Самоподобие

Целое, что есть объект, математически подобный своей части.

Снежинка Коха обладает бесконечно повторяющимся самоподобием при увеличении.

Стандартное (тривиальное) самоподобие. ^[1]

В математике самоподобный объект точно или приблизительно подобен части самого себя (т. е. целое имеет ту же форму, что и одна или несколько частей). Многие объекты в реальном мире, такие как береговые линии , статистически самоподобны: их части демонстрируют одинаковые статистические свойства во многих масштабах. ^[2] Самоподобие является типичным свойством фракталов . Масштабная инвариантность является точной формой самоподобия, когда при любом увеличении есть меньшая часть объекта, которая похожа на целое. Например, сторона снежинки Коха является как симметричной , так и масштабно-инвариантной; ее можно непрерывно увеличивать в 3 раза без изменения формы. Нетривиальное сходство, очевидное во фракталах, отличается их тонкой структурой или деталями в произвольно малых масштабах. В качестве контрпримера , в то время как любая часть прямой линии может напоминать целое, дальнейшие детали не раскрываются.

Говорят, что явление, развивающееся во времени, проявляет самоподобие, если численное значение определенной наблюдаемой величины, измеренное в разное время, различно, но соответствующая безразмерная величина при заданном значении остается неизменной. Это происходит, если величина проявляет динамическое масштабирование . Идея является всего лишь расширением идеи подобия двух треугольников. ^{[3] [4] [5]} Обратите внимание, что два треугольника подобны, если числовые значения их сторон различны, однако соответствующие безразмерные величины, такие как их углы, совпадают. ${\displaystyle f(x,t)}$ ${\displaystyle x/t^{z}}$ ${\displaystyle f(x,t)}$

Пейтген и др. объясняют эту концепцию следующим образом:

Если части фигуры являются малыми копиями целого, то фигура называется самоподобной ... Фигура строго самоподобна , если ее можно разложить на части, которые являются точными копиями целого. Любая произвольная часть содержит точную копию всей фигуры. ^[6]

Поскольку математически фрактал может демонстрировать самоподобие при неограниченном увеличении, физически это воссоздать невозможно. Пейтген и др. предлагают изучать самоподобие с помощью приближений:

Чтобы придать операциональный смысл свойству самоподобия, мы обязательно ограничены рассмотрением конечных приближений предельной фигуры. Это делается с помощью метода, который мы будем называть самоподобием ящика, где измерения производятся на конечных стадиях фигуры с использованием сеток различных размеров. ^[7]

Этот словарь был введен Бенуа Мандельбротом в 1964 году. ^[8]

Самосродство

Самоаффинный фрактал с размерностью Хаусдорфа = 1,8272.

В математике самосродство — это свойство фрактала , части которого масштабируются на разную величину в направлениях x и y. Это означает, что для оценки самосходства этих фрактальных объектов их необходимо масштабировать с помощью анизотропного аффинного преобразования .

Определение

Компактное топологическое пространство X самоподобно, если существует конечное множество S, индексирующее множество несюръективных гомеоморфизмов , для которого ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)}$

Если , мы называем X самоподобным, если это единственное непустое подмножество Y , такое, что приведенное выше уравнение справедливо для . Мы называем ${\displaystyle X\subset Y}$ ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})}$

самоподобная структура . Гомеоморфизмы могут быть итерированы , что приводит к итерированной системе функций . Композиция функций создает алгебраическую структуру моноида . Когда множество S имеет только два элемента, моноид известен как диадический моноид . Диадический моноид можно визуализировать как бесконечное двоичное дерево ; в более общем случае, если множество S имеет p элементов, то моноид можно представить как p-адическое дерево.

Автоморфизмы диадического моноида представляют собой модулярную группу ; автоморфизмы можно изобразить как гиперболические вращения бинарного дерева.

Более общее понятие, чем самоподобие, — самосродство .

Примеры

Самоподобие в множестве Мандельброта, показанное путем увеличения точки Фейгенбаума в точке (−1,401155189..., 0)

Изображение папоротника Барнсли , демонстрирующее аффинное самоподобие

Множество Мандельброта также самоподобно вокруг точек Мисюревича .

Самоподобие имеет важные последствия для проектирования компьютерных сетей, поскольку типичный сетевой трафик имеет самоподобные свойства. Например, в проектировании телетрафика шаблоны трафика с коммутацией пакетов кажутся статистически самоподобными. ^[9] Это свойство означает, что простые модели, использующие распределение Пуассона, неточны, а сети, спроектированные без учета самоподобия, скорее всего, будут функционировать неожиданными способами.

Аналогично, движения фондового рынка описываются как демонстрирующие самоподобие , т.е. они кажутся самоподобными при преобразовании с помощью соответствующего аффинного преобразования для отображаемого уровня детализации. ^[10] Эндрю Ло описывает самоподобие логарифмической доходности фондового рынка в эконометрике . ^[11]

Правила конечного подразделения представляют собой мощный метод построения самоподобных множеств, включая множество Кантора и треугольник Серпинского .

Треугольник, многократно разделенный с использованием барицентрического подразделения . Дополнение больших кругов становится ковром Серпинского

В кибернетике

Модель жизнеспособной системы Стаффорда Бира представляет собой организационную модель с аффинной самоподобной иерархией, где данная жизнеспособная система является одним из элементов Системы Один жизнеспособной системы, расположенной на один рекурсивный уровень выше, и для которой элементы ее Системы Один являются жизнеспособными системами, расположенными на один рекурсивный уровень ниже.

В природе

Крупный план брокколи Романеско .

Самоподобие можно обнаружить и в природе. Справа находится математически сгенерированное, идеально самоподобное изображение папоротника , которое имеет заметное сходство с естественными папоротниками. Другие растения, такие как брокколи Романеско , демонстрируют сильное самоподобие.

В музыке

• Строгие каноны демонстрируют различные типы и степени самоподобия, как и разделы фуг .
• Тон Шепарда является самоподобным в области частот или длин волн.
• Датский композитор Пер Норгорд во многих своих произведениях использовал самоподобную целочисленную последовательность, называемую «бесконечным рядом».
• В области исследований поиска музыкальной информации самоподобие обычно относится к тому факту, что музыка часто состоит из частей, которые повторяются во времени. ^[12] Другими словами, музыка самоподобна при временном переводе, а не (или в дополнение к) при масштабировании. ^[13]

Смотрите также

• эффект Дросте
• Золотое сечение
• Логарифмическая спираль
• Долгосрочная зависимость
• Необоснованная теория множеств
• Рекурсия
• Самонесходство
• Самореферентность
• Самовоспроизведение
• Самоподобие анализа сетевых данных
• Самоподобный процесс
• Терагон
• Тесселяция
• Распределение Твиди
• Закон Ципфа
• Фрактал

Ссылки

1. Мандельброт, Бенуа Б. (1982). Фрактальная геометрия природы , стр. 44. ISBN  978-0716711865 .
2. Mandelbrot, Benoit B. (5 мая 1967 г.). «Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность». Science . New Series. 156 (3775): 636–638. Bibcode :1967Sci...156..636M. doi :10.1126/science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830. Архивировано из оригинала 19 октября 2021 г. Получено 12 ноября 2020 г.PDF
3. Хассан МК, Хассан МЗ, Павел НИ (2011). "Динамическое масштабирование, коллапс данных и самоподобие в сетях Барабаши-Альберта". J. Phys. A: Math. Theor . 44 (17): 175101. arXiv : 1101.4730 . Bibcode : 2011JPhA...44q5101K. doi : 10.1088/1751-8113/44/17/175101. S2CID  15700641.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
4. Хассан МК, Хассан МЗ (2009). "Возникновение фрактального поведения при конденсационной агрегации". Phys. Rev. E. 79 ( 2): 021406. arXiv : 0901.2761 . Bibcode : 2009PhRvE..79b1406H. doi : 10.1103/physreve.79.021406. PMID  19391746. S2CID  26023004.
5. Dayeen FR, Hassan MK (2016). «Мультифрактальность, динамическое масштабирование и статистика соседства во взвешенной плоской стохастической решетке». Хаос, солитоны и фракталы . 91 : 228. arXiv : 1409.7928 . Bibcode : 2016CSF....91..228D. doi : 10.1016/j.chaos.2016.06.006.
6. Пайтген, Хайнц-Отто; Юргенс, Хартмут; Заупе, Дитмар; Малецкий, Эван; Персианте, Терри; и Юнкер, Ли (1991). Фракталы для класса: Стратегические действия, том первый , стр. 21. Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-97346-X и ISBN 3-540-97346-X .  
7. Пейтген и др. (1991), стр.2-3.
8. Комментарий j'ai découvert les fractales, Интервью Бенуа Мандельброта , La Recherche https://www.larecherche.fr/math%C3%A9matiques-histoire-des-sciences/%C2%AB-comment-jai-d%C3 %A9couvert-les-fractales-%C2%BB
9. Leland, WE; Taqqu, MS; и др. (январь 1995 г.). «О самоподобной природе трафика Ethernet (расширенная версия)» (PDF) . IEEE/ACM Transactions on Networking . 2 (1): 1–15. doi :10.1109/90.282603. S2CID  6011907.
10. Бенуа Мандельброт (февраль 1999 г.). «Как фракталы могут объяснить, что не так с Уолл-стрит». Scientific American .
11. Кэмпбелл, Ло и МакКинли (1991) " Эконометрика финансовых рынков", Princeton University Press! ISBN 978-0691043012 
12. Фут, Джонатан (30 октября 1999 г.). «Визуализация музыки и звука с использованием самоподобия». Труды седьмой международной конференции ACM по мультимедиа (часть 1) (PDF) . стр. 77–80. CiteSeerX 10.1.1.223.194 . doi :10.1145/319463.319472. ISBN  978-1581131512. S2CID  3329298. Архивировано (PDF) из оригинала 9 августа 2017 г.
13. Парейон, Габриэль (апрель 2011). О музыкальном самоподобии: интерсемиозис как синекдоха и аналогия (PDF) . Международный институт семиотики в Иматре; Семиотическое общество Финляндии. стр. 240. ISBN 978-952-5431-32-2. Архивировано из оригинала (PDF) 8 февраля 2017 г. . Получено 30 июля 2018 г. .(См. также Google Книги)

Внешние ссылки

• «Copperplate Chevrons» — самоподобный фрактальный зум-фильм
• "Самоподобие" — Новые статьи о самоподобии. Алгоритм Вальца

Самосродство

• Мандельброт, Бенуа Б. (1985). «Самоаффинность и фрактальная размерность» (PDF) . Physica Scripta . 32 (4): 257–260. Bibcode :1985PhyS...32..257M. doi :10.1088/0031-8949/32/4/001. S2CID  250815596.
• Сапожников, Виктор; Фуфула-Георгиу, Эфи (май 1996 г.). "Самосродство в разветвленных реках" (PDF) . Исследования водных ресурсов . 32 (5): 1429–1439. Bibcode :1996WRR....32.1429S. doi :10.1029/96wr00490. Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2018 г. . Получено 30 июля 2018 г. .
• Бенуа Б. Мандельброт (2002). Гауссово самосродство и фракталы: глобальность, Земля, шум 1/F и R/S . Springer. ISBN 978-0387989938.