Постоянная времени

Константа в физике и технике

В физике и технике постоянная времени , обычно обозначаемая греческой буквой τ (тау), является параметром , характеризующим реакцию на входной сигнал линейной нестационарной (LTI) системы первого порядка. ^{[1] [примечание 1]} Постоянная времени является основной характеристической единицей системы LTI первого порядка.

Во временной области обычный выбор для изучения временной характеристики — это переходная характеристика на входной сигнал шага или импульсная характеристика на входной сигнал дельта-функции Дирака . ^[2] В частотной области (например, рассматривая преобразование Фурье переходной характеристики или используя входные данные, представляющие собой простую синусоидальную функцию времени) постоянная времени также определяет полосу пропускания нестационарной системы первого порядка. , то есть частота, при которой мощность выходного сигнала падает до половины значения, которое она имеет на низких частотах.

Постоянная времени также используется для характеристики частотной характеристики различных систем обработки сигналов — магнитных лент , радиопередатчиков и приемников , оборудования для резки и воспроизведения записей, а также цифровых фильтров — которые могут быть смоделированы или аппроксимированы системами LTI первого порядка. Другие примеры включают постоянную времени, используемую в системах управления для контроллеров интегрального и дифференциального действия, которые часто являются пневматическими , а не электрическими.

Постоянные времени являются особенностью анализа сосредоточенной системы (метода анализа сосредоточенной мощности) для тепловых систем, используемого, когда объекты охлаждаются или нагреваются равномерно под влиянием конвективного охлаждения или потепления. ^[3]

Физически постоянная времени представляет собой время, необходимое для того, чтобы реакция системы затухала до нуля, если бы система продолжала затухать с начальной скоростью, из-за постепенного изменения скорости затухания значение реакции фактически уменьшится до 1 . /  e ≈ 36,8% за это время (скажем, со ступенчатого уменьшения). В возрастающей системе постоянная времени — это время, в течение которого переходная реакция системы достигает 1 - 1 /  e ≈ 63,2% от ее конечного (асимптотического) значения (скажем, при ступенчатом увеличении). При радиоактивном распаде постоянная времени связана с постоянной распада ( λ ) и представляет собой как среднее время жизни распадающейся системы (например, атома) до ее распада, так и время, которое требуется для всех атомов, кроме 36,8%. распадаться. По этой причине постоянная времени больше, чем период полураспада , за который распадается только 50% атомов.

Дифференциальное уравнение

Системы LTI первого порядка характеризуются дифференциальным уравнением

$${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)}$$

где τ представляет собой константу экспоненциального затухания , а V является функцией времени t

$${\displaystyle V=V(t).}$$

вынуждающая функция f ( t )входV ( t )ответомf ( t )

Ступенчатая функция Хевисайда , часто обозначаемая u ( t ) :

$${\displaystyle u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}}$$

функцияδ ( t )

$${\displaystyle f(t)=A\sin(2\pi ft)}$$

$${\displaystyle f(t)=Ae^{j\omega t},}$$

Afω = 2 π f

Пример решения

Пример решения дифференциального уравнения с начальным значением V ₀ и без вынуждающей функции:

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }}$$

где

$${\displaystyle V_{0}=V(t=0)}$$

— начальное значение V. Таким образом, ответ представляет собой экспоненциальное затухание с постоянной времени τ .

Обсуждение

Предполагать

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }.}$$

Такое поведение называется «затухающей» экспоненциальной функцией. Время τ (тау) называется «постоянной времени» и может использоваться (как в этом случае) для указания того, насколько быстро затухает экспоненциальная функция.

Здесь:

• t - время (обычно t > 0 в технике управления)
• V ₀ — начальное значение (см. «особые случаи» ниже).

Конкретные случаи

1. Позволять ; тогда и так ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{0}}$ ${\displaystyle V=V_{0}}$
2. Позволять ; затем ${\displaystyle t=\tau }$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}}$
3. Пусть и так ${\displaystyle V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$
4. Позволять ; затем ${\displaystyle t=5\tau }$ ${\displaystyle V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}}$

Через период в одну постоянную времени функция достигает e ⁻¹ = примерно 37% от своего начального значения. В случае 4 после пяти постоянных времени функция достигает значения менее 1% от исходного. В большинстве случаев этот порог в 1% считается достаточным, чтобы предположить, что функция упала до нуля - как правило, в технике управления устойчивой системой является та, которая демонстрирует такое общее затухающее поведение.

Связь постоянной времени с полосой пропускания

Пример реакции системы на функцию синусоидального воздействия. Ось времени в единицах постоянной времени τ . Отклик затухает и превращается в простую синусоидальную волну.

Частотная характеристика системы в зависимости от частоты в единицах полосы пропускания f _{3 дБ} . Отклик нормализуется до значения нулевой частоты, равного единице, и падает до 1/√2 в полосе пропускания.

Предположим, что вынуждающая функция выбрана синусоидальной, поэтому:

$${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.}$$

(Отклик на входной сигнал действительного косинуса или синусоидальной волны можно получить, взяв действительную или мнимую часть конечного результата на основании формулы Эйлера .) Общее решение этого уравнения для времен t ≥ 0 с , предполагая V ( t = 0 ) = V ₀ это:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(t)&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {Ae^{-t/\tau }}{\tau }}\int _{0}^{t}\,dt'\ e^{t'/\tau }e^{j\omega t'}\\[1ex]&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {\frac {1}{\tau }}{j\omega +{\frac {1}{\tau }}}}A\left(e^{j\omega t}-e^{-t/\tau }\right).\end{aligned}}}$$

В течение длительного времени затухающие экспоненты становятся незначительными, и стационарное решение или долговременное решение имеет вид:

$${\displaystyle V_{\infty }(t)={\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}Ae^{j\omega t}.}$$

Величина этого ответа:

$${\displaystyle |V_{\infty }(t)|=A{\frac {1}{\tau \left(\omega ^{2}+(1/\tau )^{2}\right)^{1/2}}}=A{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega \tau )^{2}}}}.}$$

| В _∞ | ²ωτ = 1о полосе пропусканияω = 2 πf

$${\displaystyle f_{\mathrm {3dB} }={\frac {1}{2\pi \tau }}.}$$

Обозначение f _3dB связано с выражением мощности в децибелах и наблюдением, что половинная мощность соответствует падению значения | В _∞ | на коэффициент 1/2 или на 3 децибела.

Таким образом, постоянная времени определяет пропускную способность этой системы.

Переходный процесс с произвольными начальными условиями

Переходная реакция системы для двух разных начальных значений V ₀ , одного выше конечного значения и одного при нуле. Долговременный отклик является константой V _∞ . Ось времени в единицах постоянной времени . ${\displaystyle \tau }$

Предположим, что принудительная функция выбрана в качестве входного шага, поэтому:

$${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}V=f(t)=Au(t),}$$

с u ( t ) ступенчатая функция Хевисайда. Общее решение этого уравнения для времени t ≥ 0 с , предполагая, что V ( t = 0) = V ₀ , выглядит следующим образом:

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right).}$$

(Можно заметить, что этот отклик представляет собой предел ω → 0 вышеуказанного ответа на синусоидальный входной сигнал.)

Долговременное решение не зависит от времени и начальных условий:

$${\displaystyle V_{\infty }=A\tau .}$$

Постоянная времени остается неизменной для одной и той же системы независимо от начальных условий. Проще говоря, система приближается к своему окончательному, установившемуся состоянию с постоянной скоростью, независимо от того, насколько близко она находится к этому значению в любой произвольной начальной точке.

Например, рассмотрим электродвигатель, запуск которого хорошо моделируется системой LTI первого порядка. Предположим, что при запуске из состояния двигателя двигатель принимает1/8секунды, чтобы достичь 63% от номинальной скорости в 100 об/мин или 63 об/мин — недостаток в 37 об/мин. Тогда окажется, что после следующего1/8секунды двигатель ускоряется еще на 23 об/мин, что составляет 63% от разницы в 37 об/мин. Это доводит его до 86 об/мин — все еще на 14 об/мин ниже. После третьего1/8секунды двигатель наберет дополнительные 9 об/мин (63% от разницы в 14 об/мин), что соответствует 95 об/мин.

Фактически, при любой начальной скорости s ≤ 100 об/мин 1/8Через секунду этот конкретный двигатель наберет дополнительные 0,63 × (100 − с ) об/мин.

Примеры

Постоянные времени в электрических цепях

Переходная характеристика напряжения конденсатора.

Переходная характеристика напряжения индуктора.

В цепи RL , состоящей из одного резистора и катушки индуктивности, постоянная времени ' ' (в секундах ) равна ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \tau ={\frac {L}{R}}}$$

где R — сопротивление (в Омах ), а L — индуктивность (в генри ).

Аналогично, в RC-цепи , состоящей из одного резистора и конденсатора, постоянная времени (в секундах) равна: ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \tau =RC}$$

где R — сопротивление (в Омах ), а C — емкость (в фарадах ).

Электрические цепи часто более сложны, чем эти примеры, и могут иметь несколько постоянных времени (некоторые примеры см. в разделе « Переходная характеристика и разделение полюсов »). В случае присутствия обратной связи система может демонстрировать нестабильные, возрастающие колебания. Кроме того, физические электрические цепи редко являются по-настоящему линейными системами, за исключением возбуждений с очень низкой амплитудой; однако широко используется приближение линейности.

В цифровых электронных схемах часто используется еще одна мера - FO4 . Это можно преобразовать в единицы постоянной времени с помощью уравнения . ^[4] ${\displaystyle 5\tau ={\text{FO4}}}$

Термическая постоянная времени

Постоянные времени являются особенностью анализа сосредоточенных систем (метода анализа сосредоточенной мощности) для тепловых систем, используемого, когда объекты охлаждаются или нагреваются равномерно под влиянием конвективного охлаждения или нагревания . При этом передача тепла от тела к окружающей среде в данный момент времени пропорциональна разности температур тела и окружающей среды: ^[5]

$${\displaystyle F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),}$$

где h — коэффициент теплопередачи , а As — площадь поверхности, T — температурная функция, т. е. _T ( t ) — температура тела в момент времени t , а T _a — постоянная температура окружающей среды. Положительный знак указывает на то, что F является положительным, когда тепло покидает тело, поскольку его температура выше температуры окружающей среды ( F — поток наружу). Если тепло теряется в окружающую среду, эта теплопередача приводит к падению температуры тела, определяемой по формуле: ^[5]

$${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,}$$

где ρ = плотность, c _p = удельная теплоемкость и V – объем тела. Знак минус указывает на падение температуры при передаче тепла наружу от тела (т. е. при F > 0). Приравнивая эти два выражения для теплопередачи,

$${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right).}$$

Очевидно, что это система LTI первого порядка, которую можно представить в виде:

$${\displaystyle {\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},}$$

с

$${\displaystyle \tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.}$$

Другими словами, большие массы ρV с более высокими теплоемкостями c _p приводят к более медленному изменению температуры (большая постоянная времени τ ), а большие площади поверхности A _s с большей теплоотдачей h приводят к более быстрому изменению температуры (меньшая постоянная времени τ ).

Сравнение с вводным дифференциальным уравнением предполагает возможное обобщение на случай изменяющихся во времени температур окружающей среды T _a . Однако, сохраняя простой пример с постоянной средой, подставляя переменную Δ T ≡ ( T - T _a ), можно найти:

$${\displaystyle {\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.}$$

Говорят, что системы, для которых охлаждение удовлетворяет приведенному выше экспоненциальному уравнению, удовлетворяют закону охлаждения Ньютона . Решение этого уравнения предполагает, что в таких системах разница между температурой системы и ее окружения Δ T как функция времени t определяется выражением:

${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },}$

где Δ T ₀ — начальная разность температур в момент времени t = 0. Другими словами, тело принимает ту же температуру, что и окружающая среда, с экспоненциально медленной скоростью, определяемой постоянной времени.

Постоянные времени в биофизике

В возбудимой клетке, такой как мышца или нейрон , постоянная времени мембранного потенциала равна ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \tau =r_{m}c_{m}}$$

где r _m — сопротивление мембраны, а c _m — емкость мембраны.

Сопротивление мембраны зависит от количества открытых ионных каналов , а емкость — от свойств липидного бислоя .

Постоянная времени используется для описания подъема и падения мембранного напряжения, где подъем описывается выражением

$${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}\left(1-e^{-t/\tau }\right)}$$

и падение описывается

$${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}e^{-t/\tau }}$$

где напряжение указано в милливольтах, время — в секундах, а время — в секундах. ${\displaystyle \tau }$

V _max определяется как максимальное изменение напряжения от потенциала покоя , где

$${\displaystyle V_{\textrm {max}}=r_{m}I}$$

где r _m — сопротивление мембраны, а I — мембранный ток.

Настройка t = для подъема устанавливает V ( t ) равным 0,63 В _макс . Это означает, что постоянная времени — это время, прошедшее после достижения 63 % от V _{max .} ${\displaystyle \tau }$

Настройка t = для падения устанавливает V ( t ) равным 0,37 В _max , что означает, что константа времени — это время, прошедшее после того, как оно упало до 37% от V _max . ${\displaystyle \tau }$

Чем больше постоянная времени, тем медленнее нарастает или падает потенциал нейрона. Большая постоянная времени может привести к временному суммированию или алгебраическому суммированию повторяющихся потенциалов. Короткая постоянная времени скорее создает детектор совпадений посредством пространственного суммирования .

Экспоненциальный распад

При экспоненциальном распаде , например, радиоактивного изотопа, постоянную времени можно интерпретировать как среднее время жизни . Период полураспада T _HL или T _1/2 связан с константой экспоненциального затухания соотношением ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle T_{1/2}=T_{\text{HL}}=\tau \ln 2.}$$

постоянной затухания. ${\displaystyle \lambda =1/\tau }$

Метеорологические датчики

Постоянная времени — это количество времени, которое требуется метеорологическому датчику, чтобы отреагировать на быстрое изменение показателя, и до тех пор, пока он не начнет измерять значения в пределах допуска по точности, обычно ожидаемого от датчика.

Чаще всего это касается измерений температуры, температуры точки росы, влажности и давления воздуха. Особенно страдают радиозонды из-за их быстрого увеличения высоты.

Смотрите также

• Постоянная времени RC
• Частота среза
• Экспоненциальный распад
• Компенсатор опережения-запаздывания
• Постоянная длина
• Время нарастания
• Время падения
• Частотная характеристика
• Импульсивный ответ
• Шаговый отклик
• Время нарастания
• Время урегулирования

Примечания

1. Конкретно, система LTI первого порядка - это система, которую можно смоделировать одним дифференциальным уравнением первого порядка во времени. Примерами могут служить простейшие однокаскадные электрические RC-цепи и RL-цепи .

Рекомендации

1. Бела Г. Липтак (2003). Справочник приборостроителя: Управление процессами и оптимизация (4-е изд.). ЦРК Пресс. п. 100. ИСБН 978-0-8493-1081-2.
2. Бонг Ви (1998). Динамика и управление космическим аппаратом . Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 100. ИСБН 978-1-56347-261-9.
3. GR Норт (1988). «Уроки моделей энергетического баланса». В Майкле Э. Шлезингере (ред.). Физически обоснованное моделирование и моделирование климата и климатических изменений (изд. Института перспективных исследований НАТО по физическому моделированию). Спрингер. НАТО. п. 627. ИСБН 978-90-277-2789-3.
4. Харрис, Д.; Сазерленд, И. (2003). «Логическое усилие сумматоров переноса и распространения». Тридцать седьмая Асиломарская конференция по сигналам, системам и компьютерам, 2003 г. стр. 873–878. дои : 10.1109/ACSSC.2003.1292037. ISBN 0-7803-8104-1. S2CID  7880203.
5. Роланд Винн Льюис; Перумал Нитиарасу; К. Н. Ситхараму (2004). Основы метода конечных элементов для определения потоков тепла и жидкости. Уайли. п. 151. ИСБН 978-0-470-84789-3.

Внешние ссылки

• Преобразование постоянной времени τ в частоту среза fc и наоборот
• Все о схемах - Расчеты напряжения и тока
• Энергетическая и тепловая постоянная времени зданий