F4 (математика)

52-dimensional exceptional simple Lie group

В математике F ₄ — это группа Ли , а также ее алгебра Ли f ₄ . Это одна из пяти исключительных простых групп Ли . F ₄ имеет ранг 4 и размерность 52. Компактная форма односвязна, а ее внешняя группа автоморфизмов — тривиальная группа . Ее фундаментальное представление 26-мерно.

Компактная вещественная форма F ₄ — это группа изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как октонионная проективная плоскость OP ² . Это можно систематически увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат , принадлежащую Гансу Фройденталю и Жаку Титсу .

Существует 3 действительных формы : компактная, расщепляемая и третья. Они являются группами изометрий трех действительных алгебр Альберта .

Алгебра Ли F ₄ может быть построена путем добавления 16 генераторов, преобразующихся как спинор к 36-мерной алгебре Ли so (9), по аналогии с построением E 8 .

В старых книгах и статьях F ₄ иногда обозначается как E ₄ .

Алгебра

Диаграмма Дынкина

Диаграмма Дынкина для F ₄ выглядит следующим образом:.

Группа Вейля/Коксетера

Ее группа Вейля / Коксетера G = W (F ₄ ) является группой симметрии 24-клеточной системы : это разрешимая группа порядка 1152. Она имеет минимальную точную степень μ ( G ) = 24 , ^[1] которая реализуется действием на 24-клеточной системе . Группа имеет идентификатор (1152,157478) в библиотеке малых групп.

матрица Картана

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{array}}\right]}$

Ф4решетка

Решетка F ₄ представляет собой четырехмерную объемно-центрированную кубическую решетку (т. е. объединение двух гиперкубических решеток , каждая из которых лежит в центре другой). Они образуют кольцо, называемое кольцом кватернионов Гурвица . 24 кватерниона Гурвица нормы 1 образуют вершины 24-ячейки с центром в начале координат.

Корни F4

24 вершины 24-клеточного многоугольника (красный) и 24 вершины его дуального многоугольника (желтый) представляют собой 48 корневых векторов F4 _в этой проекции плоскости Коксетера.

48 корневых векторов F ₄ могут быть найдены как вершины 24-ячейки в двух двойственных конфигурациях, представляющих вершины двуклиновидной 288-ячейки, если длины ребер 24-ячеек равны:

24-клеточные вершины:

• 24 корня по (±1, ±1, 0, 0), переставляя координаты

Двойные 24-клеточные вершины:

• 8 корней по (±1, 0, 0, 0), переставляя координаты
• 16 корней по (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2).

Простые корни

Один выбор простых корней для F ₄ ,, задается строками следующей матрицы:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$

Диаграмма Хассе для корневого частично упорядоченного множества F4 _{показана} ниже справа.

Диаграмма Хассе корневого частично упорядоченного множества F ₄ с метками ребер, идентифицирующими добавленную простую корневую позицию

Ф4полиномиальный инвариант

Так же, как O( n ) является группой автоморфизмов, которые сохраняют квадратичные многочлены x ² + y ² + ... инвариантными, F ₄ является группой автоморфизмов следующего набора из 3 многочленов от 27 переменных. (Первый может быть легко подставлен в два других, получив 26 переменных).

${\displaystyle C_{1}=x+y+z}$

${\displaystyle C_{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2X{\overline {X}}+2Y{\overline {Y}}+2Z{\overline {Z}}}$

${\displaystyle C_{3}=xyz-xX{\overline {X}}-yY{\overline {Y}}-zZ{\overline {Z}}+XYZ+{\overline {XYZ}}}$

Где x , y , z являются вещественными значениями, а X , Y , Z являются октонионными значениями. Другой способ записи этих инвариантов — это (комбинации) Tr( M ), Tr( M ² ) и Tr( M ³ ) эрмитовой октонионной матрицы :

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x&{\overline {Z}}&Y\\Z&y&{\overline {X}}\\{\overline {Y}}&X&z\end{bmatrix}}}$

Набор многочленов определяет 24-мерную компактную поверхность.

Представления

Характеры конечномерных представлений действительных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой Вейля для характеров . Размерности наименьших неприводимых представлений следующие (последовательность A121738 в OEIS ):

1, 26, 52, 273, 324, 1053 (дважды), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119, 160056 (дважды), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912...

52-мерное представление является присоединенным представлением , а 26-мерное — бесследовой частью действия F ₄ на исключительной алгебре Альберта размерности 27.

Существуют два неизоморфных неприводимых представления размерностей 1053, 160056, 4313088 и т. д. Основными представлениями являются представления с размерностями 52, 1274, 273, 26 (соответствующие четырем узлам на диаграмме Дынкина в таком порядке, что двойная стрелка указывает от второго к третьему).

Ниже показаны вложения максимальных подгрупп F4 _{вплоть до размерности 273 с соответствующей матрицей проекции.}

Смотрите также

• 24-ячеечный
• Алгебра Альберта
• самолет Кейли
• Диаграмма Дынкина
• Фундаментальное представление
• Простая группа Ли

Ссылки

1. Сондерс, Нил (2014). «Минимальные точные степени перестановок для неприводимых групп Коксетера и бинарных полиэдральных групп». arXiv : 0812.0182 [math.GR].

• Адамс, Дж. Франк (1996). Лекции по исключительным группам Ли. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 978-0-226-00526-3. МР  1428422.
• Джон Баез , Октонионы , Раздел 4.2: F ₄ , Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. Онлайн-версия HTML по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html.
• Chevalley C, Schafer RD (февраль 1950 г.). «Исключительные простые алгебры Ли F(4) и E(6)». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 36 (2): 137–41. Bibcode :1950PNAS...36..137C. doi : 10.1073/pnas.36.2.137 . PMC  1063148 . PMID  16588959.
• Якобсон, Натан (1971-06-01). Исключительные алгебры Ли (1-е изд.). CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.