . Его также можно построить с использованием трех копий решетки E8 , точно так же, как двоичный код Голея можно построить с использованием трех копий расширенного кода Хэмминга H ₈ . Эта конструкция известна как конструкция Тюрина решетки Лича.

В виде ламинированной решетки

Начав с одной точки Λ ₀ , можно сложить копии решетки Λ _n, чтобы сформировать ( n  + 1)-мерную решетку Λ _{n +1} , не уменьшая минимальное расстояние между точками. Λ ₁ соответствует целочисленной решетке , Λ ₂ — гексагональной решетке и Λ ₃ — гранецентрированной кубической упаковке. Конвей и Слоан (1982b) показали, что решетка Лича представляет собой уникальную слоистую решетку в 24 измерениях.

В виде сложной решетки

Решетка Лича также является 12-мерной решеткой над целыми числами Эйзенштейна . Она известна как комплексная решетка Лича и изоморфна 24-мерной реальной решетке Лича. В сложной конструкции решетки Лича двоичный код Голея заменяется троичным кодом Голея , а группа Матье М ₂₄ заменяется группой Матье М ₁₂ . Решетка E ₆ , решетка E ₈ и решетка Кокстера-Тодда также имеют конструкции как комплексные решетки либо над целыми числами Эйзенштейна, либо над гауссовыми числами .

Использование икосианского кольца

Решетка Лича также может быть построена с использованием кольца икосианов . Икосианское кольцо абстрактно изоморфно решетке E8 , три копии которой можно использовать для построения решетки Лича с помощью конструкции Тьюрина.

Конструкция Витта

В 1972 году Витт предложил следующую конструкцию, которую, по его словам, он нашел в 1940 году, 28 января. Предположим, что H — матрица Адамара размера n на n , где n = 4 ab . Тогда матрица определяет билинейную форму в 2 n измерениях, ядро ​​которой имеет n измерений. Фактор по этому ядру представляет собой неособую билинейную форму, принимающую значения в (1/2) Z . Он имеет три подрешетки индекса 2, которые являются целочисленными билинейными формами. Витт получил решетку Лича как одну из этих трех подрешеток, взяв a =2, b =3 и приняв H в качестве матрицы 24 на 24 (с индексом Z /23 Z ∪ ∞) с элементами Χ( m + n ), где Χ(∞)=1, Χ(0)=−1, Χ( n )= — символ квадратичного вычета по модулю 23 для ненулевого n . Эта матрица H является матрицей Пэли с некоторыми незначительными изменениями знака. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}}$

Использование матрицы Пэли

Чепмен (2001) описал конструкцию с использованием косой матрицы Адамара типа Пэли . Решетку Нимейера с системой корней можно превратить в модуль кольца целых чисел поля . Умножение этой решетки Нимейера на неглавный идеал кольца целых чисел дает решетку Лича. ${\displaystyle D_{24}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

Использование кодов остатка с более высокой степенью

Раджи (2005) построил решетку Лича, используя коды вычетов более высокой степени над кольцом . Аналогичная конструкция используется для построения некоторых других решеток ранга 24. ${\displaystyle Z_{4}}$

Использование октонионов

Если L — множество октонионов с координатами на решетке , то решетка Лича — это множество троек таких, что ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x,y,z\in L}$

${\displaystyle x+y,y+z,x+z\in L{\bar {s}}}$

${\displaystyle x+y+z\in Ls}$

где . Эта конструкция основана на (Wilson 2009). ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})}$

Симметрии

Решетка Лича очень симметрична. Ее группой автоморфизмов является группа Конвея Co ₀ , имеющая порядок 8 315 553 613 086 720 000. Центр Co ₀ имеет два элемента, а фактор Co ₀ по этому центру является группой Конвея Co ₁ , конечной простой группа. Многие другие спорадические группы , такие как оставшиеся группы Конвея и группы Матье , могут быть построены как стабилизаторы различных конфигураций векторов в решетке Лича.

Несмотря на такую ​​высокую группу вращательной симметрии, решетка Лича не обладает гиперплоскостями отражательной симметрии. Другими словами, решетка Лича киральна . Он также имеет гораздо меньше симметрий, чем 24-мерный гиперкуб и симплекс или даже декартово произведение трех копий решетки E8 .

Группа автоморфизмов была впервые описана Джоном Конвеем . 398034000 векторов нормы 8 распадаются на 8292375 «крестов» 48 векторов. Каждый крест содержит 24 взаимно ортогональных вектора и их отрицательные значения и, таким образом, описывает вершины 24-мерного ортоплекса . Каждый из этих крестов можно принять за систему координат решетки и имеет ту же симметрию, что и код Голея , а именно 2 ¹² × |M ₂₄ |. Следовательно, полная группа автоморфизмов решетки Лича имеет порядок 8292375 × 4096 × 244823040, или 8 315 553 613 086 720 000.

Геометрия

Конвей, Паркер и Слоан (1982) показали, что радиус покрытия решетки Лича равен ; другими словами, если мы поместим замкнутый шар этого радиуса вокруг каждой точки решетки, то они просто покроют евклидово пространство. Точки, находящиеся на расстоянии не менее всех точек решетки, называются глубокими дырами решетки Лича. Под группой автоморфизмов решетки Лича их 23 орбиты, и эти орбиты соответствуют 23 решеткам Нимейера, отличным от решетки Лича: множество вершин глубокой дыры изометрично аффинной диаграмме Дынкина соответствующей решетки Нимейера. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Решетка Лича имеет плотность . Кон и Кумар (2009) показали, что это дает самую плотную решетчатую упаковку шаров в 24-мерном пространстве. Генри Кон, Абхинав Кумар и Стивен Д. Миллер и др. (2017) улучшили это, показав, что это самая плотная упаковка сфер, даже среди нерешетчатых упаковок. ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930}$

196560 минимальных векторов бывают трех разных разновидностей, известных как фигуры :

• ${\displaystyle 1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}}$векторы формы (4 ² ,0 ²² ) для всех перестановок и выбора знака;
• ${\displaystyle 97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}}$векторы формы (2 ⁸ ,0 ¹⁶ ), где 2 соответствуют октаде в коде Голея и имеется любое четное количество знаков минус;
• ${\displaystyle 98304=2^{12}\cdot 24}$векторы формы (∓3,±1 ²³ ), где нижний знак используется для единиц любого кодового слова кода Голея, а «∓3» может появляться в любой позиции.

Тернарный код Голея , двоичный код Голея и решетка Лича дают очень эффективные 24-мерные сферические коды из 729, 4096 и 196560 точек соответственно. Сферические коды — это многомерные аналоги проблемы Таммеса , возникшей как попытка объяснить распределение пор на пыльцевых зернах. Они распределены так, чтобы максимизировать минимальный угол между ними. В двух измерениях проблема тривиальна, а в трех измерениях и выше — нет. Примером сферического кода в трех измерениях является набор из 12 вершин правильного икосаэдра.

Тета серия

Любой (положительно определенной) решетке Λ можно сопоставить тэта-функцию , заданную формулой

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \operatorname {Im} \tau >0.}$

Тогда тэта-функция решетки является голоморфной функцией в верхней полуплоскости . Более того, тэта-функция четной унимодулярной решетки ранга n на самом деле является модулярной формой веса n /2 для полной модулярной группы PSL(2, Z ). Тета-функция целой решетки часто записывается в виде степенного ряда , так что коэффициент при q ⁿ дает количество векторов решетки с квадратом нормы 2 n . В решетке Лича имеется 196560 векторов квадрата нормы 4, 16773120 векторов квадрата нормы 6, 398034000 векторов квадрата нормы 8 и так далее. Тета-ряд решетки Лича: ${\displaystyle q=e^{2i\pi \tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{\Lambda _{24}}(\tau )&=E_{12}(\tau )-{\frac {65520}{691}}\Delta (\tau )\\[5pt]&=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right)q^{m}\\[5pt]&=1+196560q^{2}[phone]q^{3}[phone]q^{4}+\cdots ,\end{aligned}}}$

где – нормированный ряд Эйзенштейна веса 12, – модульный дискриминант , – функция делителя для показателя 11, – тау-функция Рамануджана . Отсюда следует, что при m ≥1 число векторов квадрата нормы 2 m равно ${\displaystyle E_{12}(\tau )}$ ${\displaystyle \Delta (\tau )}$ ${\displaystyle \sigma _{11}(n)}$ ${\displaystyle \tau (n)}$

${\displaystyle {\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right).}$

История

Многие сечения решетки Лича, включая решетку Коксетера-Тодда и решетку Барнса-Уолла , в 12 и 16 измерениях, были обнаружены намного раньше, чем решетка Лича. О'Коннор и Палл (1944) открыли родственную нечетную унимодулярную решетку в 24 измерениях, теперь называемую нечетной решеткой Лича , одним из двух четных соседей которой является решетка Лича. Решетка Лича была открыта в 1965 году Джоном Личем  (1967, 2.31, стр. 262) путем улучшения некоторых ранее обнаруженных им упаковок сфер (Leech 1964).

Конвей  (1968) вычислил порядок группы автоморфизмов решетки Лича и, работая с Джоном Г. Томпсоном , открыл три новые спорадические группы в качестве побочного продукта: группы Конвея , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃ . Они также показали, что четыре других (тогда) недавно объявленных спорадических группы, а именно, Хигмана-Симса , Сузуки , Маклафлина и группу Янко J2 _, можно было найти внутри групп Конвея, используя геометрию решетки Лича. (Ронан, стр. 155)

Bei dem Veruch, eine Form aus einer solchen Klasse wirklich anzugeben, fand Ich mehr als 10 verschiedene Klassen in Γ ₂₄

Витт (1941, стр. 324)

У Витта (1941, стр. 324) есть единственное довольно загадочное предложение, в котором упоминается, что он обнаружил более 10 даже унимодулярных решеток в 24 измерениях, но не приводится дополнительных подробностей. Витт (1998, стр. 328–329) заявил, что он нашел 9 таких решеток ранее в 1938 году и нашел еще две - решетку Нимейера с A²⁴
₁корневая система и решетка Лича (а также нечетная решетка Лича), 1940 г.

Смотрите также

• Сферическая упаковка
• Решетка Е ₈

Рекомендации

1. Конвей, Дж. Х .; Слоан, NJA (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290, При участии Баннаи Э.; Борчердс, RE; Лич, Дж.; Нортон, СП; Одлыжко А.М.; Паркер, РА; Королева, Л.; Венков, BB (Третье изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, МР  0662447, Збл  0915.52003

• Чепмен, Робин (2001), «Матрицы конференций и унимодулярные решетки», European Journal of Combinatorics , 22 (8): 1033–1045, arXiv : math.NT/0007116 , doi : 10.1006/eujc.2001.0539, ISSN  0195-6698, МР  1861046, S2CID  744078, Збл  0993.05036
• Раджи, Мехрдад Ахмадзаде (2005), «Коды вычетов высшей степени и решетка пиявки», Журнал алгебраической комбинаторики , 21 (1): 39–53, doi : 10.1007/s10801-005-6279-4 , ISSN  1572-9192, S2CID  120908420
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2009), «Оптимальность и уникальность решетки Лича среди решеток», Annals of Mathematics , 170 (3): 1003–1050, arXiv : math.MG/0403263 , doi :10.4007/annals.2009.170.1003, ISSN  1939-8980, MR  2600869, S2CID  10696627, Збл  1213.11144
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2004), «Самая плотная решетка в двадцати четырех измерениях», Электронные объявления об исследованиях Американского математического общества , 10 (7): 58–67, arXiv : math.MG/0408174 , Bibcode : 2004math... ...8174C, doi :10.1090/S1079-6762-04-00130-1, ISSN  1079-6762, MR  2075897, S2CID  15874595
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав; Миллер, Стивен Д.; Радченко Даниил; Вязовская, Марина (2017), «Проблема упаковки сфер в размерности 24», Annals of Mathematics , 185 (3): 1017–1033, arXiv : 1603.06518 , Bibcode : 2016arXiv160306518C, doi : 10.4007/annals.2017.185.3.8, Идентификатор идентификатора  119281758
• Конвей, Джон Хортон (1968), «Идеальная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS.. .61..398C, doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR  0237634, PMC  225171 , PMID  16591697
• Конвей, Джон Хортон (1983), «Группа автоморфизмов 26-мерной даже унимодулярной лоренцевой решетки», Journal of Algebra , 80 (1): 159–163, doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X , ISSN  0021-8693, МР  0690711
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, NJA (1982b), «Ламинированные решетки», Annals of Mathematics , Second Series, 116 (3): 593–620, doi : 10.2307/2007025, ISSN  0003-486X, JSTOR  2007025, MR  0678483
• Конвей, Джон Хортон ; Паркер, РА; Слоан, Нью-Джерси (1982), «Радиус покрытия решетки Лича», Proceedings of the Royal Society A , 380 (1779): 261–290, Бибкод : 1982RSPSA.380..261C, doi : 10.1098/rspa.1982.0042, ISSN  0080-4630, MR  0660415, S2CID  202575323
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нью-Джерси (1982), «Двадцать три конструкции решетки Лича», Proceedings of the Royal Society A , 381 (1781): 275–283, Бибкод : 1982RSPSA.381..275C, doi : 10.1098/rspa.1982.0071 , ISSN  0080-4630, MR  0661720, S2CID  202575295
• Конвей, Дж. Х. ; Слоан, NJA (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290, При участии Баннаи Э.; Борчердс, RE; Лич, Дж.; Нортон, СП; Одлыжко А.М.; Паркер, РА; Королева, Л.; Венков, BB (Третье изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, МР  0662447, Збл  0915.52003
• Дю Сотой, Маркус (2009), В поисках самогона , Четвертая власть, ISBN 978-0-00-721462-4
• Грисс, Роберт Л. (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, МР  1707296
• Лич, Джон (1964), «Некоторые упаковки сфер в высшем пространстве», Canadian Journal of Mathematics , 16 : 657–682, doi : 10.4153/CJM-1964-065-1 , ISSN  0008-414X, MR  0167901, S2CID  123244939
• Лич, Джон (1967), «Заметки об упаковках сфер», Canadian Journal of Mathematics , 19 : 251–267, doi : 10.4153/CJM-1967-017-0 , ISSN  0008-414X, MR  0209983
• О'Коннор, RE; Палл, Г. (1944), «Построение целочисленных квадратичных форм определителя 1», Duke Mathematical Journal , 11 (2): 319–331, doi : 10.1215/S0012-7094-44-01127-0, ISSN  0012- 7094, МР  0010153
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через сферические упаковки к простым группам , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN. 978-0-88385-023-7, МР  0749038
• Ронан, Марк (2006), Симметрия и монстр , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280722-9, МР  2215662
• Уилсон, Роберт А. (2009), «Октонионы и решетка Лича», Journal of Algebra , 322 (6): 2186–2190, doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.03.021 , MR  2542837
• Витт, Эрнст (1941), «Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 14 : 323–337, doi : 10.1007/BF02940750, MR  0005508, S2CID  1208490 19
• Витт, Эрнст (1998), Сборник статей. Gesammelte Abhandlungen , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57061-5, МР  1643949

Внешние ссылки

• Решетка пиявки (CP4space)
• Вайсштейн, Эрик В. «Решетка пиявки». Математический мир .
• The Leech Lattice, Университет Иллинойса в Чикаго, сайт Марка Ронана
• Статьи Р.Э. Борчердса