Септическое уравнение

В алгебре септическое уравнение — это уравнение вида

ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,

где $а \neq 0$ .

Септическая функция — это функция вида

f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,

где $a \neq 0.$ Другими словами, это многочлен седьмой степени . Если $a = 0$ , то f является функцией секстики ( $b \neq 0$ ), функцией квинтики ( $b = 0, c \neq 0$ ) и т. д.

Уравнение можно получить из функции, установив $f (x) = 0$ .

Коэффициенты $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $,$ $d$ $,$ $e$ $,$ $f$ $,$ $g$ $,$ $h$ могут быть целыми числами , рациональными числами , действительными числами , комплексными числами или, в более общем смысле, членами любого поля .

Поскольку они имеют нечетную степень, септические функции выглядят как функции пятой и кубической степени при графическом отображении, за исключением того, что они могут обладать дополнительными локальными максимумами и локальными минимумами (до трех максимумов и трех минимумов). Производная септической функции — это секстическая функция .

Решаемые септики

Некоторые уравнения седьмой степени можно решить, разложив их на радикалы , но другие септики — нет. Эварист Галуа разработал методы определения того, можно ли решить данное уравнение с помощью радикалов, что дало начало области теории Галуа . Чтобы привести пример неприводимого, но разрешимого септика, можно обобщить разрешимую квинтику Муавра, чтобы получить,

x^{7}+7\альфа x^{5}+14\альфа ^{2}x^{3}+7\альфа ^{3}x+\бета =0\,

где вспомогательное уравнение

y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,

Это означает, что септик получается путем исключения $u$ и $v$ между $x = u + v$ , $uv + α = 0$ и $u 7 + v 7 + β = 0$ .

Из этого следует, что семь корней септика имеют вид

x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_ {2}}}

где $ω k$ — любой из 7 корней седьмой степени из единицы . Группа Галуа этого септика — максимальная разрешимая группа порядка 42. Это легко обобщается на любые другие степени $k$ , не обязательно простые.

Другое разрешимое семейство —

x^{7}-2x^{6}+(\альфа +1)x^{5}+(\альфа -1)x^{4}-\альфа x^{3}-(\альфа +5)x^{2}-6x-4=0\,

члены которого появляются в базе данных числовых полей Клунера . Его дискриминант равен

\Дельта =-4^{4}\left(4\альфа ^{3}+99\альфа ^{2}-34\альфа +467\right)^{3}\,

Группа Галуа этих септиков является диэдральной группой порядка 14.

Общее септическое уравнение может быть решено с помощью знакопеременных или симметричных групп Галуа $A 7$ или $S 7$ . ^[1] Такие уравнения требуют гиперэллиптических функций и связанных с ними тета-функций рода 3 для своего решения. ^{[1] Однако эти уравнения не изучались специально математиками девятнадцатого века}, изучавшими решения алгебраических уравнений, поскольку решения секстичных уравнений уже находились на пределе своих вычислительных возможностей без компьютеров. ^[1]

Септики — это уравнения низшего порядка, для которых не очевидно, что их решения могут быть получены путем составления непрерывных функций двух переменных. 13-я проблема Гильберта заключалась в предположении, что это невозможно в общем случае для уравнений седьмой степени. Владимир Арнольд решил эту проблему в 1957 году, показав, что это всегда возможно. ^[2] Однако сам Арнольд считал подлинной проблемой Гильберта, можно ли для септиков их решения получить путем наложения алгебраических функций двух переменных. ^[3] По состоянию на 2023 год проблема все еще открыта.

Группы Галуа

Септические уравнения, решаемые радикалами, имеют группу Галуа , которая является либо циклической группой порядка 7, либо диэдральной группой порядка 14, либо метациклической группой порядка 21 или 42. ^[1]
Группа Галуа $L (3, 2)$ (порядка 168) образована перестановками 7 вершинных меток, которые сохраняют 7 «линий» в плоскости Фано . ^[1] Септические уравнения с этой группой Галуа $L$ $(3, 2)$ требуют эллиптических функций , но не гиперэллиптических функций для своего решения. ^[1]
В противном случае группа Галуа септика является либо знакопеременной группой порядка 2520, либо симметрической группой порядка 5040.

Септическое уравнение для квадрата площади вписанного пятиугольника или шестиугольника

Квадрат площади вписанного пятиугольника является корнем септического уравнения, коэффициенты которого являются симметричными функциями сторон пятиугольника. ^[4] То же самое верно и для квадрата площади вписанного шестиугольника . ^[5]

Смотрите также

Ссылки

^ abcdef Р. Брюс Кинг (16 января 2009 г.), Beyond the Quartic Equation, Биркхаузер, стр. 143 и 144, ISBN 9780817648497
↑ Васко Браттка (13 сентября 2007 г.), «Теорема Колмогорова о суперпозиции», Наследие Колмогорова в математике , Springer, ISBN 9783540363514
^ VI Арнольд, От проблемы суперпозиции Гильберта к динамическим системам, стр. 4
^ Вайсштейн, Эрик В. «Циклический пятиугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [1]
^ Вайсштейн, Эрик В. «Циклический шестиугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [2]