.png/1280px-OAS_valuation_tree_(es).png)
В финансах решетчатая модель [ 1] — это метод, применяемый для оценки деривативов , где требуется модель дискретного времени . Для опционов на акции типичным примером может быть ценообразование американского опциона , где решение об исполнении опциона требуется «в любое» время (в любое время) до и включая срок погашения. С другой стороны, непрерывная модель, такая как модель Блэка-Шоулза , позволит оценивать только европейские опционы , исполнение которых приходится на дату погашения опциона . Для деривативов по процентным ставкам решетки дополнительно полезны тем, что они решают многие проблемы, возникающие в непрерывных моделях, такие как приведение к номиналу . [2] Этот метод также используется для оценки некоторых экзотических опционов , когда из-за зависимости от траектории выигрыша методы Монте-Карло для оценки опционов не могут учитывать оптимальные решения о прекращении производного инструмента путем досрочного исполнения, [3] хотя методы в настоящее время существуют. для решения этой проблемы .
В общем, подход состоит в том, чтобы разделить время между настоящим моментом и истечением срока действия опциона на N дискретных периодов. В определенный момент времени n модель имеет конечное число результатов в момент времени n + 1, так что каждое возможное изменение состояния мира между n и n + 1 фиксируется в ветви. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет отображен каждый возможный путь между n = 0 и n = N. Затем вероятности оцениваются для каждого пути от n до n + 1. Результаты и вероятности движутся назад по дереву до тех пор, пока не будет рассчитана справедливая стоимость опциона на сегодняшний день.
Для акций и товаров применение выглядит следующим образом. Первый шаг — проследить эволюцию ключевой базовой переменной (переменных) опциона, начиная с сегодняшней спотовой цены , чтобы этот процесс соответствовал ее волатильности; Обычно предполагается логнормальное броуновское движение с постоянной волатильностью. [4] Следующим шагом является рекурсивная оценка опциона: шаг назад от последнего временного шага, где у нас есть стоимость исполнения в каждом узле; и применение нейтральной к риску оценки на каждом более раннем узле, где стоимость опциона представляет собой взвешенную по вероятности текущую стоимость восходящего и нисходящего узлов на более позднем временном шаге. Более подробную информацию см. в разделе Модель ценообразования биномиальных опционов § Метод , а также в разделе Рациональное ценообразование § Оценка, нейтральная к риску, для вывода логики и формул.
Как указано выше, решетчатый подход особенно полезен при оценке американских опционов , где выбор, досрочно ли исполнить опцион или оставить его, может быть смоделирован для каждой дискретной комбинации время/цена; это также справедливо и для бермудских опционов . По тем же причинам реальные опционы и опционы на акции сотрудников часто моделируются с использованием решетчатой структуры, хотя и с измененными допущениями. В каждом из этих случаев третьим шагом является определение того, будет ли опцион исполнен или удержан, а затем применить это значение в рассматриваемом узле. Здесь также легко моделируются некоторые экзотические опционы , например, барьерные опционы ; для других опций, зависящих от пути , предпочтение отдается моделированию . (Хотя были разработаны древовидные методы. [5] [6] )
Простейшей решетчатой моделью является модель ценообразования биномиальных опционов ; [7] стандартным («каноническим» [8] ) методом является метод, предложенный Коксом , Россом и Рубинштейном (CRR) в 1979 году; формулы см. на диаграмме. Было разработано более 20 других методов, [9] каждый из которых «выведен на основе различных предположений» относительно изменения цены базового актива. [4] В пределе , по мере увеличения количества временных шагов, они сходятся к логарифмически нормальному распределению и, следовательно, дают «ту же» цену опциона, что и Блэк-Шоулз: чтобы достичь этого, они будут различными способами стремиться к согласию с центральные моменты базового актива , необработанные моменты и/или лог-моменты на каждом временном шаге, измеренные дискретно . Дальнейшие улучшения предназначены для достижения стабильности относительно Блэка-Шоулза при изменении количества временных шагов. Фактически, более поздние модели построены на прямой конвергенции с моделью Блэка-Шоулза. [9]
Вариантом биномиала является трехчленное дерево [ 10] [11] , разработанное Фелимом Бойлом в 1986 году. Здесь цена акции может оставаться неизменной в течение определенного периода времени, а затем оценка опциона основывается на стоимости акции. в верхних, нижних и средних узлах на более позднем временном этапе. Что касается биномиального метода, существует аналогичный (хотя и меньший) набор методов. Считается [12], что триномиальная модель дает более точные результаты, чем биномиальная модель, когда моделируется меньшее количество временных шагов, и поэтому используется, когда скорость вычислений или ресурсы могут быть проблемой. Для ванильных вариантов по мере увеличения количества шагов результаты быстро сходятся, и тогда предпочтение отдается биномиальной модели из-за ее более простой реализации. Для экзотических вариантов триномиальная модель (или ее адаптации) иногда более стабильна и точна, независимо от размера шага.
Различные греки можно оценить прямо на решетке, где чувствительности рассчитываются с использованием конечных разностей . [13] Дельта и гамма , являющиеся чувствительностью стоимости опциона к цене, аппроксимируются с учетом различий между ценами опционов (с соответствующими спотовыми ценами) за один и тот же временной шаг. Тета , чувствительность ко времени, также оценивается с учетом цены опциона в первом узле дерева и цены опциона для того же места на более позднем временном шаге. (Второй временной шаг для триномиального, третий для биномиального. В зависимости от метода, если «коэффициент понижения» не является обратным «коэффициенту повышения», этот метод не будет точным.) Для rho чувствительность к процентным ставкам и вега , чувствительность к волатильности входных данных, измерение является косвенным, так как значение должно быть рассчитано второй раз на новой решетке, построенной с немного измененными входными данными - и чувствительность здесь также возвращается через конечную разность. См. также Fugit — расчетное время тренировки, которое обычно рассчитывается с использованием решетки.
Когда важно учесть волатильность или поверхность , можно построить подразумеваемые деревья . Здесь дерево решено таким образом, что оно успешно воспроизводит выбранные (все) рыночные цены для различных страйков и экспираций. Таким образом, эти деревья «гарантируют, что все европейские стандартные опционы (со сроками исполнения и сроками погашения, совпадающими с узлами дерева) будут иметь теоретическую стоимость, соответствующую их рыночным ценам». [14] Используя калиброванную решетку, можно затем оценить опционы с комбинациями исполнения и погашения, не котируемыми на рынке, так, чтобы эти цены соответствовали наблюдаемым моделям волатильности. Существуют как подразумеваемые биномиальные деревья , часто IBT Рубинштейна (R-IBT), [15] , так и подразумеваемые триномиальные деревья , часто Дерман -Кани- Крисс [14] (DKC; заменяет DK-IBT [16] ). Первый легче построить, но он соответствует только одной зрелости; последний будет согласовываться с известными (или интерполированными ) ценами на всех временных шагах и узлах, но в то же время требует их. (DKC фактически представляет собой дискретизированную модель локальной волатильности .)
Что касается построения, то для R-IBT первым шагом является восстановление «предполагаемых конечных риск-нейтральных вероятностей» спотовых цен. Затем, исходя из предположения, что все пути, ведущие к одному и тому же конечному узлу, имеют одинаковую нейтральную к риску вероятность, к каждому конечному узлу прикрепляется «вероятность пути». После этого «это так же просто, как один-два-три», и трехшаговая обратная рекурсия позволяет восстановить вероятности узла для каждого временного шага. Затем оценка опциона происходит стандартным образом, с заменой на p . Для DKC первым шагом является восстановление государственных цен, соответствующих каждому узлу дерева, чтобы они соответствовали наблюдаемым ценам опционов (т. е. поверхности волатильности). После этого для каждого узла находят верхнюю, нижнюю и среднюю вероятности так, что: их сумма равна 1; спотовые цены, соседние по времени, изменяются нейтрально к риску, включая дивидендную доходность ; государственные цены аналогично «растут» по безрисковой ставке. [17] (Решение здесь является итеративным для каждого шага времени, а не одновременным.) Что касается R-IBT, оценка опциона тогда осуществляется с помощью стандартной обратной рекурсии.
В качестве альтернативы биномиальные деревья Эджворта [18] допускают заданный аналитиком асимметрию и эксцесс в доходности спотовых цен; см. серию Эджворта . Этот подход полезен, когда поведение базового актива (заметно) отклоняется от нормального. Связанное с этим использование — калибровка дерева по улыбке волатильности (или поверхности) путем «разумного выбора» [19] значений параметров — оцененные здесь, опционы с разными страйками будут возвращать разные подразумеваемые волатильности. Для оценки американских опционов конечное распределение, созданное Эджвортом , можно комбинировать с R-IBT. Этот подход ограничен набором пар асимметрии и эксцесса, для которых доступны действительные распределения. Более поздние биномиальные деревья Джонсона [20] используют «семейство» распределений Джонсона , поскольку оно способно вместить все возможные пары.
Для нескольких нижних элементов можно построить полиномиальные решетки [21] , хотя количество узлов увеличивается экспоненциально с количеством нижних слоев. В качестве альтернативы, например, опционы «Корзина» могут быть оценены с использованием «приблизительного распределения» [22] с помощью дерева Эджворта (или Джонсона).
Решетки обычно используются при оценке опционов на облигации , свопов и других процентных деривативов [23] [24] В этих случаях оценка во многом аналогична приведенной выше, но требует дополнительного, нулевого шага построения дерева процентных ставок, на котором Затем основывается цена базового актива. Следующий шаг также отличается: базовая цена здесь строится посредством «обратной индукции», т.е. течет назад от срока погашения, накапливая приведенную стоимость запланированных денежных потоков в каждом узле, в отличие от движения вперед от даты оценки, как указано выше. Последний этап — оценка опциона — осуществляется в обычном порядке. Графику смотрите вверху, а описание — сбоку.
Исходная решетка строится путем дискретизации либо модели с короткими ставками , такой как Hull-White или Black Derman Toy , либо модели, основанной на форвардной ставке , такой как рыночная модель LIBOR или HJM . Что касается справедливости, для этих моделей также можно использовать триномиальные деревья; [25] обычно это относится к деревьям Халла-Уайта.
В соответствии с HJM [26] условие отсутствия арбитража подразумевает, что существует мартингальная вероятностная мера , а также соответствующее ограничение на «коэффициенты дрейфа» форвардных ставок. Они, в свою очередь, являются функциями волатильности форвардных ставок. [27] «Простое» дискретное выражение [28] для дрейфа позволяет выразить форвардные ставки в биномиальной решетке. Для этих моделей, основанных на форвардных курсах, в зависимости от допущений о волатильности решетка может не рекомбинироваться. [29] [26] (Это означает, что «движение вверх», за которым следует «движение вниз», не даст того же результата, что и «движение вниз», за которым следует «движение вверх».) В этом случае Решетку иногда называют «кустом», и количество узлов растет экспоненциально в зависимости от количества временных шагов. Для модели рынка Libor также доступна методология рекомбинированного биномиального дерева. [30]
Что касается моделей с короткими процентными ставками, они, в свою очередь, подразделяются на дополнительные категории: они будут либо основаны на равновесии ( Васичек и CIR ), либо безарбитражны ( Хо-Ли и последующие ). Это различие: для моделей, основанных на равновесии, кривая доходности является выходным сигналом модели, тогда как для моделей без арбитража кривая доходности является входными данными для модели. [31] В первом случае подход заключается в «калибровке» параметров модели таким образом, чтобы цены облигаций, полученные с помощью модели в ее непрерывной форме, лучше всего соответствовали наблюдаемым рыночным ценам. [32] Затем дерево строится как функция этих параметров. В последнем случае калибровка осуществляется непосредственно на решетке: подгонка осуществляется как к текущей временной структуре процентных ставок (т.е. кривой доходности ), так и к соответствующей структуре волатильности . Здесь калибровка означает, что дерево процентных ставок воспроизводит цены облигаций с нулевым купоном — и любых других ценных бумаг, чувствительных к процентной ставке, — используемых при построении кривой доходности ; обратите внимание на параллель с подразумеваемыми деревьями капитала, приведенными выше, и сравните Bootstrapping (finance) . Для моделей, предполагающих нормальное распределение (таких как Хо-Ли), калибровка может выполняться аналитически, тогда как для логарифмически нормальных моделей калибровка осуществляется с помощью алгоритма поиска корня ; см., например, описание в рамке модели Black-Derman-Toy .
Структура волатильности, т. е. вертикальное расстояние между узлами, здесь отражает волатильность ставок в течение квартала или другого периода, соответствующего временному шагу решетки. (Некоторые аналитики используют « реализованную волатильность », т.е. ставки, применимые исторически для данного временного шага; чтобы быть последовательными с точки зрения рынка, аналитики обычно предпочитают использовать текущие цены верхнего предела процентных ставок и подразумеваемую волатильность для Black-76 - цены каждого компонента каплета , см. « Ограничение процентной ставки § Подразумеваемая волатильность » . значения узлов (т.е. процентные ставки) должны быть рассчитаны для заданных нейтральных к риску вероятностей; с другой стороны, для капитала нельзя указать одну волатильность для каждого временного шага, т. е. у нас есть «улыбка», и дерево строится путем решения вероятностей, соответствующих указанным значениям базового актива в каждом узле.
После калибровки решетка процентных ставок затем используется для оценки различных инструментов с фиксированным доходом и деривативов. [26] Подход к опционам на облигации описан отдельно — обратите внимание, что этот подход решает проблему притяжения к номинальной стоимости , возникающую при подходах закрытой формы; см. модель Блэка – Шоулза § Оценка опционов на облигации . Для свопов логика почти идентична: на шаге 1 облигации заменяются свопами , а на шаге 2 — опционами на облигации. более поздний шаг, плюс для любого каплета ( флолета ), созревающего на данном временном шаге, разница между его базовой ставкой и краткосрочной ставкой в узле (и отражающая соответствующую долю подсчета дней и обмениваемую условную стоимость). Для облигаций с правом отзыва и продажи потребуется третий шаг: в каждом узле временного шага учитывать влияние встроенного опциона на цену облигации и/или цену опциона перед шагом назад на один временной шаг. (И отметим, что эти варианты не являются взаимоисключающими, и поэтому в облигацию может быть встроено несколько опционов; [33] гибридные ценные бумаги рассматриваются ниже.) Для других, более экзотических производных процентных ставок , аналогичные корректировки вносятся в шаги 1 и далее. О «греках», в основном о капитале, см. в следующем разделе.
Альтернативный подход к моделированию опционов на (американские) облигации, особенно с доходностью к погашению (YTM), использует модифицированные методы решетки акций. [34] Здесь аналитик строит дерево CRR YTM, применяя предположение о постоянной волатильности, а затем рассчитывает цену облигации как функцию этой доходности в каждом узле; Таким образом, цены здесь приближаются к номиналу. Второй шаг — затем включить любую временную структуру волатильности путем построения соответствующего дерева DKC (на основе каждого второго временного шага в дереве CRR: поскольку DKC является триномиальным, тогда как CRR является биномиальным), а затем использовать его для оценки опциона.
После мирового финансового кризиса 2007–2012 годов ценообразование свопов ( как правило) находится в рамках « многокривой », тогда как раньше оно не было единой кривой «самодисконтирования»; см. Процентный своп § Оценка и ценообразование . Здесь выплаты устанавливаются как функция ставки LIBOR , специфичной для рассматриваемого срока , а дисконтирование осуществляется по ставке OIS . Чтобы учесть это в решетчатой структуре, ставка OIS и соответствующая ставка LIBOR совместно моделируются в трехмерном дереве, построенном таким образом, чтобы ставки свопа LIBOR соответствовали друг другу. [35] После выполнения нулевого шага оценка будет продолжаться в основном так же, как и раньше, с использованием шагов 1 и далее, но здесь с денежными потоками, основанными на «измерении» LIBOR, и дисконтированием с использованием соответствующих узлов из «измерения» OIS.
Гибридные ценные бумаги , включающие в себя как акции, так и облигации, также оцениваются с использованием деревьев. [36] Для конвертируемых облигаций (CB) подход Цивериотиса и Фернандеса (1998) [37] заключается в разделении стоимости облигации в каждом узле на компонент «капитала», возникающий в ситуациях, когда CB будет конвертирован, и «долговая» составляющая, возникающая в ситуациях погашения ЦБ. Соответственно, деревья-близнецы строятся, где дисконтирование производится по безрисковой ставке и с поправкой на кредитный риск соответственно, а сумма представляет собой стоимость CB. [38] Существуют и другие методы, которые аналогичным образом сочетают дерево типа акций с деревом коротких ставок. [39] Альтернативный подход, первоначально опубликованный Goldman Sachs (1994), [40] не разделяет компоненты, а, скорее, дисконтирование осуществляется по безрисковой и рискованной процентной ставке, взвешенной с учетом вероятности конверсии, в пределах одного дерева. См. Конвертируемая облигация § Оценка , Условная конвертируемая облигация .
В более общем смысле, акционерный капитал можно рассматривать как опцион на покупку фирмы: [41] если стоимость фирмы меньше стоимости непогашенного долга, акционеры предпочтут не погашать долг фирмы; в противном случае они предпочли бы погасить долг, а не ликвидировать его (т.е. реализовать свой выбор ). Здесь для анализа капитала были разработаны решетчатые модели, [42] [43], особенно в отношении проблемных фирм . [44] Кроме того, что касается ценообразования корпоративного долга, отношения между ограниченной ответственностью акционеров и потенциальными разбирательствами по Главе 11 также были смоделированы с помощью решетки. [45]
Расчет «греков» для процентных деривативов происходит так же, как и для собственного капитала. Однако существует дополнительное требование, особенно для гибридных ценных бумаг: а именно, оценить чувствительность, связанную с общими изменениями процентных ставок. Для облигации со встроенным опционом стандартные расчеты дюрации и выпуклости на основе доходности к погашению не учитывают, как изменения процентных ставок изменят денежные потоки в результате исполнения опциона. Для решения этой проблемы вводятся эффективная длительность и -выпуклость . Здесь, как и в случае с ро и вега, рассмотренными выше, дерево процентных ставок перестраивается для параллельного сдвига кривой доходности вверх, а затем вниз , и эти показатели рассчитываются численно с учетом соответствующих изменений стоимости облигаций. [46]
{{cite web}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )