В философии математики логицизм — это программа , включающая один или несколько тезисов о том, что — при некотором последовательном значении слова « логика » — математика является расширением логики, некоторая или вся математика сводится к логике, или некоторая или вся математика может быть смоделирована в логике. [1] Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед отстаивали эту программу, инициированную Готтлобом Фреге и впоследствии развитую Ричардом Дедекиндом и Джузеппе Пеано .
Путь Дедекинда к логицизму имел поворотный момент, когда он смог построить модель, удовлетворяющую аксиомам, характеризующим действительные числа, используя определенные наборы рациональных чисел . Эта и связанные с ней идеи убедили его, что арифметика , алгебра и анализ сводимы к натуральным числам плюс «логика» классов. Более того, к 1872 году он пришел к выводу, что сами натуральные числа сводимы к множествам и отображениям . Вероятно, что другие логики, прежде всего Фреге, также руководствовались новыми теориями действительных чисел, опубликованными в 1872 году.
Философским импульсом, лежащим в основе логической программы Фреге, начиная с « Основ арифметики», отчасти была его неудовлетворенность эпистемологическими и онтологическими обязательствами существовавших в то время описаний натуральных чисел, а также его убежденность в том, что использование Кантом истин о натуральных числах в качестве примеров синтетической априорной истины было неверным.
Это положило начало периоду расширения логицизма, главными представителями которого были Дедекинд и Фреге. Однако эта начальная фаза программы логицизма пришла в кризис с открытием классических парадоксов теории множеств ( Кантора 1896, Цермело и Рассела 1900–1901). Фреге отказался от проекта после того, как Рассел осознал и сообщил о своем парадоксе, указав на несоответствие в системе Фреге, изложенной в Grundgesetze der Arithmetik. Обратите внимание, что наивная теория множеств также страдает от этой трудности.
С другой стороны, Рассел написал «Принципы математики» в 1903 году, используя парадокс и разработки школы геометрии Джузеппе Пеано . Поскольку он рассматривал тему примитивных понятий в геометрии и теории множеств, а также исчисление отношений , этот текст является водоразделом в развитии логицизма. Доказательства утверждения логицизма были собраны Расселом и Уайтхедом в их Principia Mathematica . [2]
Сегодня считается, что большая часть существующей математики логически выводится из небольшого числа экстралогических аксиом, таких как аксиомы теории множеств Цермело–Френкеля (или ее расширения ZFC ), из которых до сих пор не было выведено никаких противоречий. Таким образом, элементы логицистских программ оказались жизнеспособными, но в процессе теории классов, множеств и отображений, а также логики более высокого порядка, отличные от семантики Хенкина, стали рассматриваться как экстралогические по своей природе, отчасти под влиянием более поздних мыслей Куайна .
Теоремы неполноты Курта Гёделя показывают , что никакая формальная система, из которой могут быть выведены аксиомы Пеано для натуральных чисел, — например, системы Рассела в PM, — не может решить все правильно построенные предложения этой системы. [3] Этот результат повредил программе Дэвида Гильберта по основаниям математики , в соответствии с которой «бесконечные» теории, такие как теория PM, должны были быть доказаны как непротиворечивые из финитных теорий, с целью того, чтобы те, кого беспокоят «бесконечные методы», могли быть уверены, что их использование не должно доказуемо приводить к выводу противоречия . Результат Гёделя предполагает, что для того, чтобы сохранить позицию логика, сохраняя при этом как можно больше классической математики, нужно принять некоторую аксиому бесконечности как часть логики. На первый взгляд, это также повреждает программу логика, хотя только для тех, кто уже сомневается относительно «бесконечных методов». Тем не менее, позиции, вытекающие как из логицизма, так и из гильбертовского финитизма, продолжали выдвигаться после публикации результата Гёделя.
Одним из аргументов в пользу того, что программы, полученные из логицизма, остаются действительными, может быть то, что теоремы о неполноте «доказываются с помощью логики, как и любые другие теоремы ». Однако этот аргумент, по-видимому, не признает различия между теоремами логики первого порядка и теоремами логики высшего порядка . Первые могут быть доказаны с использованием финистических методов, тогда как вторые — в общем случае — не могут. Теорема Тарского о неопределимости показывает, что нумерация Гёделя может использоваться для доказательства синтаксических конструкций, но не семантических утверждений. Поэтому утверждение о том, что логицизм остается действительной программой, может обязать кого-то считать, что система доказательства, основанная на существовании и свойствах натуральных чисел, менее убедительна, чем та, которая основана на некоторой конкретной формальной системе. [4]
Логицизм — особенно благодаря влиянию Фреге на Рассела и Витгенштейна [5] , а позднее и Даммета — внес значительный вклад в развитие аналитической философии в двадцатом веке.
Айвор Граттан-Гиннесс утверждает, что французское слово «Logistique» было «введено Кутюра и другими на Международном философском конгрессе 1904 года и с тех пор использовалось Расселом и другими в версиях, подходящих для разных языков» (GG 2000:501).
По-видимому, первое (и единственное) использование Расселом появилось в его 1919 году: «Рассел несколько раз ссылался [sic] на Фреге, представляя его как того, «кто первым преуспел в «логицировании» математики» (стр. 7). Помимо искажения (которое Рассел частично исправил, объяснив свой собственный взгляд на роль арифметики в математике), отрывок примечателен словом, которое он поместил в кавычки, но их присутствие предполагает нервозность, и он больше никогда не использовал это слово, так что «логицизм» не возник до конца 1920-х годов» (GG 2002:434). [6]
Примерно в то же время, что и Рудольф Карнап (1929), но, по-видимому, независимо, Френкель (1928) использовал это слово: «Без комментариев он использовал название „логицизм“, чтобы охарактеризовать позицию Уайтхеда/Рассела (в названии раздела на стр. 244, объяснение на стр. 263)» (GG 2002:269). Карнап использовал немного другое слово „Logistik“; Бехманн жаловался на его использование в рукописи Карнапа, поэтому Карнап предложил слово „Logizismus“, но в конечном итоге он остановился на своем выборе слова „Logistik“ (GG 2002:501). В конечном счете, «распространение произошло в основном благодаря Карнапу, начиная с 1930 года» (GG 2000:502).
Явное намерение логицизма — вывести всю математику из символической логики (Фреге, Дедекинд, Пеано, Рассел). В отличие от алгебраической логики ( булевой логики ), которая использует арифметические понятия, символическая логика начинается с очень сокращенного набора знаков (неарифметических символов), нескольких «логических» аксиом, воплощающих «законы мышления», и правил вывода, которые диктуют, как знаки должны быть собраны и обработаны — например, подстановка и modus ponens (т. е. из [1] A материально следует B и [2] A можно вывести B ). Логицизм также заимствует из фундаментальных работ Фреге редукцию высказываний естественного языка из «субъекта|предиката» либо в пропозициональные «атомы», либо в «аргумент|функцию» «обобщения» — понятия « все », « некоторые », «класс» (совокупность, агрегат) и «отношение».
В логическом выводе натуральных чисел и их свойств никакая «интуиция» числа не должна «проскользнуть» ни как аксиома, ни случайно. Цель состоит в том, чтобы вывести всю математику, начиная с подсчета чисел, а затем действительных чисел, из одних только «законов мышления», без каких-либо молчаливых предположений о «до» и «после» или «меньше» и «больше» или, по сути, «последователе» и «предшественнике». Гёдель 1944 суммировал логистицистские «конструкции» Рассела, сравнивая их с «конструкциями» в основополагающих системах интуиционизма и формализма («школа Гильберта») следующим образом: «Обе эти школы основывают свои конструкции на математической интуиции, избегание которой как раз и является одной из главных целей конструктивизма Рассела » (Гёдель 1944 в Собрании сочинений 1990:119).
Гёдель 1944 подытожил исторический фон от Лейбница в Characteristica universalis , через Фреге и Пеано к Расселу: «Фреге интересовался главным образом анализом мышления и использовал свое исчисление в первую очередь для вывода арифметики из чистой логики», тогда как Пеано «больше интересовался его приложениями в математике». Но «только в Principia Mathematica [Рассела] был полностью использован новый метод для фактического вывода больших частей математики из очень немногих логических понятий и аксиом. Кроме того, молодая наука обогатилась новым инструментом, абстрактной теорией отношений» (стр. 120-121).
Клини 1952 г. формулирует это следующим образом: «Лейбниц (1666) первым задумал логику как науку, содержащую идеи и принципы, лежащие в основе всех других наук. Дедекинд (1888) и Фреге (1884, 1893, 1903) занимались определением математических понятий в терминах логических, а Пеано (1889, 1894–1908) — выражением математических теорем в логической символике» (стр. 43); в предыдущем абзаце он включает Рассела и Уайтхеда в качестве примеров «логицистской школы», а две другие «основополагающие» школы — интуиционистская и «формалистическая или аксиоматическая школа» (стр. 43).
Фреге 1879 описывает свои намерения в предисловии к своему труду Begriffsschrift 1879 года : Он начал с рассмотрения арифметики: вытекает ли она из «логики» или из «фактов опыта»?
Дедекинд 1887 описывает свои намерения в Предисловии 1887 года к первому изданию своей работы «Природа и значение чисел ». Он считал, что в «основах простейшей науки; а именно, в той части логики, которая имеет дело с теорией чисел» не было должным образом аргументировано – «ничто, поддающееся доказательству, не должно приниматься без доказательства»:
Пеано 1889 излагает свои намерения в предисловии к своим «Принципам арифметики» 1889 года :
Рассел 1903 года описывает свои намерения в предисловии к своим «Принципам математики» 1903 года :
Эпистемологии Дедекинда и Фреге кажутся менее четко определенными, чем у Рассела, но обе, по-видимому, принимают как априори обычные «законы мышления», касающиеся простых пропозициональных утверждений (обычно убеждений); эти законы были бы достаточны сами по себе, если бы были дополнены теорией классов и отношений (например, x R y ) между индивидами x и y, связанными обобщением R.
Аргумент Дедекинда начинается с "1. В дальнейшем я понимаю под вещью каждый объект нашей мысли"; мы, люди, используем символы для обсуждения этих "вещей" нашего ума; "Вещь полностью определяется всем, что может быть утверждено или помыслено относительно нее" (стр. 44). В последующем абзаце Дедекинд обсуждает, что такое "система S : это агрегат, многообразие, совокупность связанных элементов (вещей) a , b , c "; он утверждает, что "такая система S . . . как объект нашей мысли также является вещью (1); она полностью определена, когда относительно каждой вещи определено, является ли она элементом S или нет.*" (стр. 45, курсив добавлен). * обозначает сноску, где он утверждает, что:
На самом деле он ждет, что Кронекер «опубликует свои доводы в пользу необходимости или просто целесообразности этих ограничений» (стр. 45).
У Кронекера, известного своим утверждением, что « Бог создал целые числа , все остальное — дело рук человека» [7], были свои враги, среди которых был и Гильберт. Гильберт называл Кронекера « догматиком , в той мере, в какой он принимает целое число с его существенными свойствами как догму и не оглядывается назад» [8] и приравнивал его крайнюю конструктивистскую позицию к позиции интуиционизма Брауэра , обвиняя обоих в «субъективизме»: «Часть задачи науки — освободить нас от произвола, сентиментов и привычек и защитить нас от субъективизма, который уже проявился во взглядах Кронекера и, как мне кажется, находит свою кульминацию в интуиционизме». [9] Затем Гильберт заявляет, что «математика — наука без предпосылок. Чтобы ее основать, мне не нужен Бог, как Кронекеру...» (стр. 479).
Реализм Рассела служил ему противоядием от британского идеализма [ 10] с частями, заимствованными из европейского рационализма и британского эмпиризма [11] Для начала, «Рассел был реалистом в двух ключевых вопросах: универсалиях и материальных объектах» (Russell 1912:xi). Для Рассела таблицы — это реальные вещи, которые существуют независимо от Рассела-наблюдателя. Рационализм внес бы понятие априорного знания [ 12] , в то время как эмпиризм внес бы роль опытного знания (индукция из опыта). [13] Рассел приписал бы Канту идею «априорного» знания, но он выдвигает возражение Канту, которое он считает «фатальным»: «Факты [мира] всегда должны соответствовать логике и арифметике. Сказать, что логика и арифметика вносятся нами, не объясняет этого» (1912:87); Рассел приходит к выводу, что априорное знание, которым мы обладаем, относится «к вещам, а не только к мыслям» (1912:89). И в этом эпистемология Рассела, по-видимому, отличается от веры Дедекинда в то, что «числа являются свободными творениями человеческого разума» (Дедекинд 1887:31) [14]
Но его эпистемология о врожденном (он предпочитает слово a priori , когда оно применяется к логическим принципам, ср. 1912:74) сложна. Он решительно и недвусмысленно выражал поддержку платоновским « универсалиям» (ср. 1912:91-118) и приходил к выводу, что истина и ложь «где-то там»; разум создает убеждения , а то, что делает убеждение истинным, является фактом, «и этот факт (за исключением исключительных случаев) не затрагивает разум человека, имеющего убеждение» (1912:130).
Откуда Рассел вывел эти эпистемические понятия? Он рассказывает нам об этом в Предисловии к своим Принципам математики 1903 года . Обратите внимание, что он утверждает, что убеждение: «Эмили — кролик» не существует, и тем не менее истинность этого несуществующего предложения независима от любого знающего ума; если Эмили действительно кролик, факт этой истинности существует независимо от того, жив или мертв Рассел или любой другой ум, и отношение Эмили к кролику является «окончательным»:
В 1902 году Рассел обнаружил «порочный круг» ( парадокс Рассела ) в Grundgesetze der Arithmetik Фреге , выведенный из Основного закона V Фреге, и он был полон решимости не повторять его в своих Принципах математики 1903 года . В двух Приложениях, добавленных в последнюю минуту, он посвятил 28 страниц как подробному анализу теории Фреге в сравнении с его собственной, так и исправлению парадокса. Но он не был оптимистичен относительно результата:
Гёдель в своей работе 1944 года не согласился бы с молодым Расселом 1903 года («[мои предпосылки] позволяют математике быть истинной»), но, вероятно, согласился бы с утверждением Рассела, процитированным выше («что-то не так»); теория Рассела не смогла прийти к удовлетворительному обоснованию математики: результат был «по сути отрицательным; т. е. классы и понятия, введенные таким образом, не обладают всеми свойствами, требуемыми для использования математики» (Гёдель 1944:132).
Как Рассел оказался в такой ситуации? Гёдель замечает, что Рассел — удивительный «реалист» с изюминкой: он цитирует Рассела 1919:169 «Логика касается реального мира так же верно, как и зоология» (Гёдель 1944:120). Но он замечает, что «когда он начинал с конкретной проблемы, объекты, которые нужно было проанализировать (например, классы или предложения), вскоре по большей части превращались в «логические фикции»… [имея в виду] только то, что у нас нет прямого восприятия их». (Гёдель 1944:120)
В наблюдении, относящемся к расселовскому сорту логицизма, Перри замечает, что Рассел прошел через три фазы реализма: крайнюю, умеренную и конструктивную (Perry 1997:xxv). В 1903 году он находился в крайней фазе; к 1905 году он будет находиться в умеренной фазе. Через несколько лет он «откажется от физических или материальных объектов как основных частей обстановки мира. Он попытается сконструировать их из чувственных данных» в своей следующей книге « Наши знания о внешнем мире» [1914]» (Perry 1997:xxvi).
Эти конструкции, которые Гёдель в 1944 году назвал бы « номиналистическим конструктивизмом... который лучше было бы назвать фикционализмом », произошли от «более радикальной идеи Рассела, теории отсутствия классов» (стр. 125):
Подробнее см. в разделе «Критика» ниже.
Логицизм Фреге и Дедекинда похож на логицизм Рассела, но с различиями в деталях (см. Критицизмы ниже). В целом, логицистские выводы натуральных чисел отличаются от выводов, например, из аксиом Цермело для теории множеств ('Z'). В то время как в выводах из Z одно определение "числа" использует аксиому этой системы - аксиому спаривания - что приводит к определению " упорядоченной пары " - не существует явной числовой аксиомы в различных системах аксиом логицистов, позволяющих вывод натуральных чисел. Обратите внимание, что аксиомы, необходимые для вывода определения числа, могут различаться между системами аксиом для теории множеств в любом случае. Например, в ZF и ZFC аксиома спаривания, а следовательно, и понятие упорядоченной пары, выводятся из аксиомы бесконечности и аксиомы замены и требуются для определения чисел фон Неймана (но не чисел Цермело), тогда как в NFU числа Фреге могут быть выведены аналогично их выводу в Grundgesetze.
Principia , как и его предшественник Grundgesetze , начинает свое построение чисел с примитивных предложений, таких как «класс», «пропозициональная функция» и, в частности, отношений «сходства» (« равнозначности » : размещение элементов наборов во взаимно-однозначном соответствии) и «упорядочения» (использование отношения «последователя» для упорядочения наборов равнозначных классов)». [15] Логистический вывод приравнивает кардинальные числа, построенные таким образом, к натуральным числам, и эти числа в конечном итоге оказываются одного и того же «типа» — как классы классов — тогда как в некоторых конструкциях теории множеств — например, в числах фон Неймана и Цермело — каждое число имеет своего предшественника в качестве подмножества . Клини замечает следующее. (Предположения Клини (1) и (2) утверждают, что 0 обладает свойством P , а n + 1 обладает свойством P всякий раз, когда n обладает свойством P .)
Важность для логицистской программы построения натуральных чисел вытекает из утверждения Рассела: «То, что вся традиционная чистая математика может быть выведена из натуральных чисел, является довольно недавним открытием, хотя это давно подозревалось» (1919:4). Один вывод действительных чисел выводится из теории сечений Дедекинда на рациональных числах, рациональные числа в свою очередь выводятся из натуральных. Хотя пример того, как это делается, полезен, он опирается в первую очередь на вывод натуральных чисел. Таким образом, если философские трудности возникают в логицистском выводе натуральных чисел, этих проблем должно быть достаточно, чтобы остановить программу, пока они не будут решены (см. Критицизмы ниже).
Одна из попыток построения натуральных чисел обобщена Бернейсом в 1930–1931 гг. [16] Но вместо того, чтобы использовать краткое изложение Бернейса, которое является неполным в некоторых деталях, ниже излагается попытка перефразировать конструкцию Рассела, включающую некоторые конечные иллюстрации:
Для Рассела коллекции (классы) — это совокупности «вещей», определяемых собственными именами, которые возникают в результате предложений (утверждений факта о вещи или вещах). Рассел проанализировал это общее понятие. Он начинает с «терминов» в предложениях, которые он анализирует следующим образом:
Для Рассела «термины» являются либо «вещами», либо «понятиями»: «Все, что может быть объектом мысли, или может встречаться в любом истинном или ложном предложении, или может считаться одним, я называю термином . Это, таким образом, самое широкое слово в философском словаре. Я буду использовать как синонимы к нему слова «единица», «индивидуум» и «сущность». Первые два подчеркивают тот факт, что каждый термин есть один, в то время как третий выводится из того факта, что каждый термин имеет бытие, т.е. существует в некотором смысле. Человек, момент, число, класс, отношение, химера или что-либо еще, что может быть упомянуто, несомненно, является термином; и отрицать, что такая-то вещь является термином, всегда должно быть ложно» (Рассел 1903:43)
«Среди терминов можно выделить два вида, которые я буду называть соответственно вещами и понятиями ; первые — это термины, обозначаемые собственными именами, вторые — термины, обозначаемые всеми другими словами... Среди понятий, опять же, следует выделить по крайней мере два вида, а именно те, которые обозначаются прилагательными, и те, которые обозначаются глаголами» (1903:44).
«Первый вид часто называют предикатами или классовыми понятиями; последний всегда или почти всегда является отношениями» (1903:44).
«Я буду говорить о терминах предложения как о тех терминах, какими бы многочисленными они ни были, которые встречаются в предложении и могут рассматриваться как субъекты, о которых это предложение. Характерной чертой терминов предложения является то, что любой из них может быть заменен любой другой сущностью без прекращения существования предложения. Таким образом, мы будем говорить, что «Сократ — человек» — это предложение, имеющее только один термин; из оставшихся компонентов предложения один — глагол, другой — предикат... Предикаты, таким образом, — это понятия, отличные от глаголов, которые встречаются в предложениях, имеющих только один термин или субъект». (1903:45)
Предположим, кто-то указывает на объект и говорит: «Этот объект передо мной, называемый „Эмили“, — женщина». Это предложение, утверждение убеждения говорящего, которое должно быть проверено с помощью «фактов» внешнего мира: «Умы не создают истину или ложь. Они создают убеждения... то, что делает убеждение истинным, — это факт , и этот факт (за исключением исключительных случаев) никоим образом не затрагивает ум человека, имеющего убеждение» (1912:130). Если путем исследования высказывания и соответствия с «фактом» Рассел обнаруживает, что Эмили — кролик, то его высказывание считается «ложным»; если Эмили — женщина-человек (женщина «двуногое животное без перьев», как Рассел любит называть людей, следуя анекдоту Диогена Лаэртского о Платоне ), то его высказывание считается «истинным».
«Класс, в отличие от понятия класса, есть сумма или конъюнкция всех терминов, имеющих данный предикат» (1903, стр. 55). Классы могут быть определены по расширению (перечислению их членов) или по интенсионалу, т. е. «пропозициональной функцией», такой как « x is a u » или « x is v ». Но «если мы возьмем чистое расширение, наш класс будет определен перечислением его терминов, и этот метод не позволит нам иметь дело, как это делает Символическая логика, с бесконечными классами. Таким образом, наши классы должны в общем рассматриваться как объекты, обозначенные понятиями, и в этом смысле точка зрения интенсионала существенна» (1909, стр. 66)
«Характеристика понятия класса, в отличие от терминов вообще, заключается в том, что « x есть u » является пропозициональной функцией тогда и только тогда, когда u является понятием класса» (1903:56).
"71. Класс может быть определен либо экстенсионально, либо интенсионально. То есть, мы можем определить вид объекта, который является классом, или вид понятия, которое обозначает класс: это точное значение оппозиции экстенсионала и интенсионала в этой связи. Но хотя общее понятие может быть определено таким двояким образом, конкретные классы, за исключением случаев, когда они оказываются конечными, могут быть определены только интенсионально, т. е. как объекты, обозначаемые такими-то и такими-то понятиями... логически; экстенсиональное определение, по-видимому, в равной степени применимо к бесконечным классам, но на практике, если бы мы попытались это сделать, Смерть прервала бы наши похвальные усилия прежде, чем они достигли бы своей цели." (1903:69)
В «Prinicipia» натуральные числа выводятся из всех утверждений, которые можно утверждать о любой совокупности сущностей. Рассел ясно дает это понять во втором (выделенном курсивом) предложении ниже.
Для иллюстрации рассмотрим следующий конечный пример: предположим, что на улице есть 12 семей. У некоторых есть дети, у некоторых нет. Чтобы обсудить имена детей в этих домохозяйствах, требуется 12 предложений, утверждающих, что « имя ребенка — это имя ребенка в семье F n », примененных к этой совокупности домохозяйств на определенной улице семей с именами F1, F2, . . . F12. Каждое из 12 предложений касается того, применим ли «аргумент» имя ребенка к ребенку в определенном домохозяйстве. Имена детей ( имя ребенка ) можно рассматривать как x в пропозициональной функции f ( x ), где функция — это «имя ребенка в семье с именем F n ». [17] [ оригинальное исследование? ]
В то время как предыдущий пример конечен относительно конечной пропозициональной функции « имена детей в семье F n' » на конечной улице из конечного числа семей, Рассел, по-видимому, намеревался распространить следующий пример на все пропозициональные функции, простирающиеся на бесконечную область, чтобы позволить создание всех чисел.
Клини считает, что Рассел изложил непредикативное определение, которое ему придется разрешить, или рискнуть вывести что-то вроде парадокса Рассела . «Здесь вместо этого мы предполагаем совокупность всех свойств кардинальных чисел, как существующих в логике, до определения натуральной числовой последовательности» (Клини 1952:44). Проблема возникнет даже в представленном здесь конечном примере, когда Рассел будет иметь дело с классом единиц (ср. Рассел 1903:517).
Возникает вопрос, чем именно является или должен быть «класс». Для Дедекинда и Фреге класс — это отдельная сущность в своем собственном праве, «единство», которое может быть идентифицировано со всеми теми сущностями x, которые удовлетворяют некоторой пропозициональной функции F . (Этот символизм появляется у Рассела, приписываемый там Фреге: «Сущность функции — это то, что остается, когда x удаляется, т. е. в приведенном выше примере 2( ) 3 + ( ). Аргумент x не принадлежит функции, но вместе они составляют целое (ib. p. 6 [т. е. «Функция и носитель » Фреге 1891 г.]» (Рассел 1903:505).) Например, определенному «единству» можно дать имя; предположим, что в семье Fα есть дети с именами Энни, Барби и Чарльз:
Это понятие коллекции или класса как объекта, когда используется без ограничений, приводит к парадоксу Рассела ; см. ниже больше о непредикативных определениях . Решение Рассела состояло в том, чтобы определить понятие класса как только те элементы, которые удовлетворяют предложению, его аргумент состоял в том, что, действительно, аргументы x не принадлежат пропозициональной функции, также известной как «класс», созданный функцией. Сам класс не следует рассматривать как унитарный объект сам по себе, он существует только как своего рода полезная фикция: «Мы избежали решения относительно того, имеет ли класс вещей в каком-либо смысле существование как один объект. Решение этого вопроса в любом случае безразлично для нашей логики» (Первое издание Principia Mathematica 1927:24).
Рассел продолжает придерживаться этого мнения в своей работе 1919 года; обратите внимание на слова «символические фикции»: [ оригинальное исследование? ]
А во втором издании PM (1927) Рассел утверждает, что «функции возникают только через свои значения, . . . все функции функций являются экстенсиональными, . . . [и] следовательно, нет причин различать функции и классы . . . Таким образом, классы, в отличие от функций, теряют даже то призрачное бытие, которое они сохраняют в *20» (стр. xxxix). Другими словами, классы как отдельное понятие полностью исчезли.
Шаг 2: Собрать «похожие» классы в «пучки» : Эти вышеуказанные коллекции можно поместить в «бинарное отношение» (сравнение на предмет) сходства по «равномерности», обозначенное здесь как ≈ , т. е. взаимно однозначное соответствие элементов, [18] и тем самым создать расселовские классы классов или то, что Рассел называл «пучками». «Мы можем предположить, что все пары находятся в одном пучке, все трио — в другом и т. д. Таким образом, мы получаем различные пучки наборов, каждый из которых состоит из всех наборов, имеющих определенное количество членов. Каждый пучок — это класс, членами которого являются наборы, т. е. классы; таким образом, каждый из них является классом классов» (Рассел 1919:14).
Шаг 3: Определите нулевой класс : Обратите внимание, что определенный класс классов является особенным, поскольку его классы не содержат элементов, т. е. ни один элемент не удовлетворяет предикатам, утверждение которых определило этот конкретный класс/коллекцию.
Полученную сущность можно назвать «нулевым классом» или «пустым классом». Рассел обозначил нулевой/пустой класс как Λ. Так что же такое расселовский нулевой класс? В PM Рассел говорит, что «Класс считается существующим , когда у него есть хотя бы один член... класс, не имеющий членов, называется «нулевым классом»... «α является нулевым классом» эквивалентно «α не существует». Естественно возникает вопрос, существует ли сам нулевой класс? Трудности, связанные с этим вопросом, встречаются в работе Рассела 1903 года. [19] После того, как он обнаружил парадокс в Grundgesetze Фреге , он добавил Приложение A к своей работе 1903 года, где посредством анализа природы нулевых и единичных классов он обнаружил необходимость в «доктрине типов»; см. больше о единичном классе, проблеме непредикативных определений и «принципе порочного круга» Рассела ниже. [19]
Шаг 4: Назначьте «цифру» каждому пакету : в целях сокращения и идентификации назначьте каждому пакету уникальный символ (он же «цифра»). Эти символы являются произвольными.
Шаг 5: Определить "0" Следуя Фреге, Рассел выбрал пустой или нулевой класс классов в качестве подходящего класса для выполнения этой роли, это класс классов, не имеющих членов. Этот нулевой класс классов может быть помечен как "0"
Шаг 6: Определите понятие «последователя» : Рассел определил новую характеристику «наследственный» (ср. «предковый» Фреге), свойство определенных классов со способностью «наследовать» характеристику из другого класса (который может быть классом классов), т. е. «Свойство называется «наследственным» в натуральном ряду чисел, если, когда оно принадлежит числу n , оно также принадлежит n + 1, последователю n ». (1903:21). Он утверждает, что «натуральные числа являются потомством – «детьми», наследниками «последователя» – 0 по отношению к отношению «непосредственный предшественник (что является обратным к «последователю»)» (1919:23).
Обратите внимание, что Рассел использовал здесь несколько слов без определения, в частности, «числовой ряд», «число n » и «последователь». Он определит их в свое время. Обратите внимание, в частности, что Рассел не использует класс единиц классов «1» для построения преемника . Причина в том, что в подробном анализе Рассела [20] если класс единиц становится сущностью в своем собственном праве, то он также может быть элементом в своем собственном предложении; это приводит к тому, что предложение становится «непредикативным» и приводит к «порочному кругу». Вместо этого он утверждает: «В Главе II мы увидели, что кардинальное число должно быть определено как класс классов, а в Главе III — что число 1 должно быть определено как класс всех единичных классов, всех, которые имеют только один элемент, как мы бы сказали, если бы не порочный круг. Конечно, когда число 1 определяется как класс всех единичных классов, единичные классы должны быть определены так, чтобы не предполагать, что мы знаем, что подразумевается под единицей» (1919:181).
Для определения преемника Рассел будет использовать для своей «единицы» единую сущность или «термин» следующим образом:
Определение Рассела требует нового «термина», который «добавляется» в коллекции внутри пакетов.
Шаг 7: Построение преемника нулевого класса .
Шаг 8: Для каждого класса равночисленных классов создайте его потомка .
Шаг 9: Упорядочить числа : Процесс создания последователя требует отношения «... является последователем...», которое может быть обозначено как « S », между различными «цифрами». «Теперь мы должны рассмотреть серийный характер натуральных чисел в порядке 0, 1, 2, 3,... Обычно мы думаем о числах в этом порядке, и неотъемлемой частью работы по анализу наших данных является поиск определения «порядка» или «серии» в логических терминах... Порядок заключается не в классе терминов , а в отношении между членами класса, в отношении которых некоторые кажутся более ранними, а некоторые — более поздними». (1919:31)
Рассел применяет к понятию «отношение порядка» три критерия: во-первых, он определяет понятие асимметрии , т.е. задано отношение типа S («... является последователем...») между двумя терминами x и y : x S y ≠ y S x . Во-вторых, он определяет понятие транзитивности для трех цифр x , y и z : если x S y и y S z, то x S z . В-третьих, он определяет понятие связанности : «Из любых двух членов класса, который должен быть упорядочен, должен быть один, который предшествует, и другой, который следует... Отношение является связанным, когда из любых двух различных членов его поля [как области, так и обратной области отношения, например, мужья против жен в отношении женатого человека] отношение сохраняется между первым и вторым или между вторым и первым (не исключая возможности того, что могут произойти оба, хотя оба не могут произойти, если отношение асимметрично)» (1919:32).
Он заключает: «... [натуральное] число m называется меньшим, чем другое число n, когда n обладает всеми наследственными свойствами, которыми обладает преемник m . Легко видеть и нетрудно доказать, что отношение «меньше», определенное таким образом, является асимметричным, транзитивным и связным, и имеет [натуральные] числа для своего поля [т. е. как область определения, так и обратная область определения являются числами]» (1919:35)
Презумпция «внелогического» понятия итерации : Клини отмечает, что «логицистский тезис может быть окончательно подвергнут сомнению на том основании, что логика уже предполагает математические идеи в своей формулировке. С точки зрения интуиционизма, существенное математическое ядро содержится в идее итерации» (Клини 1952:46)
Бернайс (Bernays) (1930–1931) замечает, что это понятие «две вещи» уже предполагает что-то, даже без утверждения о существовании двух вещей, а также без ссылки на предикат, который применяется к двум вещам; оно означает просто «вещь и еще одну вещь... В отношении этого простого определения понятие числа оказывается элементарным структурным понятием ... утверждение логиков о том, что математика является чисто логическим знанием, оказывается размытым и вводящим в заблуждение при более внимательном рассмотрении теоретической логики... [можно расширить определение «логического»] однако посредством этого определения скрывается то, что является эпистемологически существенным, и упускается из виду то, что свойственно математике» (в Mancosu 1998:243).
Hilbert 1931:266-7, как и Бернайс, считает, что в математике есть «что-то внелогическое»: «Помимо опыта и мышления, есть еще третий источник знания. Даже если сегодня мы больше не можем согласиться с Кантом в деталях, тем не менее, самая общая и фундаментальная идея кантовской эпистемологии сохраняет свое значение: установить интуитивный априорный способ мышления и тем самым исследовать условие возможности всякого знания. По моему мнению, именно это по сути и происходит в моих исследованиях принципов математики. Априори здесь не больше и не меньше, чем фундаментальный способ мышления, который я также называю конечным способом мышления: нечто уже дано нам заранее в нашей способности представления: определенные внелогические конкретные объекты , которые существуют интуитивно как непосредственный опыт до всякой мысли. Если логический вывод должен быть определенным, то эти объекты должны быть полностью обозримы во всех своих частях, и их представление, их различия, их следование друг за другом или их расположение рядом друг с другом даны нам непосредственно и интуитивно, вместе с объектами, как нечто, что не может быть сведено ни к чему другому и не нуждается в таком сведении» (Hilbert 1931 в Mancosu 1998: 266, 267).
Короче говоря, по мнению Гильберта и Бернайса, понятие «последовательности» или «последователя» является априорным понятием, лежащим за пределами символической логики.
Гильберт отверг логицизм как «ложный путь»: «Некоторые пытались определить числа чисто логически; другие просто принимали обычные числовые теоретико-числовые способы вывода как самоочевидные. На обоих путях они сталкивались с препятствиями, которые оказывались непреодолимыми». (Гильберт 1931 в Манкосо 1998:267). Теоремы о неполноте, возможно, представляют собой аналогичное препятствие для гильбертовского финитизма.
Манкосу утверждает, что Брауэр пришел к выводу, что: «классические законы или принципы логики являются частью воспринимаемой регулярности [в символическом представлении]; они выводятся из постфактумной записи математических построений... Теоретическая логика... [является] эмпирической наукой и приложением математики» (Брауэр цитируется Манкосу 1998:9).
Что касается технических аспектов расселовского логицизма, как он представлен в Principia Mathematica (оба издания), то Гёдель в 1944 году был разочарован:
В частности, он указал, что «этот вопрос особенно сомнителен для правила подстановки и замены определенных символов их определениями » (Рассел 1944:120).
Что касается философии, которая могла бы лежать в основе этих основ, Гёдель считал, что «теория без классов» Рассела воплощает «номиналистический вид конструктивизма... который лучше было бы назвать фикционализмом» (ср. сноску 1 в Gödel 1944:119) – ошибочна. Подробнее см. в разделе «Критика и предложения Гёделя» ниже.
Сложная теория отношений продолжала душить объяснительное Введение в математическую философию Рассела 1919 года и его второе издание Principia 1927 года . Теория множеств, тем временем, продвинулась вперед с редукцией отношения к упорядоченной паре множеств. Грэттан-Гиннесс замечает, что во втором издании Principia Рассел проигнорировал эту редукцию, достигнутую его собственным учеником Норбертом Винером (1914). Возможно, из-за «остаточного раздражения Рассел вообще не отреагировал». [21] К 1914 году Хаусдорф дал другое, эквивалентное определение, а Куратовский в 1921 году дал то, которое используется сегодня . [22]
Предположим, библиотекарь хочет индексировать свою коллекцию в одну книгу (назовем ее Ι от "index"). Ее индекс будет содержать список всех книг и их местонахождения в библиотеке. Как оказалось, есть только три книги, и они имеют названия Ά, β и Γ. Чтобы сформировать свой индекс I, она идет и покупает книгу из 200 чистых страниц и называет ее "I". Теперь у нее четыре книги: I, Ά, β и Γ. Ее задача несложная. После завершения содержимое ее индекса I будет состоять из 4 страниц, каждая из которых имеет уникальное название и уникальное местонахождение (каждая запись сокращенно обозначается как Title.Location T ):
Такого рода определение I Пуанкаре считал « непредикативным ». Он, по-видимому, считал, что в математике допустимы только предикативные определения:
По определению Пуанкаре, библиотечный указатель является «непредикативным», поскольку определение I зависит от определения совокупности I, Ά, β и Γ. Как отмечено ниже, некоторые комментаторы настаивают на том, что непредикативность в версиях здравого смысла безвредна, но, как показывают примеры ниже, существуют версии, которые не являются безвредными. В ответ на эти трудности Рассел отстаивал строгий запрет, свой «принцип порочного круга»:
Чтобы проиллюстрировать, каким пагубным примером непредикативности может быть, рассмотрим последствие ввода аргумента α в функцию f с выходом ω = 1−α. Это можно рассматривать как эквивалент выражения «алгебраической логики» выражению «символической логики» ω = НЕ -α со значениями истинности 1 и 0. Когда вход α = 0, выход ω = 1; когда вход α = 1, выход ω = 0.
Чтобы сделать функцию «непредикативной», отождествим вход с выходом, получив α = 1−α
В алгебре, скажем, рациональных чисел уравнение выполняется, когда α = 0,5. Но в пределах, например, булевой алгебры, где допускаются только «значения истинности» 0 и 1, тогда равенство не может быть выполнено.
Некоторые трудности в программе логицистов могут вытекать из парадокса α = НЕ-α [25]. Рассел обнаружил в Begriffsschrift Фреге 1879 года [26] , что Фреге позволил функции выводить свой входной «функционал» (значение ее переменной) не только из объекта (вещи, термина), но и из собственного выхода функции. [27]
Как описано выше, построения натуральных чисел как Фреге, так и Рассела начинаются с формирования равновеликих классов классов («пучков»), за которыми следует назначение уникального «числа» каждому пучку, а затем размещение пучков в порядке посредством отношения S , которое является асимметричным: x S y ≠ y S x . Но Фреге, в отличие от Рассела, позволил классу единичных классов быть идентифицированным как сама единица:
Но поскольку класс с цифрой 1 является отдельным объектом или единицей в своем собственном праве, он также должен быть включен в класс единичных классов. Это включение приводит к бесконечному регрессу возрастающего типа и возрастающего содержания.
Рассел избежал этой проблемы, объявив класс чем-то большим или «фикцией». Под этим он подразумевал, что класс может обозначать только те элементы, которые удовлетворяют его пропозициональной функции и ничего больше. Как «фикция» класс не может считаться вещью: сущностью, «термином», сингулярностью, «единицей». Это совокупность, но , по мнению Рассела, она «не достойна вещности»:
Это предполагает, что «внизу» каждый отдельный «терм» может быть перечислен (определен «предикативным» предикатом) для любого класса, для любого класса классов, для класса классов классов и т. д., но это вводит новую проблему — иерархию «типов» классов.
Гёдель 1944:131 замечает, что «Рассел приводит два довода против экстенсионального взгляда на классы, а именно существование (1) нулевого класса, который не может быть совокупностью, и (2) единичных классов, которые должны быть идентичны своим отдельным элементам». Он предполагает, что Рассел должен был считать их фиктивными, но не выводить из этого дальнейшего заключения, что все классы (например, класс классов, определяющий числа 2, 3 и т. д.) являются фикцией.
Но Рассел этого не сделал. После подробного анализа в Приложении А: Логические и арифметические доктрины Фреге в его 1903 году Рассел заключает:
В следующем отметим формулировку «класс как множество» — класс есть совокупность тех терминов (вещей), которые удовлетворяют пропозициональной функции, но класс не есть вещь в себе :
Это как если бы владелец ранчо собрал весь свой скот (овец, коров и лошадей) в три фиктивных загона (один для овец, один для коров и один для лошадей), которые находятся на его фиктивном ранчо. На самом деле существуют овцы, коровы и лошади (расширения), но не фиктивные «концепции» загона и ранчо. [ оригинальное исследование? ]
Когда Рассел провозгласил, что все классы являются полезными фикциями, он решил проблему «единичного» класса, но общая проблема не исчезла; скорее, она появилась в новой форме: «Теперь необходимо будет различать (1) термины, (2) классы, (3) классы классов и так далее до бесконечности ; мы должны будем считать, что ни один член одного множества не является членом какого-либо другого множества, и что x ε u требует, чтобы x принадлежал множеству, степень которого на единицу ниже, чем у множества, к которому принадлежит u . Таким образом, x ε x станет бессмысленным предложением; и таким образом противоречие будет устранено» (1903:517).
Это «доктрина типов» Рассела. Чтобы гарантировать, что непредикативные выражения, такие как x ε x, могут рассматриваться в его логике, Рассел предложил в качестве своего рода рабочей гипотезы, что все такие непредикативные определения имеют предикативные определения. Это предположение требует понятий функций-«порядков» и аргументов-«типов». Во-первых, функции (и их классы-как-расширения, т. е. «матрицы») должны быть классифицированы по их «порядку», где функции индивидов имеют порядок 1, функции функций (классы классов) имеют порядок 2 и т. д. Затем он определяет «тип» аргументов функции («входные данные» функции) как их «диапазон значимости», т. е. каковы те входные данные α (индивиды? классы? классы-классов? и т. д.), которые при включении в f ( x ) дают осмысленный выход ω. Обратите внимание, что это означает, что «тип» может быть смешанного порядка, как показано в следующем примере:
Это предложение можно разложить на два предложения: « x выиграл Мировую серию 1947 года» + « y выиграл Мировую серию 1947 года». Первое предложение принимает в качестве x отдельного «Джо Ди Маджио» в качестве входных данных, другое принимает в качестве y совокупность «Янкиз» в качестве входных данных. Таким образом, составное предложение имеет (смешанный) тип 2, смешанный по порядку (1 и 2).
Под «предикативным» Рассел подразумевал, что функция должна быть более высокого порядка, чем «тип» ее переменной(ых). Таким образом, функция (порядка 2), которая создает класс классов, может принимать только аргументы для своей(их) переменной(ых), которые являются классами (тип 1) и индивидами (тип 0), поскольку это более низкие типы. Тип 3 может принимать только типы 2, 1 или 0 и так далее. Но эти типы могут быть смешанными (например, чтобы это предложение было (вроде) истинным: « z выиграл Мировую серию 1947 года» может принимать индивида (тип 0) «Джо Ди Маджио» и/или имена его других товарищей по команде, и оно может принимать класс (тип 1) отдельных игроков «Янкиз».
Аксиома сводимости — это гипотеза о том, что любая функция любого порядка может быть сведена к (или заменена) эквивалентной предикативной функции соответствующего порядка. [28] Внимательное прочтение первого издания показывает, что предикативная функция n- го порядка не обязательно должна быть выражена «полностью вниз» как огромная «матрица» или совокупность отдельных атомарных предложений. «Поскольку на практике важны только относительные типы переменных; таким образом, низший тип, встречающийся в данном контексте, может быть назван типом индивидов» (стр. 161). Но аксиома сводимости предполагает, что в теории редукция «полностью вниз» возможна.
Однако ко второму изданию ПМ 1927 года Рассел отказался от аксиомы сводимости и пришел к выводу, что он действительно сведет любой порядок функции «вплоть до его элементарных предложений, связанных вместе логическими операторами:
(«Штрих» — это штрих Шеффера , принятый для 2-го издания PM, — одна логическая функция с двумя аргументами, из которой могут быть определены все другие логические функции.)
Однако конечным результатом стал крах его теории. Рассел пришел к такому обескураживающему выводу: что «теория ординалов и кардиналов выжила... но с иррациональными числами и действительными числами в целом больше нельзя адекватно иметь дело... Возможно, какая-то дополнительная аксиома, менее предосудительная, чем аксиома сводимости, могла бы дать эти результаты, но нам не удалось найти такую аксиому» ( PM 1927:xiv).
Гёдель (1944) соглашается, что проект Рассела в области логики был загнан в угол; он, по-видимому, не согласен с тем, что даже целые числа выжили:
Однако Гёдель утверждает, что эта процедура, по-видимому, предполагает арифметику в той или иной форме (стр. 134). Он делает вывод, что «получаются целые числа разных порядков» (стр. 134-135); доказательство в Russell 1927 PM Appendix B того, что «целые числа любого порядка выше 5 совпадают с числами порядка 5», «не является окончательным», и «вопрос о том, может ли (или в какой степени) теория целых чисел быть получена на основе разветвленной иерархии [классы плюс типы], следует считать нерешенным в настоящее время». Гёдель пришел к выводу, что это в любом случае не имело бы значения, поскольку пропозициональные функции порядка n (любого n ) должны описываться конечными комбинациями символов (все цитаты и содержание взяты со страницы 135).
Гёдель в своей работе 1944 года определяет место, где, по его мнению, логицизм Рассела терпит неудачу, и предлагает варианты исправления проблем. Он подвергает «принцип порочного круга» повторному рассмотрению, разделяя его на три части: «определяемые только в терминах», «включающие» и «предполагающие». Это первая часть, которая «делает невозможными непредикативные определения и тем самым разрушает вывод математики из логики, осуществленный Дедекиндом и Фреге, и значительную часть самой математики». Поскольку, утверждает он, математика стремится полагаться на свои неотъемлемые непредикативности (например, «действительные числа, определяемые ссылкой на все действительные числа»), он заключает, что то, что он предложил, является «доказательством того, что принцип порочного круга ложен [а не того, что классическая математика ложна» (все цитаты из Гёделя 1944:127).
Теория Рассела без классов является корнем проблемы : Гёдель считает, что непредикативность не является «абсурдной», как это представляется во всей математике. Проблема Рассела вытекает из его «конструктивистской (или номиналистической» [29] ) точки зрения на объекты логики и математики, в частности, на предложения, классы и понятия... понятие является символом... так что отдельный объект, обозначенный символом, кажется простой фикцией» (стр. 128).
Действительно, в теории Рассела об «отсутствии классов» Гёдель делает вывод:
Он завершает свое эссе следующими предложениями и замечаниями:
Неологизм описывает ряд взглядов, которые их сторонники считают преемниками первоначальной программы логицизма. [30] В более узком смысле неологизм можно рассматривать как попытку спасти некоторые или все элементы программы Фреге посредством использования модифицированной версии системы Фреге в Grundgesetze (которую можно рассматривать как своего рода логику второго порядка ).
Например, можно заменить Основной закон V (аналогичный схеме аксиом неограниченного понимания в наивной теории множеств ) некоторой «более безопасной» аксиомой, чтобы предотвратить вывод известных парадоксов. Наиболее цитируемым кандидатом на замену BLV является принцип Юма , контекстуальное определение «#», заданное как «# F = # G тогда и только тогда, когда существует биекция между F и G» . [31] Этот вид неологизма часто называют неофрегианством . [32] Сторонники неофрегианства включают Криспина Райта и Боба Хейла , иногда также называемых шотландской школой или абстракционистским платонизмом , [33] которые поддерживают форму эпистемического фундаментализма . [34]
Другие основные сторонники неологицизма включают Бернарда Линского и Эдварда Н. Залта , иногда называемых школой Стэнфорда-Эдмонтона , абстрактный структурализм или модальный неологицизм , которые поддерживают форму аксиоматической метафизики . [34] [32] Модальный неологицизм выводит аксиомы Пеано в рамках теории модальных объектов второго порядка . [35] [36]
Другой квазинеологистский подход был предложен М. Рэндаллом Холмсом. В этом виде поправки к Grundgesetze BLV остается нетронутым, за исключением ограничения на стратифицируемые формулы в стиле NF Куайна и связанных с ним систем. По сути, все Grundgesetze затем «проходят». Полученная система имеет ту же силу согласованности, что и NFU Йенсена + Аксиома подсчета Россера. [ 37]
