Георг Фридрих Бернхард Риман ( нем. [ˈɡeːɔʁk ˈfʁiːdʁɪç ˈbɛʁnhaʁt ˈʁiːman] ;[1][2]17 сентября 1826 г. – 20 июля 1866 г.) был немецкимматематиком, внесшим глубокий вклад ванализ,теорию чиселидифференциальную геометрию. В областидействительного анализаон в основном известен первой строгой формулировкой интеграла,интеграла Римана, и своей работой орядах Фурье. Его вклад вкомплексный анализвключает в себя, прежде всего, введениеримановых поверхностей, прорывающее новые горизонты в естественной геометрической трактовке комплексного анализа. Егостатья 1859 годаофункции подсчета простых чисел, содержащая первоначальное утверждениегипотезы Римана, считается основополагающей статьейаналитической теории чисел. Благодаря своему новаторскомувкладу в дифференциальную геометриюРиман заложил основы математикиобщей теории относительности.[3]Многие считают его одним из величайших математиков всех времен.[4][5]
Риман родился 17 сентября 1826 года в Брезеленце , деревне недалеко от Данненберга в королевстве Ганновер . Его отец, Фридрих Бернхард Риман, был бедным лютеранским пастором в Брезеленце, который сражался в Наполеоновских войнах . Его мать, Шарлотта Эбель, умерла в 1846 году. Риман был вторым из шести детей. Риман проявлял исключительные математические способности, такие как способности к вычислениям, с раннего возраста, но страдал от робости и страха выступать на публике.
В 1840 году Риман отправился в Ганновер , чтобы жить со своей бабушкой и посещать лицей (средние школьные годы), поскольку такой тип школы был недоступен из его родной деревни. После смерти бабушки в 1842 году он перевелся в Johanneum Lüneburg, среднюю школу в Люнебурге . Там Риман усиленно изучал Библию , но его часто отвлекала математика. Его учителя были поражены его способностью выполнять сложные математические операции, в которых он часто превосходил знания своего наставника. В 1846 году, в возрасте 19 лет, он начал изучать филологию и христианское богословие , чтобы стать пастором и помочь с финансами своей семьи.
Весной 1846 года его отец, собрав достаточно денег, отправил Римана в Гёттингенский университет , где тот планировал учиться на теолога . Однако, оказавшись там, он начал изучать математику у Карла Фридриха Гаусса (в частности, его лекции по методу наименьших квадратов ). Гаусс рекомендовал Риману оставить теологическую работу и заняться математикой; получив одобрение отца, Риман перевелся в Берлинский университет в 1847 году. [6] Во время его учебы преподавали Карл Густав Якоб Якоби , Петер Густав Лежен Дирихле , Якоб Штайнер и Готтхольд Эйзенштейн . Он пробыл в Берлине два года и вернулся в Гёттинген в 1849 году.
Риман прочитал свои первые лекции в 1854 году, которые заложили основу области римановой геометрии и тем самым подготовили почву для общей теории относительности Альберта Эйнштейна . [ 7] В 1857 году была предпринята попытка повысить Римана до статуса экстраординарного профессора в Гёттингенском университете . Хотя эта попытка не удалась, она привела к тому, что Риману наконец была предоставлена регулярная зарплата. В 1859 году, после смерти Дирихле (который занимал кафедру Гаусса в Гёттингенском университете), он был повышен до главы математического факультета Гёттингенского университета. Он также был первым, кто предложил использовать измерения выше, чем просто три или четыре, для описания физической реальности. [8] [7]
В 1862 году он женился на Элизе Кох; 22 декабря 1862 года у них родилась дочь Ида Шиллинг. [9]
Риман бежал из Гёттингена, когда в 1866 году там столкнулись армии Ганновера и Пруссии . [10] Он умер от туберкулеза во время своего третьего путешествия в Италию в Селаске (ныне деревня Вербания на озере Маджоре ), где и был похоронен на кладбище в Биганцоло (Вербания).
Риман был преданным христианином, сыном протестантского священника, и видел свою жизнь математика как еще один способ служения Богу. В течение своей жизни он твердо придерживался своей христианской веры и считал ее самым важным аспектом своей жизни. В момент своей смерти он читал молитву Господу со своей женой и умер прежде, чем они закончили читать молитву. [11] Тем временем в Геттингене его экономка выбросила некоторые бумаги из его офиса, включая много неопубликованных работ. Риман отказался публиковать незавершенную работу, и некоторые глубокие идеи могли быть утеряны. [10]
Надгробие Римана в Биганцоло (Италия) ссылается на Послание к Римлянам 8:28: [12]
Георг Фридрих Бернхард Риман
Профессор в Гёттингене
родился в Брезеленце 17 сентября 1826 года
умер в Селаске 20 июля 1866 года
Опубликованные работы Римана открыли области исследований, объединяющие анализ с геометрией. Впоследствии они стали основными частями теорий римановой геометрии , алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий . Теория римановых поверхностей была разработана Феликсом Клейном и, в частности, Адольфом Гурвицем . Эта область математики является частью фундамента топологии и до сих пор применяется новыми способами в математической физике .
В 1853 году Гаусс попросил Римана, своего ученика, подготовить Habilitationsschrift по основам геометрии. В течение многих месяцев Риман разрабатывал свою теорию высших измерений и прочитал свою лекцию в Геттингене 10 июня 1854 года под названием Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen . [13] [14] [15] Она была опубликована только двенадцать лет спустя в 1868 году Дедекиндом, через два года после его смерти. Ее ранний прием, по-видимому, был медленным, но теперь она признана одной из важнейших работ по геометрии.
Предметом, основанным этой работой, является риманова геометрия . Риман нашел правильный способ расширить в n измерений дифференциальную геометрию поверхностей, что сам Гаусс доказал в своей теореме egregium . Фундаментальные объекты называются римановой метрикой и тензором кривизны Римана . Для поверхностного (двумерного) случая кривизна в каждой точке может быть сведена к числу (скаляру), при этом поверхности постоянной положительной или отрицательной кривизны являются моделями неевклидовых геометрий .
Метрика Римана — это набор чисел в каждой точке пространства (т. е. тензор ), который позволяет измерять скорость в любой траектории, интеграл которой дает расстояние между конечными точками траектории. Например, Риман обнаружил, что в четырех пространственных измерениях для описания расстояний и кривизн на многообразии , каким бы искаженным оно ни было, требуется десять чисел в каждой точке .
В своей диссертации он заложил геометрическую основу для комплексного анализа через римановы поверхности , с помощью которой многозначные функции, такие как логарифм (с бесконечным числом листов) или квадратный корень (с двумя листами), могут стать взаимно однозначными функциями . Комплексные функции являются гармоническими функциями [ требуется ссылка ] (то есть они удовлетворяют уравнению Лапласа и, следовательно, уравнениям Коши–Римана ) на этих поверхностях и описываются расположением их особенностей и топологией поверхностей. Топологический «род» римановых поверхностей задается как , где поверхность имеет листы, сходящиеся в точках ветвления. Для римановой поверхности есть параметры (« модули »).
Его вклад в эту область многочислен. Знаменитая теорема Римана об отображении гласит, что односвязная область в комплексной плоскости «биголоморфно эквивалентна» (т. е. между ними существует биекция, которая голоморфна с голоморфным обратным) либо , либо внутренней части единичного круга. Обобщением теоремы на римановы поверхности является знаменитая теорема об униформизации , которая была доказана в 19 веке Анри Пуанкаре и Феликсом Клейном . Здесь также строгие доказательства были впервые даны после разработки более богатого математического инструментария (в данном случае топологии). Для доказательства существования функций на римановых поверхностях он использовал условие минимальности, которое он назвал принципом Дирихле . Карл Вейерштрасс нашел пробел в доказательстве: Риман не заметил, что его рабочее предположение (о существовании минимума) может не работать; функциональное пространство может быть неполным, и, следовательно, существование минимума не гарантировалось. Благодаря работе Давида Гильберта в вариационном исчислении был окончательно установлен принцип Дирихле. В остальном Вейерштрасс был очень впечатлен Риманом, особенно его теорией абелевых функций . Когда появилась работа Римана, Вейерштрасс отозвал свою статью из журнала Крелле и не опубликовал ее. У них было хорошее взаимопонимание, когда Риман посетил его в Берлине в 1859 году. Вейерштрасс поощрял своего студента Германа Амандуса Шварца искать альтернативы принципу Дирихле в комплексном анализе, в чем тот преуспел. Анекдот Арнольда Зоммерфельда [16] показывает трудности, которые возникли у современных математиков с новыми идеями Римана. В 1870 году Вейерштрасс взял диссертацию Римана с собой в отпуск в Риги и пожаловался, что ее трудно понять. Физик Герман фон Гельмгольц помогал ему в работе всю ночь и вернулся с комментарием, что это было «естественно» и «весьма понятно».
Другие основные моменты включают его работу по абелевым функциям и тета-функциям на римановых поверхностях. Риман соревновался с Вейерштрассом с 1857 года в решении обратных задач Якоби для абелевых интегралов, обобщения эллиптических интегралов . Риман использовал тета-функции от нескольких переменных и свел задачу к определению нулей этих тета-функций. Риман также исследовал матрицы периодов и охарактеризовал их с помощью «римановых соотношений периодов» (симметричных, действительная часть отрицательна). Фердинанд Георг Фробениус и Соломон Лефшец доказали справедливость этого соотношения эквивалентно вложению (где — решетка матрицы периодов) в проективное пространство с помощью тета-функций. Для определенных значений это многообразие Якоби римановой поверхности, пример абелева многообразия.
Многие математики, такие как Альфред Клебш, продолжили работу Римана над алгебраическими кривыми. Эти теории зависели от свойств функции, определенной на римановых поверхностях. Например, теорема Римана–Роха (Рох был учеником Римана) говорит что-то о числе линейно независимых дифференциалов (с известными условиями на нули и полюсы) римановой поверхности.
Согласно Детлефу Лаугвицу , [17] автоморфные функции впервые появились в эссе об уравнении Лапласа на электрически заряженных цилиндрах. Однако Риман использовал такие функции для конформных отображений (таких как отображение топологических треугольников на окружность) в своей лекции 1859 года о гипергеометрических функциях или в своем трактате о минимальных поверхностях .
В области вещественного анализа он открыл интеграл Римана в своей абилитации . Среди прочего, он показал, что каждая кусочно-непрерывная функция интегрируема. Аналогично, интеграл Стилтьеса восходит к гёттингеровскому математику, и поэтому они вместе называются интегралом Римана–Стилтьеса .
В своей докторской работе по рядам Фурье , где он следовал работам своего учителя Дирихле, он показал, что функции, интегрируемые по Риману, «представимы» рядами Фурье. Дирихле показал это для непрерывных, кусочно-дифференцируемых функций (таким образом, со счетным числом недифференцируемых точек). Риман привел пример ряда Фурье, представляющего непрерывную, почти нигде не дифференцируемую функцию, случай, не охватываемый Дирихле. Он также доказал лемму Римана–Лебега : если функция представима рядом Фурье, то коэффициенты Фурье стремятся к нулю при больших n .
Эссе Римана также послужило отправной точкой для работы Георга Кантора с рядами Фурье, которая послужила толчком к развитию теории множеств .
Он также работал с гипергеометрическими дифференциальными уравнениями в 1857 году, используя сложные аналитические методы, и представил решения через поведение замкнутых путей вокруг особенностей (описываемых матрицей монодромии ). Доказательство существования таких дифференциальных уравнений с помощью ранее известных матриц монодромии является одной из проблем Гильберта.
Риман внес несколько известных вкладов в современную аналитическую теорию чисел . В одной короткой статье , единственной, которую он опубликовал по теме теории чисел, он исследовал дзета-функцию , которая теперь носит его имя, установив ее важность для понимания распределения простых чисел . Гипотеза Римана была одной из серии предположений, которые он сделал о свойствах функции.
В работе Римана есть еще много интересных разработок. Он доказал функциональное уравнение для дзета-функции (уже известной Леонарду Эйлеру ), за которой лежит тета-функция. Суммируя эту аппроксимирующую функцию по нетривиальным нулям на прямой с вещественной частью 1/2, он дал точную, «явную формулу» для .
Риман знал о работе Пафнутия Чебышева по теореме о простых числах . Он посетил Дирихле в 1852 году.
Работы Римана включают в себя:
