Ромб

Четырехугольник со сторонами одинаковой длины

Ромб имеет квадрат как частный случай и является частным случаем воздушного змея и параллелограмма .

В плоской евклидовой геометрии ромб ( мн. ч .: rhombi или rhombuses ) — это четырёхугольник , все четыре стороны которого имеют одинаковую длину. Другое название — равносторонний четырёхугольник , поскольку равносторонний означает, что все его стороны равны по длине. Ромб часто называют «бриллиантом » , по названию масти бубнов в игральных картах , которая напоминает проекцию октаэдрического бриллианта или ромба , хотя первое иногда относится конкретно к ромбу с углом 60° (который некоторые авторы называют калиссоном в честь французского sweet ^[1] — также см. Polyiamond ), а последнее иногда относится конкретно к ромбу с углом 45°.

Каждый ромб является простым (несамопересекающимся) и является частным случаем параллелограмма и воздушного змея . Ромб с прямыми углами является квадратом . ^[2]

Этимология

Слово «ромб» происходит от древнегреческого : ῥόμβος , романизированного :  rhómbos , означающего что-то вращающееся, ^[3] которое происходит от глагола ῥέμβω , романизированного: rhémbō , означающего «вращаться и вращаться». ^[4] Это слово использовалось как Евклидом , так и Архимедом , которые использовали термин «сплошной ромб» для биконуса , двух прямых круговых конусов, имеющих общее основание. ^[5]

Поверхность, которую мы сегодня называем ромбом, представляет собой поперечное сечение биконуса плоскостью, проходящей через вершины двух конусов.

Характеристика

Фотография ICM с ромбовидной композицией.

Простой ( несамопересекающийся ) четырехугольник является ромбом тогда и только тогда, когда он соответствует одному из следующих условий: ^{[6] [7} ]

• параллелограмм , в котором диагональ делит внутренний угол пополам
• параллелограмм, у которого по крайней мере две последовательные стороны равны по длине
• параллелограмм, в котором диагонали перпендикулярны ( ортодиагональный параллелограмм)
• четырехугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины (по определению)
• четырехугольник, в котором диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам
• четырехугольник, в котором каждая диагональ делит пополам два внутренних противолежащих угла
• четырехугольник ABCD, имеющий точку P в своей плоскости, такую, что четыре треугольника ABP , BCP , CDP и DAP все конгруэнтны ^[8]
• четырехугольник ABCD , в котором вписанные окружности треугольников ABC , BCD , CDA и DAB имеют общую точку ^[9]

Основные свойства

Каждый ромб имеет две диагонали, соединяющие пары противоположных вершин, и две пары параллельных сторон. Используя конгруэнтные треугольники , можно доказать , что ромб симметричен относительно каждой из этих диагоналей. Из этого следует, что любой ромб обладает следующими свойствами:

• Противоположные углы ромба имеют одинаковую величину.
• Две диагонали ромба перпендикулярны ; то есть ромб является ортодиагональным четырёхугольником .
• Его диагонали делят пополам противолежащие углы.

Первое свойство подразумевает, что каждый ромб является параллелограммом . Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма : например, противоположные стороны параллельны; смежные углы являются дополнительными ; две диагонали делят друг друга пополам; любая линия, проходящая через середину, делит площадь пополам; и сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей ( закон параллелограмма ). Таким образом, обозначая общую сторону как a , а диагонали как p и q , в каждом ромбе

${\displaystyle \displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}.}$

Не каждый параллелограмм является ромбом, хотя любой параллелограмм с перпендикулярными диагоналями (второе свойство) является ромбом. В общем случае любой четырехугольник с перпендикулярными диагоналями, одна из которых является линией симметрии, является воздушным змеем . Каждый ромб является воздушным змеем, и любой четырехугольник, который является одновременно воздушным змеем и параллелограммом, является ромбом.

Ромб — это описанный четырёхугольник . ^[10] То есть, он имеет вписанную окружность , которая касается всех четырёх сторон.

Ромб. Каждый угол, отмеченный черной точкой, является прямым углом. Высота h — это перпендикулярное расстояние между любыми двумя несмежными сторонами, которое равно диаметру вписанной окружности. Диагонали длиной p и q — это красные пунктирные отрезки.

Диагонали

Длину диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через сторону ромба a и один угол при вершине α следующим образом:

${\displaystyle p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}}$

и

${\displaystyle q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}.}$

Эти формулы являются прямым следствием закона косинусов .

Внутренний радиус

Радиус вписанной окружности (радиус окружности, вписанной в ромб), обозначаемый r , можно выразить через диагонали p и q следующим образом ^[10]

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}},}$

или в терминах длины стороны a и любого угла при вершине α или β как

${\displaystyle r={\frac {a\sin \alpha }{2}}={\frac {a\sin \beta }{2}}.}$

Область

Как и для всех параллелограммов , площадь ромба K равна произведению его основания на высоту ( h ). Основание — это просто длина любой стороны a :

${\displaystyle K=a\cdot h.}$

Площадь также можно выразить как квадрат основания , умноженный на синус любого угла:

${\displaystyle K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}$

или через высоту и угол при вершине :

${\displaystyle K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},}$

или как половина произведения диагоналей p , q :

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}},}$

или как произведение полупериметра на радиус окружности , вписанной в ромб (inradius):

${\displaystyle K=2a\cdot r.}$

Другой способ, как и в случае с параллелограммами, заключается в том, чтобы рассматривать две смежные стороны как векторы, образующие бивектор , так что площадь равна величине бивектора (величине векторного произведения двух векторов), которая является определителем декартовых координат двух векторов: K = x ₁ y ₂ – x ₂ y ₁ . ^[11]

Двойные свойства

Двойственный многоугольник ромба — прямоугольник : ^[12]

• У ромба все стороны равны, а у прямоугольника все углы равны.
• У ромба противолежащие углы равны, а у прямоугольника противолежащие стороны равны.
• В ромб вписана окружность, а в прямоугольник — описанная окружность .
• Ромб имеет ось симметрии, проходящую через каждую пару противоположных углов при вершине, в то время как прямоугольник имеет ось симметрии, проходящую через каждую пару противоположных сторон.
• Диагонали ромба пересекаются под равными углами, а диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину.
• Фигура, образованная соединением середин сторон ромба, является прямоугольником , и наоборот.

Декартово уравнение

Стороны ромба с центром в начале координат, диагонали которого лежат на одной оси, состоят из всех точек ( x, y ), удовлетворяющих условию

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.}$

Вершины находятся в и Это частный случай суперэллипса с показателем 1. ${\displaystyle (\pm a,0)}$ ${\displaystyle (0,\pm b).}$

Другие свойства

• Одним из пяти типов двумерных решеток является ромбическая решетка, также называемая центрированной прямоугольной решеткой .
• Ромбы могут замостить двухмерную плоскость ребром к ребру и периодически тремя различными способами, включая, для ромба 60°, ромбическую замощение .

• Трехмерными аналогами ромба являются бипирамида и биконус как поверхность вращения .

Как грани многогранника

Выпуклые многогранники с ромбами включают бесконечное множество ромбических зоноэдров , которые можно рассматривать как проективные оболочки гиперкубов .

• Ромбоэдр (также называемый ромбическим шестидесятигранником) — это трехмерная фигура, похожая на кубоид (также называемый прямоугольным параллелепипедом), за исключением того, что его три пары параллельных граней представляют собой до трех типов ромбов вместо прямоугольников.
• Ромбододекаэдр — выпуклый многогранник , гранями которого являются 12 равных ромбов .
• Ромбический триаконтаэдр — выпуклый многогранник , гранями которого являются 30 золотых ромбов (ромбы, диагонали которых находятся в золотом сечении ).
• Большой ромбический триаконтаэдр — невыпуклый равногранный , изотоксальный многогранник с 30 пересекающимися ромбическими гранями.
• Ромбический гексаконтаэдр является звёздчатой ​​формой ромбического триаконтаэдра. Он невыпуклый с 60 золотыми ромбическими гранями с икосаэдрической симметрией .
• Ромбический эннеаконтаэдр — многогранник, состоящий из 90 ромбических граней, в каждой вершине которого сходятся три, пять или шесть ромбов. Он имеет 60 широких ромбов и 30 узких.
• Ромбический икосаэдр — многогранник, состоящий из 20 ромбических граней, из которых три, четыре или пять сходятся в каждой вершине. Он имеет 10 граней на полярной оси с 10 гранями, следующими за экватором.

Смотрите также

• Меркель-Рауте
• Ромб Михаэлиса в анатомии человека
• Ромбоид , параллелепипед или параллелограмм, который не является ни ромбом, ни прямоугольником.
• Ромбическая антенна
• Ромбические шахматы
• Флаг департамента Северный Сантандер Колумбии, содержащий четыре звезды в форме ромба.
• Суперэллипс (включает ромб с закругленными углами)

Ссылки

1. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (31 декабря 2015 г.). Математическая космическая одиссея: объемная геометрия в 21 веке. Американское математическое общество. ISBN 9781614442165.
2. Примечание: Первоначальное определение ромба, данное Евклидом , и определение ромба в некоторых английских словарях исключают квадраты, но современные математики предпочитают инклюзивное определение. См., например, De Villiers, Michael (февраль 1994 г.). "The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals". For the Learning of Mathematics . 14 (1): 11–18. JSTOR  40248098.
3. ῥόμβος Архивировано 2013-11-08 в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
4. ρέμβω Архивировано 08.11.2013 в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
5. "Происхождение ромба". Архивировано из оригинала 2015-04-02 . Получено 2005-01-25 .
6. Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения». Архивировано 26 февраля 2020 г. в Wayback Machine , Information Age Publishing, 2008 г., стр. 55–56.
7. Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейрдре Смельцер , Методы евклидовой геометрии. Архивировано 01.09.2019 в Wayback Machine , Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 53.
8. Paris Pamfilos (2016), «Характеристика ромба», Forum Geometricorum 16 , стр. 331–336, [1] Архивировано 23 октября 2016 г. на Wayback Machine
9. "IMOmath, "26-я Бразильская математическая олимпиада 2004 года"" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-10-18 . Получено 2020-01-06 .
10. Вайсштейн, Эрик В. «Ромб». Математический мир .
11. WildLinAlg, эпизод 4, архив 2017-02-05 в Wayback Machine , Норман Дж. Уайлдбергер, Университет Нового Южного Уэльса, 2010, лекция через youtube
12. Де Вильерс, Майкл, «Равноугольные вписанные и равносторонние описанные многоугольники», Mathematical Gazette 95, март 2011 г., 102–107.

Внешние ссылки

• Параллелограмм и ромб - Анимированный курс (Построение, Окружность, Площадь)
• Определение ромба, Math Open Reference с интерактивным апплетом.
• Площадь ромба, Math Open Reference - показывает три различных способа вычисления площади ромба с помощью интерактивного апплета