Фундаментальный параллелограмм, определяемый парой векторов в комплексной плоскости.
Определение
Фундаментальная пара периодов — это пара комплексных чисел, отношение которых не является действительным. Если рассматривать их как векторы в , они линейно независимы . Решетка, порожденная и
Эту решетку также иногда обозначают, чтобы прояснить, что она зависит от и Она также иногда обозначается или просто двумя генераторами и называется базисом решетки . Параллелограмм с вершинами называется фундаментальным параллелограммом .
Хотя фундаментальная пара порождает решетку, у решетки нет какой-либо уникальной фундаментальной пары; на самом деле одной и той же решетке соответствует бесконечное число фундаментальных пар.
Алгебраические свойства
Можно увидеть ряд объектов недвижимости, перечисленных ниже.
Эквивалентность
Решетка, натянутая на периоды ω 1 и ω 2 , показывающая эквивалентную пару периодов α 1 и α 2 .
Две пары комплексных чисел и называются эквивалентными , если они порождают одну и ту же решетку: т. е. если
Нет внутренних точек
Фундаментальный параллелограмм не содержит дополнительных точек решетки внутри или на границе. И наоборот, любая пара точек решетки с этим свойством составляет фундаментальную пару и, более того, порождает одну и ту же решетку.
Модульная симметрия
Две пары и эквивалентны тогда и только тогда, когда существует матрица 2 × 2 с целыми элементами и определителем такая, что
Абелева группа отображает комплексную плоскость в фундаментальный параллелограмм. То есть каждую точку можно записать как целые числа с точкой в основном параллелограмме.
Поскольку это отображение идентифицирует противоположные стороны параллелограмма как одинаковые, фундаментальный параллелограмм имеет топологию тора . Эквивалентно, говорят, что фактормногообразие является тором.
Фундаментальный регион
Серым цветом обозначена каноническая фундаментальная область.
Определить как соотношение полупериода . Тогда базис решетки всегда можно выбрать так, чтобы он лежал в особой области, называемой фундаментальной областью . С другой стороны, всегда существует элемент проективной специальной линейной группы , который отображает базис решетки в другой базис, так что он лежит в фундаментальной области.
Фундаментальная область определяется множеством , которое состоит из множества плюс часть границы :
Затем фундаментальная область строится путем добавления границы слева и половины дуги внизу:
Речь идет о трех случаях:
Если и , то существует ровно два основания решетки с одинаковыми в фундаментальной области: и
Если , то четыре решетчатых основания имеют одинаковые : упомянутые два , и ,
Если , то существует шесть оснований решетки с одинаковыми : , , и их отрицаниями.
В закрытии фундаментальной области: и
Смотрите также
Существует ряд альтернативных обозначений решетки и фундаментальной пары, которые часто используются вместо нее. См., например, статьи о номе , эллиптическом модуле , отношении четверти периода и полупериода .