Связь Галуа

Частное соответствие между двумя частично упорядоченными множествами

В математике , особенно в теории порядка , связь Галуа — это особое соответствие (обычно) между двумя частично упорядоченными множествами (частично упорядоченными множествами). Связи Галуа находят применение в различных математических теориях. Они обобщают фундаментальную теорему теории Галуа о соответствии между подгруппами и подполями , открытую французским математиком Эваристом Галуа .

Связи Галуа также могут быть определены на предупорядоченных множествах или классах ; в этой статье представлен общий случай частично упорядоченных множеств. В литературе встречаются два тесно связанных понятия «связей Галуа». В этой статье мы будем называть их (монотонными) связями Галуа и антитонными связями Галуа .

Связь Галуа довольно слаба по сравнению с изоморфизмом порядка между вовлеченными частично упорядоченными множествами, но каждая связь Галуа порождает изоморфизм определенных подчастичных множеств, как будет объяснено ниже. Термин соответствие Галуа иногда используется для обозначения биективной связи Галуа ; это просто изоморфизм порядка (или двойной изоморфизм порядка, в зависимости от того, берем ли мы монотонные или антитонные связи Галуа).

Определения

(Монотон) Связь Галуа

Пусть ( A , ≤) и ( B , ≤) — два частично упорядоченных множества . Монотонное соединение Галуа между этими частично упорядоченными множествами состоит из двух монотонных ^[1] функций : F  : A → B и G  : B → A , таких, что для всех a в A и b в B , мы имеем

F ( a ) ≤ b тогда и только тогда, когда a ≤ G ( b ) .

В этой ситуации F называется нижним сопряженным элементом G , а G называется верхним сопряженным элементом F. Мнемонически терминология «верхний/нижний» относится к тому, где появляется применение функции относительно ≤. ^[2] Термин «сопряжённый» относится к тому факту, что монотонные связи Галуа являются особыми случаями пар сопряжённых функторов в теории категорий, как обсуждается ниже. Другая терминология, встречающаяся здесь, — левый сопряженный элемент (соответственно правый сопряженный элемент ) для нижнего (соответственно верхнего) сопряжённого элемента.

Существенным свойством связности Галуа является то, что верхний/нижний сопряженный элемент связности Галуа однозначно определяет другой:

F ( a ) — наименьший элемент~б с ≤ G (​~б) , и

G ( b ) — самый большой элемент~ас Ф (~а) ≤ б .

Следствием этого является то, что если F или G являются биективными , то каждый из них является обратным другим, т.е. F = G ⁻¹ .

При наличии связи Галуа с нижним сопряженным F и верхним сопряженным G мы можем рассмотреть композиции GF  : A → A , известные как ассоциированный оператор замыкания , и FG  : B → B , известные как ассоциированный оператор ядра. Оба являются монотонными и идемпотентными , и мы имеем a ≤ GF ( a ) для всех a в A и FG ( b ) ≤ b для всех b в B .

Вставка Галуа из B в A — это соединение Галуа, в котором оператор ядра FG является тождественным на B , и, следовательно, G — порядковый изоморфизм B на множество замкнутых элементов GF  [ A ] из A. ^[3]

Связь Антитона Галуа

Вышеуказанное определение распространено во многих современных приложениях и играет важную роль в теории решеток и доменов . Однако первоначальное понятие в теории Галуа немного отличается. В этом альтернативном определении связь Галуа — это пара антитонных , т.е. меняющих порядок, функций F  : A → B и G  : B → A между двумя частично упорядоченными множествами A и B , таких, что

b ≤ F ( a ) тогда и только тогда, когда a ≤ G ( b ) .

Симметрия F и G в этой версии стирает различие между верхней и нижней, и две функции тогда называются полярностями, а не сопряженными. ^[4] Каждая полярность однозначно определяет другую, поскольку

F ( a ) — наибольший элемент b с a ≤ G ( b ) , и

G ( b ) — наибольший элемент a с b ≤ F ( a ) .

Композиции GF  : A → A и FG  : B → B являются соответствующими операторами замыкания; они являются монотонными идемпотентными отображениями со свойством a ≤ GF ( a ) для всех a из A и b ≤ FG ( b ) для всех b из B .

Последствия двух определений связей Галуа очень похожи, поскольку антитонная связь Галуа между A и B — это просто монотонная связь Галуа между A и B , дуальным по порядку ^B. Таким образом, все приведенные ниже утверждения о связях Галуа можно легко преобразовать в утверждения об антитонных связях Галуа .

Примеры

Биекции

Биекция пары функций и обратных друг другу функций образует (тривиальное) соединение Галуа следующим образом. Поскольку отношение равенства рефлексивно, транзитивно и антисимметрично, оно, тривиально, является частичным порядком , создавая и частично упорядоченные множества. Поскольку тогда и только тогда, когда у нас есть соединение Галуа. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to X,}$ ${\displaystyle (X,=)}$ ${\displaystyle (Y,=)}$ ${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle x=g(y),}$

Монотонные связи Галуа

Пол; потолок

Монотонная связь Галуа между множеством целых чисел и множеством действительных чисел , каждое из которых имеет свой обычный порядок, задается обычной функцией вложения целых чисел в действительные числа и функцией пола, усекающей действительное число до наибольшего целого числа, меньшего или равного ему. Вложение целых чисел обычно выполняется неявно, но чтобы показать связь Галуа, мы делаем это явно. Поэтому пусть обозначает функцию вложения, а обозначает функцию пола, поэтому Эквивалентность затем переводится в ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F:\mathbb {Z} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(n)=n\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G(x)=\lfloor x\rfloor .}$ ${\displaystyle F(n)\leq x~\Leftrightarrow ~n\leq G(x)}$

${\displaystyle n\leq x~\Leftrightarrow ~n\leq \lfloor x\rfloor .}$

Это справедливо, поскольку переменная ограничена целыми числами. Хорошо известные свойства функции пола, такие как могут быть получены элементарными рассуждениями из этой связи Галуа. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,}$

Двойственные порядки дают еще одно монотонное соединение Галуа, теперь с функцией потолка :

${\displaystyle x\leq n~\Leftrightarrow ~\lceil x\rceil \leq n.}$

Силовой набор; импликация и конъюнкция

Для примера теории порядка пусть U будет некоторым множеством , и пусть A и B оба будут множеством мощности U , упорядоченным по включению . Выберите фиксированное подмножество L из U. Тогда отображения F и G , где F ( M  ) = L ∩ M и G ( N  ) = N ∪ ( U  \  L ) , образуют монотонное соответствие Галуа, причем F является нижним сопряженным элементом. Аналогичное соответствие Галуа, нижнее сопряженное значение которого задается операцией meet ( infimum ), можно найти в любой алгебре Гейтинга . В частности, оно присутствует в любой булевой алгебре , где два отображения можно описать с помощью F ( x ) = ( a ∧ x ) и G (  y ) = (  y ∨ ¬ a ) = ( a ⇒ y ) . В логических терминах: «импликация из а » — это верхний сопряженный член «конъюнкции с а ».

Решетки

Другие интересные примеры для связей Галуа описаны в статье о свойствах полноты . Грубо говоря, оказывается, что обычные функции ∨ и ∧ являются нижними и верхними сопряженными к диагональному отображению X → X × X. Наименьший и наибольший элементы частичного порядка задаются нижними и верхними сопряженными к единственной функции X → {1}. Идя дальше, даже полные решетки могут быть охарактеризованы существованием подходящих сопряженных. Эти соображения дают некоторое представление о повсеместности связей Галуа в теории порядка.

Транзитивные групповые действия

Пусть G действует транзитивно на X и выбирает некоторую точку x в X. Рассмотрим

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B\subseteq X:x\in B;\forall g\in G,gB=B\ \mathrm {or} \ gB\cap B=\emptyset \},}$

множество блоков , содержащих x . Далее, пусть состоит из подгрупп G , содержащих стабилизатор x . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Далее следует переписка : ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle B\mapsto H_{B}=\{g\in G:gx\in B\}}$

является монотонным, взаимно-однозначным соединением Галуа. ^[5] Как следствие , можно установить, что дважды транзитивные действия не имеют блоков, отличных от тривиальных (синглетонов или всего X ): это следует из того, что стабилизаторы являются максимальными в G в этом случае. См. Двукратно транзитивную группу для дальнейшего обсуждения.

Изображение и прообраз

Если f  : X → Y — функция , то для любого подмножества M из X мы можем сформировать образ F ( M  ) =   f M = {  f  ( m ) | m ∈ M }, а для любого подмножества N из Y мы можем сформировать обратный образ G ( N  ) =   f ⁻¹ N = { x ∈ X |   f  ( x ) ∈ N }. Тогда F и G образуют монотонное соответствие Галуа между множеством степеней X и множеством степеней Y , оба упорядоченные включением ⊆. В этой ситуации есть еще одна сопряженная пара: для подмножества M из X определим H ( M ) = { y ∈ Y |   f ⁻¹ { y } ⊆ M }. Тогда G и H образуют монотонное соответствие Галуа между множеством степеней Y и множеством степеней X . В первом соединении Галуа G является верхним сопряженным элементом, тогда как во втором соединении Галуа он служит нижним сопряженным элементом.      

В случае факторного отображения между алгебраическими объектами (такими как группы ) эта связь называется теоремой о решетке : подгруппы группы G соединяются с подгруппами группы G / N , а оператор замыкания на подгруппах группы G задается формулой H = HN .

Пролет и закрытие

Выберите некоторый математический объект X , имеющий базовое множество , например группу, кольцо , векторное пространство и т. д. Для любого подмножества S из X пусть F ( S ) будет наименьшим подобъектом X , содержащим S , т . е  . подгруппой , подкольцом или подпространством , порожденным S . Для любого подобъекта U из X пусть G ( U ) будет базовым  множеством U . (Мы даже можем взять X как топологическое пространство , пусть F ( S  ) — замыкание S , и взять в качестве «подобъектов X » замкнутые подмножества X . ) Теперь F и G образуют монотонное соотношение Галуа между подмножествами X и подобъектами X , если оба упорядочены по включению. F — нижний сопряженный.

Синтаксис и семантика

Очень общее замечание Уильяма Ловера ^[6] заключается в том, что синтаксис и семантика сопряжены: возьмем A как множество всех логических теорий (аксиоматизаций), упорядоченных в обратном порядке по силе, а B как множество мощности множества всех математических структур. Для теории T ∈ A пусть Mod( T  ) будет множеством всех структур, удовлетворяющих аксиомам T  ; для множества математических структур S ∈ B пусть Th( S  ) будет минимумом аксиоматизаций, которые приближают S (в логике первого порядка это множество предложений, которые истинны во всех структурах в S ). Тогда мы можем сказать, что S является подмножеством Mod( T  ) тогда и только тогда, когда Th( S  ) логически влечет T : «функтор семантики» Mod и «функтор синтаксиса» Th образуют монотонное соединение Галуа, причем семантика является верхним сопряженным.

Связи Антитона Галуа

теория Галуа

Мотивирующий пример взят из теории Галуа: предположим, что L / K — расширение поля . Пусть A — множество всех подполей L , содержащих K , упорядоченных включением ⊆. Если E — такое подполе, запишем Gal( L / E ) для группы автоморфизмов поля L , которые фиксируют E. Пусть B — множество подгрупп Gal( L / K ) , упорядоченных включением ⊆. Для такой подгруппы G определим Fix( G ) как поле, состоящее из всех элементов L , которые фиксируются всеми элементами G . Тогда отображения E ↦ Gal( L / E ) и G ↦ Fix( G ) образуют антитонную связность Галуа.

Алгебраическая топология: покрывающие пространства

Аналогично, если задано линейно связное топологическое пространство X , то существует антитонная связь Галуа между подгруппами фундаментальной группы π ₁ ( X ) и линейно связными накрывающими пространствами X. В частности, если X полулокально односвязно , то для каждой подгруппы G из π ₁ ( X ) существует накрывающее пространство с G в качестве его фундаментальной группы.

Линейная алгебра: аннигиляторы и ортогональные дополнения

При наличии внутреннего произведения пространства V мы можем сформировать ортогональное дополнение F ( X  ) любого подпространства X пространства V . Это дает антитонную связь Галуа между множеством подпространств V и им самим, упорядоченную по включению; обе полярности равны F .

Для заданного векторного пространства V и подмножества X множества V мы можем определить его аннулятор F ( X  ) , состоящий из всех элементов сопряженного пространства V  ^∗ множества V , которые равны нулю на X . Аналогично, для заданного подмножества Y множества V  ^∗ мы определяем его аннулятор G ( Y  ) = {  x ∈ V | φ ( x ) = 0 ∀ φ ∈ Y  }. Это дает антитонную связь Галуа между подмножествами V и подмножествами V  ^∗ .

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии связь между множествами многочленов и их нулевыми множествами является антитонной связью Галуа.

Зафиксируем натуральное число n и поле K, и пусть A будет множеством всех подмножеств кольца многочленов K [ X ₁ , ..., X _n ], упорядоченных включением ⊆, и пусть B будет множеством всех подмножеств кольца K ^{n ,} упорядоченных включением ⊆. Если S — множество многочленов, определим многообразие нулей как

${\displaystyle V(S)=\{x\in K^{n}:f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in S\},}$

множество общих нулей многочленов в S. Если U является подмножеством K ⁿ , определим I ( U  ) как идеал многочленов, обращающихся в нуль на U , то есть

${\displaystyle I(U)=\{f\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]:f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in U\}.}$

Тогда V и I образуют антитональную связь Галуа.

Замыкание на K ⁿ является замыканием в топологии Зарисского , и если поле K алгебраически замкнуто , то замыкание на кольце многочленов является радикалом идеала, порожденного S .

В более общем случае, если задано коммутативное кольцо R (не обязательно кольцо многочленов), то существует антитонная связь Галуа между радикальными идеалами в кольце и замкнутыми по Зарискому подмножествами аффинного многообразия Spec ( R ) .

В более общем случае существует антитонная связь Галуа между идеалами в кольце и подсхемами соответствующего аффинного многообразия .

Связи на множествах мощности, возникающие из бинарных отношений

Предположим, что X и Y — произвольные множества и задано бинарное отношение R над X и Y. Для любого подмножества M из X мы определяем F ( M  ) = {  y ∈ Y | mRy ∀ m ∈ M  }. Аналогично, для любого подмножества N из Y определяем G ( N  ) = {  x ∈ X | xRn ∀ n ∈ N  }. Тогда F и G дают антитонное соединение Галуа между множествами мощности X и Y , оба упорядоченные включением ⊆. ^[7]

С точностью до изоморфизма все антитонные связи Галуа между множествами мощности возникают таким образом. Это следует из «Основной теоремы о решетках понятий». ^[8] Теория и приложения связей Галуа, возникающих из бинарных отношений, изучаются в формальном концептуальном анализе . Эта область использует связи Галуа для математического анализа данных. Многие алгоритмы для связей Галуа можно найти в соответствующей литературе, например, в. ^[9]

Общая концептуальная решетка в своей примитивной версии включает в себя как монотонные, так и антитонные связи Галуа для предоставления верхних и нижних границ узлов для концептуальной решетки соответственно. ^[10]

Характеристики

Далее мы рассмотрим (монотонное) соединение Галуа f = (  f ^∗ ,   f _∗ ) , где f ^∗  : A → B — нижнее сопряженное, как введено выше. Некоторые полезные и поучительные основные свойства могут быть получены немедленно. По определяющему свойству соединений Галуа, f ^∗ ( x ) ≤   f ^∗ ( x ) эквивалентно x ≤   f _∗ (  f ^∗ ( x )) для всех x в A . Подобным же рассуждениям (или просто применяя принцип двойственности для теории порядка ) можно обнаружить, что f ^∗ (  f _∗ ( y )) ≤ y для всех y в B . Эти свойства можно описать, сказав, что композит f ^∗ ∘  f _∗ является дефляционным , в то время как f _∗ ∘  f ^∗ является инфляционным (или экстенсивным ).              

Теперь рассмотрим x , y ∈ A такие, что x ≤ y . Тогда, используя вышеизложенное, получаем x ≤   f _∗ (  f  ^∗ ( y )) . Применяя основное свойство связей Галуа, теперь можно заключить, что f ^∗ ( x ) ≤   f ^∗ ( y ) . Но это просто показывает, что f ^∗ сохраняет порядок любых двух элементов, т. е. является монотонным. Опять же, аналогичное рассуждение приводит к монотонности f _∗ . Таким образом, монотонность не обязательно должна быть включена в определение явно. Однако упоминание монотонности помогает избежать путаницы относительно двух альтернативных понятий связей Галуа.      

Другим основным свойством связей Галуа является тот факт, что f _∗ (  f ^∗ (  f _∗ ( x ))) =   f _∗ ( x ) для всех x в B . Очевидно, мы находим, что  

 f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ ( x ))) ≥   f _∗ ( x ) .

поскольку f _∗ ∘  f ^∗ является инфляционным, как показано выше. С другой стороны, поскольку f ^∗ ∘  f _∗ является дефляционным, в то время как f _∗ является монотонным, можно обнаружить, что     

 f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ ( x ))) ≤   f _∗ ( x ) .

Это показывает желаемое равенство. Более того, мы можем использовать это свойство, чтобы заключить, что

 ф  ^∗ (  ф _∗ (  ф  ^∗ (  ф _∗ ( х )))) =   ф  ^∗ (  ф _∗ ( х ))

и

 ф _∗ (  ф  ^∗ (  ф _∗ (  ф  ^∗ ( х )))) =   ф _∗ (  ф  ^∗ ( х ))

т. е. f ^∗ ∘  f _∗ и f _∗ ∘  f ^∗ являются идемпотентами .    

Можно показать (см. доказательства у Блайта или Эрне), что функция f является нижним (соответственно верхним) сопряженным тогда и только тогда, когда f является остаточным отображением (соответственно остаточным отображением). Поэтому понятия остаточного отображения и монотонного соединения Галуа по сути совпадают.    

Операторы замыкания и соединения Галуа

Вышеизложенные выводы можно суммировать следующим образом: для связности Галуа композит f _∗ ∘  f ^∗ является монотонным (будучи композитом монотонных функций), инфляционным и идемпотентным. Это утверждает, что f _∗ ∘  f ^∗ на самом деле является оператором замыкания на A . Двойственно, f ^∗ ∘  f _∗ является монотонным, дефляционным и идемпотентным. Такие отображения иногда называются операторами ядра . В контексте фреймов и локалей композит f _∗ ∘  f ^∗ называется ядром, индуцированным f . Ядра индуцируют гомоморфизмы фреймов; подмножество локали называется подлокалем, если оно задано ядром.          

Наоборот , любой оператор замыкания c на некотором частично упорядоченном множестве A порождает связь Галуа с нижним сопряженным f ^∗, являющимся просто корестрицией c на образ c (т.е. как сюръективное отображение системы замыкания c ( A ) ). Верхний сопряженный f _∗ тогда задается включением c ( A ) в A , которое отображает каждый замкнутый элемент в себя, рассматриваемый как элемент A . Таким образом, операторы замыкания и связи Галуа рассматриваются как тесно связанные, каждый из которых определяет экземпляр другого. Аналогичные выводы справедливы для операторов ядра.   

Приведенные выше соображения также показывают, что замкнутые элементы A (элементы x с f _∗ (  f ^∗ ( x )) = x ) отображаются в элементы в пределах диапазона оператора ядра f ^∗ ∘  f _∗ , и наоборот.    

Существование и единственность связей Галуа

Другим важным свойством связности Галуа является то, что нижние сопряженные операторы сохраняют все супремумы , которые существуют в их области . Двойственно, верхние сопряженные операторы сохраняют все существующие инфимумы . Из этих свойств можно также немедленно сделать вывод о монотонности сопряженных операторов. Теорема о сопряженном функторе для теории порядка утверждает, что обратная импликация также верна в определенных случаях: в частности, любое отображение между полными решетками , которое сохраняет все супремумы, является нижним сопряженным оператором связности Галуа.

В этой ситуации важной особенностью связности Галуа является то, что одна сопряженная однозначно определяет другую. Следовательно, можно усилить приведенное выше утверждение, чтобы гарантировать, что любое сохраняющее супремум отображение между полными решетками является нижним сопряженным элементом уникальной связности Галуа. Основное свойство для вывода этой уникальности следующее: для каждого x в A , f ^∗ ( x ) является наименьшим элементом y из B таким, что x ≤   f _∗ ( y ) . Двойственно, для каждого y в B , f _∗ ( y ) является наибольшим x в A таким, что f ^∗ ( x ) ≤ y . Существование определенной связности Галуа теперь подразумевает существование соответствующих наименьших или наибольших элементов, независимо от того, удовлетворяют ли соответствующие частично упорядоченные множества каким-либо свойствам полноты . Таким образом, когда задан один верхний сопряженный элемент связности Галуа, другой верхний сопряженный элемент может быть определен с помощью этого же свойства.     

С другой стороны, некоторая монотонная функция f является нижним сопряженным тогда и только тогда, когда каждое множество вида {  x ∈ A |   f  ( x ) ≤ b  }, для b в B , содержит наибольший элемент. Опять же, это можно дуализировать для верхнего сопряженного.  

Связности Галуа как морфизмы

Связи Галуа также предоставляют интересный класс отображений между частично упорядоченными множествами, которые могут быть использованы для получения категорий частично упорядоченных множеств. В частности, можно составить связи Галуа: если заданы связи Галуа (  f  ^∗ ,   f _∗ ) между частично упорядоченными множествами A и B и ( g ^∗ , g _∗ ) между B и C , композиция ( g ^∗ ∘   f  ^∗ ,   f _∗ ∘ g _∗ ) также является связью Галуа. При рассмотрении категорий полных решеток это можно упростить до рассмотрения только отображений, сохраняющих все супремумы (или, альтернативно, инфимумы). Отображая полные решетки в их двойственные, эти категории демонстрируют автодвойственность , которая является весьма фундаментальной для получения других теорем двойственности. Более специальные виды морфизмов , которые индуцируют сопряженные отображения в другом направлении, являются морфизмами, обычно рассматриваемыми для фреймов (или локалей).

Связь с теорией категорий

Каждое частично упорядоченное множество можно рассматривать как категорию естественным образом: существует единственный морфизм из x в y тогда и только тогда, когда x ≤ y . Монотонное соединение Галуа тогда есть не что иное, как пара сопряженных функторов между двумя категориями, которые возникают из частично упорядоченных множеств. В этом контексте верхний сопряженный элемент является правым сопряженным элементом , а нижний сопряженный элемент является левым сопряженным элементом . Однако эта терминология избегается для соединений Галуа, поскольку было время, когда частично упорядоченные множества преобразовывались в категории дуальным образом, т. е. с морфизмами, указывающими в противоположном направлении. Это привело к дополнительной нотации, касающейся левых и правых сопряженных элементов, которая сегодня неоднозначна.

Приложения в теории программирования

Связи Галуа могут использоваться для описания многих форм абстракции в теории абстрактной интерпретации языков программирования . ^{[11] [12]}

Примечания

1. Монотонность следует из следующего условия. См. обсуждение свойств. Только в определении явно указано, что оно отличается от альтернативного антитонного определения. Можно также определить связи Галуа как пару монотонных функций, которые удовлетворяют более слабому условию, что для всех x в A , x ≤ g (  f  ( x )) и для всех y в B , f  ( g ( y )) ≤ y .
2. Герц, стр. 23
3. Bistarelli, Stefano (2004). Semirings for Soft Constraint Solving and Programming . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2962. Springer-Verlag . p. 102. arXiv : cs/0208008 . doi :10.1007/978-3-540-25925-1_8. ISBN 3-540-21181-0. ISSN  0302-9743.
4. Галатос, стр. 145
5. См. Альперин, Белл, Группы и представления (GTM 162), стр. 32
6. Уильям Ловер , Сопряженность в основаниях, Dialectica, 1969, доступно здесь. В настоящее время обозначения иные; более простое введение Питера Смита в этих лекционных заметках, которые также приписывают концепцию цитируемой статье.
7. Биркгоф, 1-е издание (1940): §32, 3-е издание (1967): гл. V, §7 и §8
8. Гантер, Б. и Вилле, Р. Формальный концептуальный анализ — математические основы , Springer (1999), ISBN 978-3-540-627715 
9. Гантер, Б. и Обидков, С. Концептуальное исследование , Springer (2016), ISBN 978-3-662-49290-1 
10. Liaw, Tsong-Ming; Lin, Simon C. (2020-10-12). "Общая теория концептуальной решетки с поддающимся изучению импликацией". Теоретическая информатика . 837 : 84–114. doi :10.1016/j.tcs.2020.05.014. ISSN  0304-3975. S2CID  219514253. Архивировано из оригинала 28.05.2020 . Получено 19.07.2023 .
11. Патрик Кусо; Радхия Кусо (январь 1977 г.). «Абстрактная интерпретация: унифицированная решеточная модель для статического анализа программ путем построения или аппроксимации фиксированных точек» (PDF) . Труды 4-го симпозиума ACM по принципам языков программирования (POPL) . стр. 238–252.
    Контрпример для ложной теоремы в разделе 7 (стр. 243 вверху справа) см.: Jochen Burghardt; Florian Kammüller; Jeff W. Sanders (декабрь 2000 г.). Изоморфизм вложений Галуа (технический отчет). Том 122. GMD . стр. 9-14. ISSN  1435-2702.(Однако в оригинальной статье рассматриваются только полные решетки)
12. Патрик Кусо; Радхия Кусо (январь 1979). «Систематическое проектирование структур анализа программ» (PDF) . Труды 6-го симпозиума ACM по принципам языков программирования (POPL) . ACM Press. стр. 269–282.

Ссылки

В следующих книгах и обзорных статьях рассматриваются связи Галуа с использованием монотонного определения:

• Брайан А. Дэйви и Хилари А. Пристли : Введение в решетки и порядок , Cambridge University Press, 2002.
• Герхард Гирц, Карл Х. Хофманн, Клаус Каймель, Джимми Д. Лоусон, Майкл В. Мислов, Дэна С. Скотт : Непрерывные решетки и домены , Cambridge University Press, 2003.
• Марсель Эрне, Юрген Козловски, Остин Мелтон, Джордж Э. Штрекер, Учебное пособие по связям Галуа , в: Труды летней конференции 1991 года по общей топологии и приложениям в честь Мэри Эллен Рудин и ее работы, Анналы Нью-Йоркской академии наук, том 704, 1993, стр. 103–125. (Свободно доступно в Интернете в различных форматах файлов PS.GZ PS, содержит множество примеров и результатов, а также примечания к различным обозначениям и определениям, которые возникли в этой области.)

Некоторые публикации, использующие оригинальное (антитональное) определение:

• Mac Lane, Saunders (сентябрь 1998). Категории для работающего математика (второе издание). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Томас Скотт Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры , Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5 . 
• Николаос Галатос, Питер Джипсен, Томаш Ковальски и Хироакира Оно (2007), Остаточные решетки. Алгебраический взгляд на субструктурную логику , Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5 . 
• Гаррет Биркгофф : Теория решеток , Amer. Math. Soc. Coll. Pub., том 25, 1940
• Оре, Эйстейн (1944), «Связи Галуа», Труды Американского математического общества , 55 (3): 493–513, doi :10.2307/1990305, JSTOR  1990305