В геометрии сеть многогранника — это расположение неперекрывающихся многоугольников, соединенных ребрами , на плоскости , которые можно сложить (вдоль ребер), чтобы они стали гранями многогранника. Сетки многогранников являются полезным подспорьем в изучении многогранников и стереометрии в целом, поскольку они позволяют строить физические модели многогранников из такого материала, как тонкий картон. [1]
Ранний пример многогранных сеток появляется в работах Альбрехта Дюрера , чья книга 1525 года « Курс искусства измерения с циркулем и линейкой» ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) включала сетки для Платоновых тел и нескольких Архимедовых тел . [2] [3] Эти конструкции были впервые названы сетками в 1543 году Августином Хиршфогелем . [4]
Для данного многогранника может существовать множество различных сетей, в зависимости от выбора того, какие ребра соединяются, а какие разделяются. Ребра, которые вырезаются из выпуклого многогранника для формирования сети, должны образовывать остовное дерево многогранника, но разрезание некоторых остовных деревьев может привести к самоналожению многогранника при развертывании, а не к образованию сети. [5] И наоборот, данная сеть может складываться в более чем один другой выпуклый многогранник, в зависимости от углов, под которыми складываются ее ребра, и выбора ребер для склеивания. [6] Если сеть дана вместе с шаблоном для склеивания ее ребер, таким образом, что каждая вершина полученной формы имеет положительный угловой дефект и таким образом, что сумма этих дефектов равна точно 4π , то обязательно существует ровно один многогранник, который можно из нее сложить; это теорема единственности Александрова . Однако многогранник, сформированный таким образом, может иметь другие грани, чем те, которые указаны как часть сети: некоторые из многоугольников сети могут иметь складки поперек них, а некоторые из ребер между многоугольниками сети могут оставаться развернутыми. Кроме того, одна и та же сеть может иметь несколько допустимых шаблонов склеивания, что приводит к различным сложенным многогранникам. [7]
В 1975 году GC Shephard задался вопросом, имеет ли каждый выпуклый многогранник хотя бы одну развертку или простое развёртывание рёбер. [8] Этот вопрос, который также известен как гипотеза Дюрера или проблема развёртки Дюрера, остаётся без ответа. [9] [10] [11] Существуют невыпуклые многогранники, не имеющие развёрток, и можно подразделить грани каждого выпуклого многогранника (например, вдоль сечения ) так, чтобы множество подразделённых граней имело развёртку. [5] В 2014 году Мохаммад Гоми показал, что каждый выпуклый многогранник допускает развёртку после аффинного преобразования . [12] Кроме того, в 2019 году Барвинок и Гоми показали, что обобщение гипотезы Дюрера не выполняется для псевдоребер , [13] т. е. сети геодезических, которые соединяют вершины многогранника и образуют граф с выпуклыми гранями.
Связанный с этим открытый вопрос заключается в том, имеет ли каждая сеть выпуклого многогранника цветение , непрерывное несамопересекающееся движение от ее плоского состояния до ее сложенного состояния, которое сохраняет каждую грань плоской на протяжении всего движения. [14]
Кратчайший путь по поверхности между двумя точками на поверхности многогранника соответствует прямой линии на подходящей сетке для подмножества граней, затронутых путем. Сетка должна быть такой, чтобы прямая полностью находилась внутри нее, и может потребоваться рассмотреть несколько сеток, чтобы увидеть, какая из них дает кратчайший путь. Например, в случае куба , если точки находятся на соседних гранях, одним из кандидатов на кратчайший путь является путь, пересекающий общее ребро; кратчайший путь такого рода находится с помощью сети, где две грани также являются смежными. Другие кандидаты на кратчайший путь проходят через поверхность третьей грани, смежной с обеими (которых две), и соответствующие сети могут использоваться для нахождения кратчайшего пути в каждой категории. [15]
Задача о пауке и мухе — это занимательная математическая головоломка, которая заключается в поиске кратчайшего пути между двумя точками прямоугольного параллелепипеда.
Развертка 4-политопа , четырехмерного политопа , состоит из многогранных ячеек , которые соединены своими гранями и все занимают одно и то же трехмерное пространство, так же как многоугольные грани развертки многогранника соединены своими ребрами и все занимают одну и ту же плоскость. Развертка тессеракта, четырехмерного гиперкуба , занимает видное место в картине Сальвадора Дали «Распятие» (Corpus Hypercubus) (1954). [16] Та же самая развертка тессеракта занимает центральное место в сюжете рассказа «—И он построил кривой дом—» Роберта А. Хайнлайна . [17]
Число комбинаторно различных сетей -мерных гиперкубов можно найти, представив эти сети в виде дерева на узлах, описывающих шаблон, по которому пары граней гиперкуба склеиваются вместе, образуя сеть, вместе с идеальным соответствием на дополнительном графе дерева, описывающем пары граней, которые находятся друг напротив друга на сложенном гиперкубе. Используя это представление, число различных развертываний для гиперкубов размерностей 2, 3, 4, ... было подсчитано как
{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )