Скатывание

Крутизна передаточной функции в зависимости от частоты, особенно при анализе электрических сетей

Спад — это крутизна передаточной функции с частотой , в частности, в анализе электрических цепей , и особенно в связи с фильтрующими цепями при переходе между полосой пропускания и полосой задерживания . Чаще всего он применяется к вносимым потерям сети, но в принципе может применяться к любой соответствующей функции частоты и любой технологии, а не только к электронике. Обычно спад измеряется как функция логарифмической частоты; следовательно, единицами спада являются либо децибелы на декаду (дБ/декада), где декада — это десятикратное увеличение частоты, либо децибелы на октаву (дБ/8ve), где октава — это двукратное увеличение частоты.

Концепция спада вытекает из того факта, что во многих сетях спад имеет тенденцию к постоянному градиенту на частотах, значительно удаленных от точки среза частотной кривой. Спад позволяет свести срез такой сети фильтров к одному числу. Обратите внимание, что спад может происходить как при уменьшении частоты, так и при увеличении частоты, в зависимости от формы полосы рассматриваемого фильтра: например, фильтр нижних частот будет спадать с увеличением частоты, но фильтр верхних частот или нижняя полоса задерживания полосового фильтра будут спадать с уменьшением частоты. Для краткости в этой статье описываются только фильтры нижних частот. Это следует воспринимать в духе прототипных фильтров ; те же принципы можно применить к фильтрам верхних частот, поменяв местами такие фразы, как «выше частоты среза» и «ниже частоты среза».

Спад первого порядка

Схема фильтра нижних частот RC-фильтра первого порядка .

Спад фильтра нижних частот первого порядка 6 дБ/октаву (20 дБ/декаду)

Простая сеть первого порядка , такая как RC-цепь, будет иметь спад 20 дБ/декада. Это приблизительно равно (в пределах обычной инженерной точности) 6 дБ/октава и является более обычным описанием, данным для этого спада. Это можно показать, рассмотрев функцию передачи напряжения , A , RC-цепи: ^[1]

${\displaystyle A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}}$

Масштабируя частоту до ω _c  = 1/ RC  = 1 и формируя отношение мощностей, получаем:

${\displaystyle |A|^{2}={\frac {1}{1+\left({\omega \over \omega _{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{1+\omega ^{2}}}}$

В децибелах это будет выглядеть так:

${\displaystyle 10\log \left({\frac {1}{1+\omega ^{2}}}\right)}$

или выраженный как убыток,

${\displaystyle L=10\log \left({1+\omega ^{2}}\right)\ \mathrm {dB} }$

На частотах, значительно превышающих ω = 1, это упрощается до:

${\displaystyle L\approx 10\log \left(\omega ^{2}\right)=20\log \omega \ \mathrm {dB} }$

Спад определяется по формуле:

${\displaystyle \Delta L=20\log \left({\omega _{2} \over \omega _{1}}\right)\ \mathrm {dB/interval_{2,1}} }$

Это происходит уже десятилетие;

${\displaystyle \Delta L=20\log 10=20\ \mathrm {dB/decade} }$

и для октавы,

${\displaystyle \Delta L=20\log 2\approx 20\times 0.3=6\ \mathrm {dB/8ve} }$

Сети высшего порядка

Многопорядковый RC-фильтр с буферизацией между каскадами.

График спада низкочастотных фильтров более высокого порядка, показывающий различные скорости спада

Сеть более высокого порядка может быть построена путем каскадирования секций первого порядка вместе. Если между каждой секцией помещен буферный усилитель с единичным усилением (или используется какая-либо другая активная топология ), то взаимодействие между каскадами отсутствует. В этом случае для n идентичных секций первого порядка в каскаде передаточная функция напряжения полной сети определяется как: ^[1]

${\displaystyle A_{\mathrm {T} }=A^{n}\ }$

следовательно, общий спад определяется как,

${\displaystyle \Delta L_{\text{T}}=n\,\Delta L=6n{\text{ dB/8ve}}}$

Аналогичного эффекта можно достичь в цифровой области , многократно применяя один и тот же алгоритм фильтрации к сигналу. ^[2]

LC-цепь нижних частот. Каждый элемент (то есть L или C) добавляет порядок к фильтру и полюс к сопротивлению точки возбуждения .

Расчет передаточной функции становится несколько сложнее, когда не все секции идентичны или когда для реализации фильтра используется популярная конструкция лестничной топологии . В лестничном фильтре каждая секция фильтра оказывает влияние на своих непосредственных соседей и меньшее влияние на более удаленные секции, поэтому отклик не является простым A ⁿ даже когда все секции идентичны. Для некоторых классов фильтров, таких как фильтр Баттерворта , вносимые потери все еще монотонно увеличиваются с частотой и быстро асимптотически сходятся к спаду 6 n дБ/8ve, но в других, таких как фильтр Чебышева или эллиптический фильтр, спад вблизи частоты среза происходит намного быстрее, а в других местах отклик совсем не монотонен. Тем не менее, все классы фильтров в конечном итоге сходятся к спаду 6 n  дБ/8ve теоретически на некоторой произвольно высокой  частоте, но во многих приложениях это будет происходить в полосе частот, не представляющей интереса для приложения, и паразитные эффекты могут начать доминировать задолго до того, как это произойдет. ^[3]

Приложения

Фильтры с высоким спадом были впервые разработаны для предотвращения перекрестных помех между соседними каналами в телефонных системах FDM . ^[4] Спад также важен для фильтров разделения аудиодинамиков : здесь не столько нужен высокий спад, сколько чтобы спады высокочастотных и низкочастотных секций были симметричными и взаимодополняющими. Интересная потребность в высоком спаде возникает в ЭЭГ- машинах. Здесь фильтры в основном обходятся базовым спадом 6 дБ/8ve, однако некоторые приборы предоставляют переключаемый фильтр 35 Гц на конце высокой частоты с более быстрым спадом, чтобы помочь отфильтровать шум, создаваемый мышечной активностью. ^[5]

Смотрите также

• Участок Боде

Примечания

1. J. Michael Jacob, Advanced AC circuits and electronics: principles & applications , страницы 150-152, Cengage Learning 2003 ISBN  0-7668-2330-X .
2. Тодд, стр. 107–108
3. Джованни Бьянки, Роберто Соррентино, Моделирование и проектирование электронных фильтров , страницы 129–130, McGraw-Hill Professional 2007 ISBN 0-07-149467-7 . 
4. Лундхайм, Л., «О Шенноне и «формуле Шеннона», Telektronikk , т. 98 , № 1, 2002, стр. 24–25.
5. Майер и др., стр. 104–105.

Ссылки

• Дж. Уильям Хелтон, Орландо Мерино, Классическое управление с использованием методов H [бесконечности]: введение в проектирование , страницы 23–25, Общество промышленной и прикладной математики 1998 ISBN 0-89871-424-9 . 
• Тодд К. Хэнди, Событийно-связанные потенциалы: методическое руководство , страницы 89–92, 107–109, MIT Press 2004 ISBN 0-262-08333-7 . 
• Фэй С. Тайнер, Джон Рассел Нотт, У. Брем Майер (ред.), Основы технологии ЭЭГ: основные концепции и методы , страницы 101–102, Lippincott Williams & Wilkins 1983 ISBN 0-89004-385-X .