Вписать и вписать в окружность

Окружности, касающиеся всех трех сторон треугольника

Вписанная и вписанная окружности треугольника.

  Расширенные стороны треугольника △ ABC

  Incircle ( в центре I )

  Экскруги (эксцентры в J _A , J _B , J _C )

  Внутренние биссектрисы угла

  Биссектрисы внешнего угла (образующие внецентральный треугольник)

В геометрии вписанная окружность или вписанная окружность треугольника — это наибольшая окружность , которая может содержаться в треугольнике; он касается (касается ) трех сторон. Центр вписанной окружности — это центр треугольника, называемый вписанным центром треугольника . ^[1]

Внеписанная окружность или вписанная окружность ^[2] треугольника — это окружность, лежащая вне треугольника, касающаяся одной из его сторон и касающаяся продолжений двух других . Каждый треугольник имеет три различных вписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника. ^[3]

Центр вписанной окружности, называемый вписанной окружностью , можно найти как пересечение трех внутренних биссектрис . ^{[3] [4]} Центр вписанной окружности — это пересечение внутренней биссектрисы одного угла ( например, в вершине A ) и внешних биссектрис двух других. Центр этой окружности называется эксцентром относительно вершины A или эксцентром A. ^[3] Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вписанной окружности образуют ортоцентрическую систему . ^[5] но не все полигоны таковы; те, которые это делают, представляют собой тангенциальные многоугольники . См. также касательные к окружностям .

Окружность и центр

Предположим, есть вписанная окружность с радиусом и центром . Позвольте быть длиной , длиной и длиной . Также пусть , и будут точками касания вписанной окружности , и . ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

Инцентр

Инцентр — это точка, в которой встречаются биссектрисы внутренних углов . ${\displaystyle \angle ABC,\angle BCA,{\text{ and }}\angle BAC}$

Расстояние от вершины до центра равно: ^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.}$$

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки треугольника — это отношение всех расстояний к сторонам треугольника. Поскольку инцентр находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника, трилинейные координаты инцентра равны ^[6] $${\displaystyle \ 1:1:1.}$$

Барицентрические координаты

Барицентрические координаты точки в треугольнике задают веса так, что точка представляет собой средневзвешенное значение положений вершин треугольника. Барицентрические координаты центра определяются выражением $${\displaystyle \ a:b:c}$$

где , , и — длины сторон треугольника, или, что то же самое (используя закон синусов ), по формуле ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C}$$

где , , и – углы при трех вершинах. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Декартовы координаты

Декартовы координаты центра представляют собой средневзвешенное значение координат трех вершин с использованием длин сторон треугольника относительно периметра (то есть с использованием приведенных выше барицентрических координат, нормализованных для суммы, равной единице) в качестве весов. Веса положительны, поэтому центр находится внутри треугольника, как указано выше. Если три вершины расположены в точках , , и , а стороны, противоположные этим вершинам, имеют соответствующие длины , , и , то центр тяжести находится в ^{[ необходима ссылка на источник ]} ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$ ${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$ ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}$$

Радиус

Внутренний радиус вписанной окружности в треугольнике со сторонами длины , , определяется выражением ^[7] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}$$

где полупериметр. ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длин от , от и от . ^[8] ${\displaystyle s-a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s-b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle s-c}$ ${\displaystyle C}$

См. формулу Герона .

Расстояния до вершин

Обозначая центр треугольника как , расстояния от центра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению ^[9] ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

Кроме того, ^[10] $${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},}$$

где и — радиус описанной и внутренней окружности треугольника соответственно. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

Другие объекты недвижимости

Совокупности центров треугольников можно придать структуру группы при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе центральная часть образует идентификационный элемент . ^[6]

Вписанная окружность и ее свойства радиуса

Расстояния между вершиной и ближайшими точками касания

Расстояния от вершины до двух ближайших точек касания равны; например: ^[11] $${\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=s-a.}$$

Другие объекты недвижимости

Если высоты со сторон длин , , и равны , , и , то радиус составляет одну треть гармонического среднего этих высот; то есть ^[12] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h_{a}}$ ${\displaystyle h_{b}}$ ${\displaystyle h_{c}}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.}$$

Произведение радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности треугольника со сторонами , , и равно ^[13] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$$

Некоторые соотношения между сторонами, радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности: ^[14] $${\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}$$

Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности). В любом треугольнике их может быть один, два или три. ^[15]

Обозначая центр вписанной окружности в as , имеем ^[16] ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1}$$

и ^{[17] : 121, #84.} $${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2}.}$$

Радиус вписанной окружности не превышает одной девятой суммы высот. ^{[18] : 289}

Квадрат расстояния от центра до центра описанной окружности определяется выражением ^{[19] : 232.} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle O}$ $${\displaystyle {\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$$

а расстояние от центра до центра девятиточечного круга равно ^{[19] : 232.} ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.}$$

Инцентр лежит в медиальном треугольнике (вершины которого являются серединами сторон). ^{[19] : 233, Лемма 1.}

Отношение к площади треугольника

Радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника. ^[20] Отношение площади вписанного круга к площади треугольника меньше или равно , причем равенство справедливо только для равносторонних треугольников . ^[21] ${\displaystyle \pi {\big /}3{\sqrt {3}}}$

Предположим, есть вписанная окружность с радиусом и центром . Позвольте быть длиной , длиной и длиной . Теперь вписанная окружность в какой-то точке касается , и это правильно. Таким образом , радиус равен высоте . Следовательно, имеет базовую длину и высоту , а также площадь . Аналогично, имеет площадь и имеет площадь . Поскольку эти три треугольника разлагаются , мы видим, что площадь равна: и ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \angle AT_{C}I}$ ${\displaystyle T_{C}I}$ ${\displaystyle \triangle IAB}$ ${\displaystyle \triangle IAB}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$ ${\displaystyle \triangle IAC}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$ ${\displaystyle \triangle IBC}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \Delta {\text{ of }}\triangle ABC}$ $${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}$$         ${\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}$

где - площадь и - его полупериметр . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

В качестве альтернативной формулы рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, у которого одна сторона равна , а другая сторона равна . То же самое верно и для . Большой треугольник состоит из шести таких треугольников, а его общая площадь составляет: ^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle \triangle IT_{C}A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\cot {\tfrac {A}{2}}}$ ${\displaystyle \triangle IB'A}$ $${\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).}$$

Жергонский треугольник и точка

  Треугольник △ ABC

  Incircle ( в центре I )

  Контактный треугольник △ T _A T _B T _C

  Линии между противоположными вершинами △ ABC и △ T _A T _B T _C (совпадают в точке Жергонна G _e )

Треугольник Жергонна (из ) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трех сторонах. Точка касания напротив обозначается и т.д. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{A}}$

Этот треугольник Жергонна также известен как контактный треугольник или треугольник касания . Его площадь ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ $${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$$

где , , и — площадь, радиус вписанной окружности и полупериметр исходного треугольника, а , , и — длины сторон исходного треугольника. Это та же область, что и у треугольника касания . ^[22] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Три линии пересекаются в одной точке , называемой точкой Жергонна , обозначаемой как (или центр треугольника X ₇ ). Точка Жергонна лежит в открытом ортоцентроидальном диске, проколотом в своем центре, и может быть любой точкой внутри него. ^[23] ${\displaystyle AT_{A}}$ ${\displaystyle BT_{B}}$ ${\displaystyle CT_{C}}$ ${\displaystyle G_{e}}$

Точка Жергонна треугольника обладает рядом свойств, в том числе тем, что она является симедианой точкой треугольника Жергонна. ^[24]

Трилинейные координаты вершин касающегося треугольника задаются формулой ^{[ нужна ссылка ]} $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}}$$

Трилинейные координаты точки Жергонна задаются формулой ^{[ нужна ссылка ]} $${\displaystyle \sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

или, что то же самое, по закону синусов , $${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}$$

Экскруги и эксцентры

  Расширенные стороны △ ABC

  Incircle ( в центре I )

  Экскруги (эксцентры в J _A , J _B , J _C )

  Внутренние биссектрисы угла

  Биссектрисы внешнего угла (образующие внецентральный треугольник)

Внеписанная окружность или вписанная окружность ^[2] треугольника — это окружность, лежащая вне треугольника, касающаяся одной из его сторон и касающаяся продолжений двух других . Каждый треугольник имеет три различных вписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника. ^[3]

Центр вписанной окружности — это пересечение внутренней биссектрисы одного угла ( например, в вершине) и внешних биссектрис двух других. Центр этой окружности называется эксцентром относительно вершины или эксцентром . ^[3] Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вписанной окружности образуют ортоцентрическую систему . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Трилинейные координаты эксцентров

^{В то} время как центр имеет трилинейные координаты , эксцентры имеют трилинейные координаты ^. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle 1:1:1}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\J_{B}=&1&:&-1&:&1\\J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

Эксрадии

Радиусы экскругов называются эксрадиусами .

Эксрадиус противоположной внешней окружности (касающейся , с центром в ) равен ^{[25] [26]} , где ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle J_{A}}$ $${\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},}$$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}$

См. формулу Герона .

Вывод формулы эксрадиуса

Источник: ^[25]

Пусть вписанная окружность соприкасается со стороной , вытянутой в точке , и пусть радиус этой окружности равен , а ее центр равен . Тогда высота равна площади . По аналогичному аргументу имеет площадь и имеет площадь . Таким образом, площадь треугольника равна . ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle J_{c}}$ ${\displaystyle J_{c}G}$ ${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$ ${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$ ${\displaystyle \triangle BCJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$ ${\displaystyle \triangle ABJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ $${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}}$$

Итак, по симметрии, обозначая радиус вписанной окружности, . ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}$$

По закону косинусов имеем $${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$$

Объединив это с тождеством , мы имеем ${\displaystyle \sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1}$ $${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$$

Но и так ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}$$

что является формулой Герона .

Объединив это с , мы имеем ${\displaystyle sr=\Delta }$ $${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}$$

Аналогично, дает ${\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}}$$

Другие объекты недвижимости

Из приведенных выше формул видно, что вписанная окружность всегда больше вписанной и что наибольшая вписанная окружность касается самой длинной стороны, а наименьшая вписанная окружность касается самой короткой стороны. Далее, объединение этих формул дает: ^[27] $${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$$

Другие свойства окружения

Круглая оболочка вписанных окружностей внутренне касается каждой из вписанных окружностей и, таким образом, представляет собой окружность Аполлония . ^[28] Радиус этого круга Аполлония равен радиусу вписанной окружности и полупериметру треугольника. ^[29] ${\displaystyle {\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

Между внутренним радиусом , описанным радиусом , полупериметром и радиусами внешней окружности , , : ^[14] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle r_{b}}$ ${\displaystyle r_{c}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}}$$

Окружность, проходящая через центры трех вписанных окружностей, имеет радиус . ^[14] ${\displaystyle 2R}$

Если – ортоцентр , то [ ^14] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$$

Треугольник Нагеля и точка Нагеля

  Расширенные стороны треугольника △ ABC

  Внеписанные окружности △ ABC (касательная к T _A . T _B , _TC )

  Треугольник Нагеля/Эксташа △ T _A T _B T _C

  Разделители : линии, соединяющие противоположные вершины △ ABC и △ T _A T _B T _C (совпадают в точке Нагеля N ).

Треугольник Нагеля или треугольник касания обозначается вершинами , , и это три точки, в которых вписанные окружности касаются ссылки и где противоположна , и т. д. Это также известно как треугольник касания . Описанная окружность экзотуша называется кругом Мандарта . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$

Три отрезка и называются разделителями треугольника ; каждый ^из них делит периметр треугольника ^{пополам .} ${\displaystyle {\overline {AT_{A}}}}$ ${\displaystyle {\overline {BT_{B}}}}$ ${\displaystyle {\overline {CT_{C}}}}$ $${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BT_{A}}}={\overline {AC}}+{\overline {CT_{A}}}={\frac {1}{2}}\left({\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {AC}}\right).}$$

Разделители пересекаются в одной точке — точке Нагеля треугольника (или центре треугольника X ₈ ). ${\displaystyle N_{a}}$

Трилинейные координаты вершин касающегося треугольника задаются формулой ^{[ нужна ссылка ]} $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}}$$

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулой ^{[ нужна ссылка ]} $${\displaystyle \csc ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

или, что то же самое, по закону синусов , $${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.}$$

Точка Нагеля является изотомно-сопряженной точкой Жергонна. ^{[ нужна цитата ]}

Связанные конструкции

Девятиточечная окружность и точка Фейербаха.

Окружность из девяти точек касается вписанной и вписанной окружностей.

В геометрии девятиточечная окружность — это окружность , которую можно построить для любого заданного треугольника . Он назван так потому, что проходит через девять значимых конциклических точек, определяемых треугольником. Вот эти девять пунктов : ^{[30] [31]}

• Середины каждой стороны треугольника
• Подножие каждой высоты​
• Средняя точка отрезка от каждой вершины треугольника до ортоцентра (где встречаются три высоты; эти отрезки лежат на соответствующих высотах).

В 1822 году Карл Фейербах обнаружил, что окружность из девяти точек любого треугольника касается снаружи трех вписанных окружностей этого треугольника и внутренне касается вписанной в него окружности ; этот результат известен как теорема Фейербаха . Он доказал, что: ^[32]

... окружность, проходящая через основания высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые, в свою очередь, касаются трех сторон треугольника ... (Фейербах 1822)

Центр треугольника , в котором соприкасаются вписанная окружность и окружность из девяти точек, называется точкой Фейербаха .

Внутренний и внешний треугольники

Точки пересечения биссектрис внутренних углов с отрезками , и являются вершинами центрального треугольника . Трилинейные координаты вершин центрального треугольника задаются формулой ^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A'&=&0&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&0&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&0\end{array}}}$$

Внешний треугольник опорного треугольника имеет вершины в центрах вписанных окружностей опорного треугольника. Его стороны лежат на биссектрисах внешнего угла опорного треугольника (см. рисунок вверху страницы). Трилинейные координаты вершин внецентрального треугольника задаются формулой ^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ $${\displaystyle {\begin{array}{ccrcrcr}A'&=&-1&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&-1&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

Уравнения для четырех кругов

Пусть – переменная точка в трилинейных координатах , и пусть , , . Четыре круга, описанные выше, эквивалентно задаются любым из двух данных уравнений: ^{[33] : 210–215.} ${\displaystyle x:y:z}$ ${\displaystyle u=\cos ^{2}\left(A/2\right)}$ ${\displaystyle v=\cos ^{2}\left(B/2\right)}$ ${\displaystyle w=\cos ^{2}\left(C/2\right)}$

• Обвести: $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle A}$-обвести: $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle B}$-обвести: $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle C}$-обвести: $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике: $${\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}$$

где и — радиус описанной и внутренней окружности соответственно, а — расстояние между центром описанной окружности и центром. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$

Для вписанных окружностей уравнение аналогично: $${\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},}$$

где - радиус одной из вписанных окружностей, а - расстояние между центром описанной окружности и центром этой вписанной окружности. ^{[34] [35] [36]} ${\displaystyle r_{\text{ex}}}$ ${\displaystyle d_{\text{ex}}}$

Обобщение на другие многоугольники

Некоторые (но не все) четырехугольники имеют вписанную окружность. Такие четырехугольники называются касательными . Среди их многочисленных свойств, пожалуй, самым важным является то, что две пары противоположных сторон имеют равные суммы. Это называется теоремой Пито . ^[37]

В более общем смысле, многоугольник с любым количеством сторон, в который есть вписанная окружность (то есть касательная к каждой стороне), называется касательным многоугольником . ^{[ нужна цитата ]}

Смотрите также

• Циркумгон  – геометрическая фигура, описывающая круг.
• Описанная окружность  – Окружность, проходящая через вершины треугольника.
• Экс-тангенциальный четырехугольник  - выпуклый четырехсторонний многоугольник, все боковые линии которого касаются внешней окружности.
• Теорема Харкорта  - Площадь треугольника с его сторон и расстояния между вершинами до любой линии, касательной к вписанной в него окружности.
• Циркумконическое и неконическое  сечение - коническое сечение, проходящее через вершины треугольника или касающееся его сторон.
• Вписанная сфера  - сфера, касающаяся каждой грани многогранника.
• Мощность точки  – Относительное расстояние точки от окружности.
• Эллипс Штейнера  - уникальный эллипс, касательный ко всем трем средним точкам сторон данного треугольника.
• Тангенциальный четырехугольник  - многоугольник, все четыре стороны которого касаются окружности.
• Треугольник конический
• Теорема триллиума  - утверждение о свойствах вписанных и описанных кругов.

Примечания

1. Кей (1969, стр. 140)
2. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 74)
3. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 73)
4. Кей (1969, стр. 117)
5. Джонсон 1929, с. 182.
6. Энциклопедия центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г. в Wayback Machine , по состоянию на 28 октября 2014 г.
7. Кей (1969, стр. 201)
8. Чу, Томас, Пентагон , весна 2005 г., стр. 45, задача 584.
9. Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; Яо, Хайшен (март 2012 г.), «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette , 96 : 161–165, doi : 10.1017/S0025557200004277, S2CID  124176398.
10. Альтшиллер-Корт, Натан (1980), Геометрия колледжа , Dover Publications. №84, с. 121.
11. Математический вестник , июль 2003 г., 323–324.
12. Кей (1969, стр. 203)
13. Джонсон 1929, с. 189, № 298(д).
14. Белл, Эми, «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обращение и обобщение», Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
15. Кодокостас, Димитриос, «Треугольные эквалайзеры», журнал Mathematics Magazine 83, апрель 2010 г., стр. 141-146.
16. Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; и Яо, Хайшен, «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette 96, март 2012 г., стр. 161–165.
17. Альтшиллер-Корт, Натан. Колледжская геометрия , Dover Publications, 1980.
18. Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.
19. Францсен, Уильям Н. (2011). «Расстояние от центра до линии Эйлера» (PDF) . Форум Геометрикорум . 11 : 231–236. МР  2877263..
20. Коксетер, HSM «Введение в геометрию, 2-е изд. Уайли, 1961.
21. Минда Д. и Фелпс С., «Треугольники, эллипсы и кубические многочлены», American Mathematical Monthly 115, октябрь 2008 г., 679-689: Теорема 4.1.
22. Вайсштейн, Эрик В. «Контактный треугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html
23. Кристофер Дж. Брэдли и Джефф К. Смит, «Расположение центров треугольников», Forum Geometricorum 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
24. Деков, Деко (2009). «Компьютерная математика: точка Жергонна» (PDF) . Журнал компьютерной евклидовой геометрии . 1 :1–14. Архивировано из оригинала (PDF) 5 ноября 2010 г.
25. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 79)
26. Кей (1969, стр. 202)
27. Бейкер, Маркус, «Сборник формул для площади плоского треугольника», Анналы математики , часть 1, том. 1 (6), январь 1885 г., 134–138. (См. также часть 2 в т. 2 (1), сентябрь 1885 г., 11–18.)
28. Гринберг, Дарий, и Ю, Пол, «Круг Аполлония как круг Такера», Forum Geometricorum 2, 2002: стр. 175-182.
29. Стеванович, Милорад Р., «Круг Аполлония и связанные с ним центры треугольников», Forum Geometricorum 3, 2003, 187-195.
30. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 103–110)
31. Кей (1969, стр. 18, 245)
32. Фейербах, Карл Вильгельм ; Бузенгейгер, Карл Гериберт Игнац (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Picturen. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (изд. монографии), Нюрнберг: Wiessner.
33. Уитворт, Уильям Аллен. Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений , Забытые книги, 2012 (оригинал Deighton, Bell and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
34. Нельсон, Роджер, «Неравенство треугольника Эйлера посредством доказательства без слов», Mathematics Magazine 81 (1), февраль 2008 г., 58-61.
35. Джонсон 1929, с. 187.
36. Емельянов Лев и Емельянова Татьяна. «Формула Эйлера и поризм Понселе», Forum Geometricorum 1, 2001: стр. 137–140.
37. Йозефссон (2011, см., в частности, стр. 65–66.)

Рекомендации

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  52013504
• Джонсон, Роджер А. (1929), «X. Вписанные и вписанные круги» , «Современная геометрия» , Houghton Mifflin, стр. 182–194.
• Йозефссон, Мартин (2011), «Дополнительные характеристики касательных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 65–82, MR  2877281
• Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN  69012075
• Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Конгресс Нумерантиум (129): i – xxv, 1–295.
• Поцелуй, Шандор (2006). «Ортические треугольники касания и касания ортических треугольников». Форум Geometricorum (6): 171–177.

Внешние ссылки

• Вывод формулы радиуса вписанной окружности треугольника
• Вайсштейн, Эрик В. «Круг». Математический мир .

Интерактивный

• Вписанный в центр треугольник Вписанный в окружность треугольник Вписанная окружность правильного многоугольника С интерактивной анимацией
• Построение вписанной/вписанной окружности треугольника с помощью циркуля и линейки. Интерактивная анимационная демонстрация.
• Теорема о равных вписанных окружностях при разрезании узла
• Теорема пяти вписанных кругов в разрубке узла
• Пары вписанных окружностей в четырехугольнике при разрезании узла
• Интерактивный Java-апплет для incenter