Чистая математика — это изучение математических понятий независимо от каких-либо приложений за пределами математики . Эти концепции могут возникать из реальных проблем, а полученные результаты могут позже оказаться полезными для практических приложений, но чистые математики не заинтересованы в первую очередь в таких приложениях. Вместо этого привлекательность объясняется интеллектуальной сложностью и эстетической красотой разработки логических следствий основных принципов .
Хотя чистая математика существовала как вид деятельности, по крайней мере, со времен Древней Греции , эта концепция была разработана примерно в 1900 году, [2] после появления теорий с нелогичными свойствами (таких как неевклидова геометрия и теория бесконечных множеств Кантора). ) и открытие очевидных парадоксов (таких как непрерывные функции , которые нигде не дифференцируемы , и парадокс Рассела ). Это привело к необходимости обновить концепцию математической строгости и соответствующим образом переписать всю математику с систематическим использованием аксиоматических методов . Это побудило многих математиков сосредоточиться на математике как таковой, то есть на чистой математике.
Тем не менее, почти все математические теории оставались мотивированными проблемами, исходящими из реального мира или менее абстрактных математических теорий. Кроме того, многие математические теории, которые, казалось, были совершенно чистой математикой, со временем стали использоваться в прикладных областях, главным образом в физике и информатике . Известным ранним примером является демонстрация Исааком Ньютоном того, что его закон всемирного тяготения подразумевает, что планеты движутся по орбитам, которые представляют собой конические сечения , геометрические кривые, которые изучал в древности Аполлоний . Другой пример — проблема факторизации больших целых чисел , лежащая в основе криптосистемы RSA , широко используемой для защиты интернет- коммуникаций. [3]
Отсюда следует, что в настоящее время различие между чистой и прикладной математикой является скорее философской точкой зрения или предпочтением математика, а не жестким подразделением математики. [ нужна цитата ]
Древнегреческие математики были одними из первых, кто провел различие между чистой и прикладной математикой. Платон помог создать разрыв между «арифметикой», ныне называемой теорией чисел , и «логистикой», ныне называемой арифметикой . Платон считал логистику (арифметику) подходящей для бизнесменов и военных, которые «должны научиться искусству чисел, иначе [они] не будут знать, как выстроить [свои] войска», а арифметику (теорию чисел) — подходящей для философов, «потому что [ они должны] подняться из моря перемен и ухватиться за истинное бытие». [4] Евклид Александрийский , когда один из его учеников спросил, какая польза от изучения геометрии, попросил своего раба дать ученику три пенса, «поскольку он должен извлечь выгоду из того, что узнает». [5] Греческого математика Аполлония Пергского спросили о полезности некоторых из его теорем в книге IV « Коники» , на что он с гордостью заявил: [6]
Они достойны принятия ради самих доказательств, точно так же, как мы принимаем многие другие вещи в математике именно по этой и ни по какой другой причине.
А поскольку многие из его результатов не были применимы к науке или технике того времени, Аполлоний в предисловии к пятой книге « Коники» далее утверждал , что этот предмет является одним из тех, которые «... кажутся достойными изучения сами по себе. ." [6]
Сам этот термин закреплен в полном названии садлейрианской кафедры «Садлейрианский профессор чистой математики», основанной (как профессорство) в середине девятнадцатого века. Возможно, именно тогда возникла идея отдельной дисциплины чистой математики. Поколение Гаусса не проводило резкого различия между чистым и прикладным . В последующие годы специализация и профессионализация (особенно в подходе Вейерштрасса к математическому анализу ) начали делать раскол более очевидным.
В начале двадцатого века математики взяли на вооружение аксиоматический метод , находящийся под сильным влиянием примера Дэвида Гильберта . Логическая формулировка чистой математики, предложенная Бертраном Расселом в терминах кванторной структуры предложений , казалась все более и более правдоподобной по мере того, как большие части математики становились аксиоматизированными и, таким образом, подчинялись простым критериям строгого доказательства .
Чистая математика, согласно точке зрения, которую можно приписать группе Бурбаки , и есть то, что доказано. «Чистый математик» стал признанной профессией, достижимой посредством обучения.
Было доказано, что чистая математика полезна в инженерном образовании : [7]
Одной из центральных концепций чистой математики является идея общности; чистая математика часто демонстрирует тенденцию к большей общности. Использование и преимущества общности включают следующее:
Влияние общности на интуицию зависит как от предмета, так и от личных предпочтений или стиля обучения. Часто общность рассматривается как помеха интуиции, хотя она, безусловно, может служить ей подспорьем, особенно когда она обеспечивает аналогии с материалом, для которого уже имеется хорошая интуиция.
В качестве яркого примера общности программа Эрлангена включала расширение геометрии для включения неевклидовой геометрии , а также области топологии и других форм геометрии, рассматривая геометрию как исследование пространства вместе с группой преобразований . . Изучение чисел , называемое алгеброй на начальном уровне бакалавриата, распространяется на абстрактную алгебру на более продвинутом уровне; а изучение функций , называемое исчислением на уровне первокурсников колледжа, становится математическим анализом и функциональным анализом на более продвинутом уровне. Каждая из этих отраслей более абстрактной математики имеет множество подспециальностей, и на самом деле существует множество связей между чистой математикой и дисциплинами прикладной математики. В середине 20 века наблюдался резкий рост абстракции .
Однако на практике эти разработки привели к резкому отходу от физики , особенно в период с 1950 по 1983 год. Позже это подверглось критике, например, со стороны Владимира Арнольда , как слишком много Гильберта , недостаточно Пуанкаре . Вопрос, кажется, еще не решен, поскольку теория струн тянет в одну сторону, в то время как дискретная математика отступает к доказательству как центральному принципу.
Математики всегда имели разные мнения относительно различия между чистой и прикладной математикой. Один из самых известных (но, возможно, неправильно понятых) современных примеров этой дискуссии можно найти в эссе Г.Х. Харди 1940 года «Апология математика» .
Широко распространено мнение, что Харди считал прикладную математику уродливой и скучной. Хотя это правда, что Харди предпочитал чистую математику, которую он часто сравнивал с живописью и поэзией , Харди видел различие между чистой и прикладной математикой просто в том, что прикладная математика стремилась выразить физическую истину в математической структуре, тогда как чистая математика выражала истины, которые были независимы от физического мира. Харди провел в математике отдельное различие между тем, что он называл «настоящей» математикой, «которая имеет постоянную эстетическую ценность», и «скучными и элементарными частями математики», имеющими практическое применение. [8]
Харди считал некоторых физиков, таких как Эйнштейн и Дирак , одними из «настоящих» математиков, но в то время, когда он писал свою « Апологию» , он считал общую теорию относительности и квантовую механику «бесполезными», что позволило ему придерживаться мнение, что полезна только «скучная» математика. Более того, Харди вкратце признал, что — точно так же, как применение теории матриц и теории групп к физике произошло неожиданно, — может наступить время, когда некоторые виды красивой, «настоящей» математики также могут оказаться полезными.
Другой проницательный взгляд предлагает американский математик Энди Магид :
Я всегда думал, что хорошую модель здесь можно почерпнуть из теории колец. В этом предмете есть разделы коммутативной теории колец и некоммутативной теории колец . Неосведомленный наблюдатель может подумать, что это дихотомия, но на самом деле последняя включает в себя первую: некоммутативное кольцо — это не обязательно коммутативное кольцо. Если мы используем аналогичные соглашения, то мы могли бы обратиться к прикладной математике и неприкладной математике, где под последней мы подразумеваем необязательно прикладную математику ... [курсив добавлен] [9]
Фридрих Энгельс в своей книге «Анти-Дюринг» 1878 года утверждал , что «совершенно неверно, что в чистой математике разум имеет дело только со своими собственными творениями и фантазиями. Понятия числа и фигуры не были изобретены из какого-либо источника, кроме мира. реальности». [10] :36 Далее он утверждал, что «прежде чем пришла в голову идея вывести форму цилиндра из вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, ряд реальных прямоугольников и цилиндров, какими бы несовершенными по форме они ни были, должны были иметь Как и все другие науки, математика возникла из потребностей человека... Но, как и во всякой области мысли, на известной ступени развития законы, отвлеченные от реального мира, оторваны от реального мира. мира и противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как законы, приходящие извне, которым мир должен подчиняться». [10] : 37
