Максимум и минимум

Наибольшее и наименьшее значение, принимаемое функцией в заданной точке

Локальные и глобальные максимумы и минимумы для cos(3π x )/ x , 0,1≤ x ≤1,1

В математическом анализе максимум и минимум ^[a] функции — это соответственно наибольшее и наименьшее значение, принимаемое функцией. Известные в общем виде как экстремумы , ^[b] они могут быть определены либо в пределах заданного диапазона ( локальные или относительные экстремумы), либо на всей области определения ( глобальные или абсолютные экстремумы) функции. ^{[1] [2] [3]} Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общую технику, adequality , для нахождения максимумов и минимумов функций.

Как определено в теории множеств , максимум и минимум множества являются наибольшим и наименьшим элементами в множестве соответственно. Неограниченные бесконечные множества , такие как множество действительных чисел , не имеют минимума или максимума.

В статистике соответствующим понятием является выборочный максимум и минимум .

Определение

Действительная функция f, определенная на области X, имеет глобальную (или абсолютную ) точку максимумав точке x ^∗ , если f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) для всех x в X . Аналогично, функция имеет глобальную (или абсолютную ) точку минимумав точке x ^∗ , если f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) для всех x из X. Значение функции в точке максимума называетсяМаксимальное значение функции обозначается, а значение функции в точке минимума называется ${\displaystyle \max(f(x))}$минимальное значение функции, (обозначенодля ясности). Символически это можно записать следующим образом: ${\displaystyle \min(f(x))}$

${\displaystyle x_{0}\in X}$является точкой глобального максимума функции, если ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).}$

Аналогично происходит и определение точки глобального минимума.

Если область X является метрическим пространством , то говорят, что f имеет локальную (или относительную ) точку максимумав точке x ^∗ , если существует некоторое ε > 0 такое, что f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) для всех x в X в пределах расстояния ε от x ^∗ . Аналогично, функция имеет локальную точку минимумав x ^∗ , если f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) для всех x в X в пределах расстояния ε от x ^∗ . Аналогичное определение можно использовать, когда X является топологическим пространством , поскольку только что данное определение можно перефразировать в терминах окрестностей. Математически данное определение записывается следующим образом:

Пусть — метрическое пространство и функция . Тогда — точка локального максимума функции , если такая, что ${\displaystyle (X,d_{X})}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\exists \varepsilon >0)}$ ${\displaystyle (\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).}$

Определение точки локального минимума также может осуществляться аналогичным образом.

Как в глобальном, так и в локальном случае концепцияМожно определить строгий экстремум . Например, x^∗— этострогая глобальная точка максимума , если для всехxизXс x ≠ x ^∗ , мы имеем f ( x ^∗ ) > f ( x ), иx^∗являетсяточка строгого локального максимума, если существует некоторое ε > 0такое, что для всехxвXв пределах расстоянияεотx^∗с x ≠ x ^∗ , мы имеем f ( x ^∗ ) > f ( x ). Обратите внимание, что точка является точкой строгого глобального максимума тогда и только тогда, когда она является единственной точкой глобального максимума, и аналогично для точек минимума.

Непрерывная действительная функция с компактной областью определения всегда имеет точку максимума и точку минимума. Важным примером является функция, область определения которой представляет собой замкнутый и ограниченный интервал действительных чисел (см. график выше).

Поиск

Нахождение глобальных максимумов и минимумов является целью математической оптимизации . Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то по теореме об экстремальном значении глобальные максимумы и минимумы существуют. Более того, глобальный максимум (или минимум) должен быть либо локальным максимумом (или минимумом) внутри области, либо должен лежать на границе области. Таким образом, метод нахождения глобального максимума (или минимума) состоит в том, чтобы посмотреть на все локальные максимумы (или минимумы) внутри, а также посмотреть на максимумы (или минимумы) точек на границе и выбрать наибольший (или наименьший) из них.

Для дифференцируемых функций теорема Ферма утверждает, что локальные экстремумы внутри области должны возникать в критических точках (или точках, где производная равна нулю). ^[4] Однако не все критические точки являются экстремумами. Часто можно отличить, является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или ни тем, ни другим, используя тест первой производной , тест второй производной или тест производной более высокого порядка , учитывая достаточную дифференцируемость. ^[5]

Для любой функции, которая определена кусочно , можно найти максимум (или минимум), найдя максимум (или минимум) каждой части по отдельности, а затем посмотреть, какая из них больше (или меньше).

Примеры

Глобальный максимум ^x √ x достигается при x = e .

В качестве практического примера ^[6] предположим ситуацию, когда у кого-то есть ограда длиной в футы, и он пытается максимально увеличить площадь прямоугольного ограждения, где — длина, — ширина, а — площадь: ${\displaystyle 200}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle 2x+2y=200}$

${\displaystyle 2y=200-2x}$

${\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}}$

${\displaystyle y=100-x}$

${\displaystyle xy=x(100-x)}$

Производная по равна : ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}}$

Присвоение этому значению ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0=100-2x}$

${\displaystyle 2x=100}$

${\displaystyle x=50}$

показывает, что это наша единственная критическая точка . Теперь извлеките конечные точки , определив интервал, которым ограничено. Поскольку ширина положительна, то , а поскольку , это подразумевает, что . Подставьте критическую точку , а также конечные точки и , в , и результаты будут и соответственно. ${\displaystyle x=50}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x=100-y}$ ${\displaystyle x<100}$ ${\displaystyle 50}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 100}$ ${\displaystyle xy=x(100-x)}$ ${\displaystyle 2500,0,}$ ${\displaystyle 0}$

Таким образом, наибольшая площадь, которую можно получить с помощью прямоугольника изгороди длиной в футы, составляет . ^[6] ${\displaystyle 200}$ ${\displaystyle 50\times 50=2500}$

Функции более чем одной переменной

Поверхность Пеано , контрпример к некоторым критериям локальных максимумов 19 века

Глобальный максимум — это точка наверху

Контрпример: Красная точка показывает локальный минимум, который не является глобальным минимумом.

Для функций более чем одной переменной применяются аналогичные условия. Например, на (увеличенном) рисунке справа необходимые условия для локального максимума аналогичны условиям для функции только с одной переменной. Первые частные производные по z (переменной, которую нужно максимизировать) равны нулю в максимуме (светящаяся точка вверху на рисунке). Вторые частные производные отрицательны. Это только необходимые, но не достаточные условия для локального максимума из-за возможности седловой точки . Для использования этих условий для решения задачи о максимуме функция z также должна быть дифференцируемой на всем протяжении. Тест второй частной производной может помочь классифицировать точку как относительный максимум или относительный минимум. Напротив, существуют существенные различия между функциями одной переменной и функциями более чем одной переменной при идентификации глобальных экстремумов. Например, если ограниченная дифференцируемая функция f, определенная на замкнутом интервале в действительной прямой, имеет одну критическую точку, которая является локальным минимумом, то она также является глобальным минимумом (используйте теорему о промежуточном значении и теорему Ролля, чтобы доказать это от противного ). В двух и более измерениях этот аргумент недействителен. Это иллюстрирует функция

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,}$

единственная критическая точка которой находится в точке (0,0), что является локальным минимумом при f (0,0) = 0. Однако она не может быть глобальным минимумом, поскольку f (2,3) = −5.

Максимумы или минимумы функционала

Если область определения функции, для которой требуется найти экстремум, сама состоит из функций (т. е. если требуется найти экстремум функционала ) , то экстремум находится с помощью вариационного исчисления .

В отношении множеств

Максимумы и минимумы также могут быть определены для множеств. В общем случае, если упорядоченное множество S имеет наибольший элемент m , то m является максимальным элементом множества, также обозначаемым как . Кроме того, если S является подмножеством упорядоченного множества T и m является наибольшим элементом S с (относительно порядка, индуцированного T ), то m является наименьшей верхней границей S в T . Аналогичные результаты справедливы для наименьшего элемента , минимального элемента и наибольшей нижней границы . Функция максимума и минимума для множеств используется в базах данных и может быть быстро вычислена, поскольку максимум (или минимум) множества может быть вычислен из максимумов раздела; формально они являются саморазлагаемыми функциями агрегации . ${\displaystyle \max(S)}$

В случае общего частичного порядка наименьший элемент (т. е. тот, который меньше всех остальных) не следует путать с минимальным элементом (ничто не меньше). Аналогично наибольший элемент частично упорядоченного множества ( посета) — это верхняя граница множества, которая содержится в этом множестве, тогда как максимальный элемент m посета A — это элемент A такой, что если m ≤ b (для любого b в A ), то m = b . Любой наименьший элемент или наибольший элемент посета уникален, но посет может иметь несколько минимальных или максимальных элементов. Если посет имеет более одного максимального элемента, то эти элементы не будут взаимно сопоставимы.

В полностью упорядоченном множестве, или цепочке , все элементы взаимно сравнимы, поэтому такое множество может иметь не более одного минимального элемента и не более одного максимального элемента. Тогда, из-за взаимной сравнимости, минимальный элемент будет также наименьшим элементом, а максимальный элемент будет также наибольшим элементом. Таким образом, в полностью упорядоченном множестве мы можем просто использовать термины минимум и максимум .

Если цепь конечна, то она всегда будет иметь максимум и минимум. Если цепь бесконечна, то она не обязана иметь максимум или минимум. Например, множество натуральных чисел не имеет максимума, хотя имеет минимум. Если бесконечная цепь S ограничена, то замыкание Cl ( S ) множества иногда имеет минимум и максимум, и в этом случае они называются точной нижней границей и точной верхней границей множества S соответственно.

Аргумент максимума

В качестве примера, как ненормализованная, так и нормализованная sinc -функции выше имеют {0}, поскольку обе достигают своего глобального максимального значения 1 при x  = 0. Ненормализованная sinc-функция (красная) имеет arg min {−4,49, 4,49}, приблизительно, поскольку она имеет 2 глобальных минимальных значения приблизительно −0,217 при x  = ±4,49. Однако нормализованная sinc-функция (синяя) имеет arg min {−1,43, 1,43}, приблизительно, поскольку их глобальные минимумы достигаются при x  = ±1,43, хотя минимальное значение одинаково. ^[7] ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

В математике аргументы максимумов (сокращенно arg max или argmax) и аргументы минимумов (сокращенно arg min или argmin) являются входными точками, в которых выходное значение функции максимизируется и минимизируется соответственно. ^[8] В то время как аргументы определены в области определения функции , выход является частью ее области определения .

Смотрите также

• Производный тест
• Инфимум и супремум
• Предел верхний и предел нижний
• Максимально-минимальная идентичность
• Механическое равновесие
• Мекс (математика)
• Максимум и минимум выборки
• Седловая точка

Примечания

1. PL : максимумы и минимумы (или максимумы и минимумы ).
2. PL : экстремумы .

Ссылки

1. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентали (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-547-16702-2.
3. Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: Ранние трансцендентали (12-е изд.). Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-58876-0.
4. Weisstein, Eric W. "Minimum". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-08-30 .
5. Weisstein, Eric W. "Maximum". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-08-30 .
6. Гарретт, Пол. «Минимизация и максимизация: освежение знаний».
7. "Ненормализованная функция Sinc, архив 2017-02-15 в Wayback Machine ", Сиднейский университет
8. Для ясности мы называем входные данные ( x ) точками , а выходные данные ( y ) значениями; сравните критическую точку и критическое значение .

Внешние ссылки

• Работа Томаса Симпсона о Максимумах и Минимумах в Convergence
• Применение Максимумов и Минимумов с подстраницами решенных задач
• Джоллифф, Артур Эрнест (1911). «Максима и минимум»  . Британская энциклопедия . Том. 17 (11-е изд.). стр. 918–920.