Правило правой руки

В математике и физике правило правой руки — это условное обозначение и мнемонический прием , используемый для определения ориентации осей в трехмерном пространстве и определения направления векторного произведения двух векторов , а также для установления направления силы, действующей на проводник с током в магнитном поле .

Различные правила правой и левой руки возникают из того факта, что три оси трехмерного пространства имеют две возможные ориентации. Это можно увидеть, держа руки вместе ладонями вверх и согнутыми пальцами. Если сгибание пальцев представляет собой движение от первой оси или оси x ко второй оси или оси y, то третья ось или ось z может указывать как вдоль большого пальца правой руки, так и вдоль большого пальца левой руки.

История

Правило правой руки восходит к 19 веку, когда оно было реализовано как способ определения положительного направления осей координат в трех измерениях. Уильяму Роуэну Гамильтону , известному своей разработкой кватернионов , математической системы для представления трехмерных вращений, часто приписывают введение этого соглашения. В контексте кватернионов гамильтоново произведение двух векторных кватернионов дает кватернион, содержащий как скалярные , так и векторные компоненты. ^[1] Джозайя Уиллард Гиббс признал, что рассмотрение этих компонентов по отдельности, как скалярного и векторного произведения, упрощает векторный формализм. После существенных дебатов ^[2] основное направление перешло от кватернионной системы Гамильтона к трехвекторной системе Гиббса. Этот переход привел к повсеместному принятию правила правой руки в современных контекстах.

Перекрестное произведение векторов и — это вектор, перпендикулярный плоскости, натянутой на и с направлением, заданным правилом правой руки : если вы положите указательный палец правой руки на , а средний палец на , то большой палец будет указывать в направлении . ^[3] ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$

Правило правой руки в физике было введено в конце 19 века Джоном Флемингом в его книге «Магниты и электрические токи». ^[4] Флеминг описал ориентацию индуцированной электродвижущей силы, ссылаясь на движение проводника и направление магнитного поля в следующем изображении: «Если проводник, представленный средним пальцем, перемещается в поле магнитного потока , направление которого представлено направлением указательного пальца , причем направление этого движения находится в направлении большого пальца, то электродвижущая сила, возникающая в нем, будет указываться направлением, в котором указывает средний палец». ^[4]

Координаты

Для правосторонних координат, если большой палец правой руки человека указывает вдоль оси z в положительном направлении (третий вектор координат), то пальцы сгибаются от положительной оси x (первый вектор координат) к положительной оси y (второй вектор координат). При взгляде в положение вдоль положительной оси z , поворот на ¼ от положительной оси x к положительной оси y происходит против часовой стрелки .

Для левосторонних координат приведенное выше описание осей остается тем же, за исключением использования левой стороны; а ¼ поворота происходит по часовой стрелке .

Перестановка меток любых двух осей меняет направление на противоположное. Изменение направления одной оси (или трех осей) также меняет направление на противоположное. Изменение направления двух осей равносильно повороту на 180° вокруг оставшейся оси, также сохраняя направление на противоположное. Эти операции могут быть составлены для получения повторяющихся изменений направления на противоположное. ^[5] (Если оси не имеют положительного или отрицательного направления, то направление на противоположное не имеет значения.)

Вращения

Вращающееся тело

В математике вращающееся тело обычно представляется псевдовектором вдоль оси вращения . Длина вектора дает скорость вращения , а направление оси дает направление вращения в соответствии с правилом правой руки: пальцы правой руки согнуты в направлении вращения, а большой палец правой руки указывает в положительном направлении оси. Это позволяет производить некоторые простые вычисления с использованием векторного произведения. Ни одна часть тела не движется в направлении стрелки оси. Если большой палец указывает на север, Земля вращается в соответствии с правилом правой руки ( прямое движение ). Это заставляет Солнце, Луну и звезды казаться вращающимися на запад в соответствии с правилом левой руки.

Спирали и винты

Спираль — это кривая линия, образованная точкой, вращающейся вокруг центра, в то время как центр движется вверх или вниз по оси z . Спирали бывают правыми или левыми, со скрученными пальцами, задающими направление вращения, и большим пальцем, задающим направление движения вдоль оси z .

Резьба винта винтовая , поэтому винты могут быть как правыми, так и левыми. Чтобы правильно закрутить или открутить винт, применяются приведенные выше правила: если винт правый, то направление большого пальца правой руки в сторону отверстия и поворот в направлении согнутых пальцев правой руки (т. е. по часовой стрелке) закрепит винт, а направление от отверстия и поворот в новом направлении (т. е. против часовой стрелки) открутит винт.

Ориентация кривой и нормальные векторы

В векторном исчислении необходимо связать нормальный вектор поверхности с граничной кривой поверхности. При заданном направлении нормали $n̂$ (выборе «направления вверх» относительно $S$ ) граничная кривая $C$ вокруг $S$ определяется как $положительно$ ориентированная при условии, что большой палец правой руки указывает в направлении $n̂$ , а остальные пальцы сгибаются вдоль ориентации ограничивающей кривой $C$ .

Электромагнетизм

Когда электричество течет (с направлением, заданным обычным током ) в длинном прямом проводе, оно создает цилиндрическое магнитное поле вокруг провода в соответствии с правилом правой руки. Условное направление магнитной линии задается стрелкой компаса.
Электромагнит : Магнитное поле вокруг провода относительно слабое. Если провод скручен в спираль, все линии поля внутри спирали направлены в одном направлении, и каждая последующая катушка усиливает другие. Продвижение спирали, некруговая часть тока и линии поля направлены в положительном направлении z . Поскольку магнитного монополя нет , линии поля выходят из конца + z , огибают спираль снаружи и снова входят в конец − z . Конец + z , где выходят линии, определяется как северный полюс. Если пальцы правой руки согнуты в направлении круговой составляющей тока, большой палец правой руки указывает на северный полюс.
Сила Лоренца : если электрический заряд движется поперек магнитного поля, он испытывает силу согласно силе Лоренца, с направлением, заданным правилом правой руки. Если указательный палец представляет направление потока заряда (т. е. тока), а средний палец представляет направление магнитного поля в пространстве, направление силы, действующей на заряд, представлено большим пальцем. Поскольку заряд движется, сила заставляет траекторию частицы изгибаться. Изгибающая сила вычисляется с помощью векторного произведения. Это означает, что изгибающая сила увеличивается со скоростью частицы и напряженностью магнитного поля. Сила максимальна, когда направление частицы и магнитные поля перпендикулярны, меньше под любым другим углом и равна нулю, когда частица движется параллельно полю.

Правило правого захвата Ампера

Прогнозирование направления поля ( B ), учитывая, что ток I течет в направлении большого пальца

Правило правой руки Ампера ^[6], также называемое правилом правого винта , правилом кофейной кружки или правилом штопора; используется либо когда вектор (например, вектор Эйлера ) должен быть определен для представления вращения тела, магнитного поля или жидкости, либо наоборот, когда необходимо определить вектор вращения , чтобы понять, как происходит вращение. Оно раскрывает связь между током и линиями магнитного поля в магнитном поле, которое создает ток. Ампер был вдохновлен коллегой-физиком Гансом Христианом Эрстедом , который наблюдал, как иглы закручиваются, когда находятся вблизи провода с электрическим током , и пришел к выводу, что электричество может создавать магнитные поля .

Приложение

Это правило используется в двух различных приложениях закона Ампера :

Электрический ток проходит по прямому проводу. Когда большой палец указывает в направлении обычного тока (от плюса к минусу), согнутые пальцы будут указывать в направлении линий магнитного потока вокруг проводника. Направление магнитного поля ( вращение против часовой стрелки вместо вращения координат по часовой стрелке при взгляде на кончик большого пальца) является результатом этой условности, а не лежащим в основе физическим явлением.
Электрический ток проходит через соленоид , в результате чего возникает магнитное поле. При обхвате соленоида правой рукой пальцами в направлении условного тока большой палец указывает в направлении магнитного северного полюса.

Перекрестные продукты

Перекрестное произведение двух векторов часто используется в физике и технике. Например, как обсуждалось выше, сила, действующая на движущуюся заряженную частицу при движении в магнитном поле B, задается магнитным членом силы Лоренца:

\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}

(векторное векторное произведение)

Направление векторного произведения можно найти, применив правило правой руки следующим образом:

Указательный палец указывает в направлении вектора скорости v.
Средний палец указывает в направлении вектора магнитного поля B.
Большой палец указывает в направлении векторного произведения F.

Например, для положительно заряженной частицы, движущейся на север, в области, где магнитное поле направлено на запад, результирующая сила направлена вверх. ^[5]

Приложения

Правило правой руки широко используется в физике . Ниже приведен список физических величин, направления которых связаны правилом правой руки. (Некоторые из них связаны с перекрестными произведениями лишь косвенно и используют вторую форму.)

В случае вращающегося объекта, если пальцы правой руки следуют изгибу точки на объекте, то большой палец указывает вдоль оси вращения в направлении вектора угловой скорости .
Крутящий момент , сила, его вызывающая, и положение точки приложения силы.
Магнитное поле, положение точки, в которой оно определяется, и электрический ток (или изменение электрического потока ), который его вызывает.
Магнитное поле в катушке провода и электрический ток в проводе.
Сила магнитного поля, действующая на заряженную частицу, само магнитное поле и скорость объекта.
Завихренность в любой точке поля течения жидкости
Индуцированный ток от движения в магнитном поле (известный как правило правой руки Флеминга ).
Единичные векторы x , y и z в декартовой системе координат можно выбрать так, чтобы они следовали правилу правой руки. Правосторонние системы координат часто используются в теории твердого тела и кинематике .

Мета-математические вопросы

В отличие от большинства математических концепций, значение правосторонней системы координат не может быть выражено в терминах каких-либо математических аксиом . Скорее, определение зависит от хиральных явлений в физическом мире, например, культурно переданного значения правой и левой руки, большинства населения с доминирующей правой рукой или определенных явлений, связанных со слабым взаимодействием .

Смотрите также

Ссылки

^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1853). Лекции о кватернионах. неизвестная библиотека. Дублин.
^ Chappell, James M.; Iqbal, Azhar; Hartnett, John G.; Abbott, Derek (2016). «Война векторной алгебры: историческая перспектива». IEEE Access . 4 : 1997–2004. arXiv : 1509.00501 . Bibcode : 2016IEEEA...4.1997C. doi : 10.1109/access.2016.2538262. ISSN 2169-3536.
^ Хаббард, Джон Х. (Джон Хамал) (2009). Вектор исчисления, линейная алгебра и дифференциальные формы: единый подход. Архив Интернета. Итака, Нью-Йорк: Matrix Editions. ISBN 978-0-9715766-5-0.
^ ab Fleming, JA (John Ambrose) (1902). Магниты и электрические токи. Элементарный трактат для использования электротехниками и преподавателями естественных наук. Гарвардский университет. Лондон, E. & FN Spon, limited; Нью-Йорк, Spon & Chamberlain.
^ ab Уотсон, Джордж (1998). "PHYS345 Введение в правило правой руки". udel.edu . Университет Делавэра.
^ IIT Foundation Series: Физика – Класс 8 , Пирсон, 2009, стр. 312.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Правило правой руки» .

Лекция Фейнмана о правиле правой руки
Правила правой и левой руки - Интерактивное руководство по Java Национальная лаборатория сильных магнитных полей
Вайсштейн, Эрик В. «Правило правой руки». MathWorld .
Кристиан Мозер: правило правой руки: wpftutorial.net