Чистая (математика)

Обобщение последовательности точек

В математике , точнее в общей топологии и связанных с ней отраслях, сеть или последовательность Мура-Смита представляет собой функцию , областью определения которой является направленное множество . Кодоменом этой функции обычно является некоторое топологическое пространство . Сети непосредственно обобщают понятие последовательности в метрическом пространстве . Сети в основном используются в областях анализа и топологии , где они используются для характеристики многих важных топологических свойств , которые (в целом) последовательности не могут охарактеризовать (этот недостаток последовательностей побудил к изучению секвенциальных пространств и пространств Фреше-Урысона ). . Сети находятся во взаимно однозначном соответствии с фильтрами .

История

Понятие сети было впервые введено Э. Х. Муром и Германом Л. Смитом в 1922 году. ^[1] Термин «сеть» был придуман Джоном Л. Келли . ^{[2] [3]}

Соответствующая концепция фильтра была разработана в 1937 году Анри Картаном .

Определения

Направленный набор — это непустой набор вместе с предварительным порядком , который обычно автоматически обозначается (если не указано иное), со свойством, что он также направлен ( вверх ) , что означает, что для любого существует такое, что и На словах это свойство означает, что для любых двух элементов (из ) всегда существует некоторый элемент, который находится «выше» их обоих (то есть больше или равен каждому из них); таким образом, направленные множества математически строго обобщают понятие «направление». Однако важно отметить, что направленные множества не обязательно должны быть полными или даже частичными порядками . Более того, направленные множества могут иметь наибольшие элементы и/или максимальные элементы , поэтому при использовании сетей рекомендуется соблюдать осторожность при использовании индуцированного строгого предзаказа вместо исходного (нестрогого) предзаказа ; в частности, если в направленном множестве есть наибольший элемент , то не существует такого , что (напротив, всегда существует такой, что ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a,b\in A,}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle a\leq b}$

Сеть in ${\displaystyle X}$ — это функция вида , областью определения которой является некоторое направленное множество. Элементы домена сети называются ее индексами . Когда набор ясен из контекста, его называют просто сетью . Если нет оснований думать иначе, следует автоматически предполагать, что множество является направленным и что связанный с ним предварительный порядок обозначается обозначением. Обозначения для сетей варьируются, причем некоторые авторы используют, например, угловые скобки вместо круглых скобок. Значение функции в элементе ее домена обозначается вместо обычных круглых скобок , которые обычно используются с функциями. Как и в области алгебраической топологии , заполненный диск или «пуля» обозначает место, где размещаются аргументы сети (то есть элементы домена сети); это помогает подчеркнуть, что сеть является функцией, а также уменьшает количество индексов и других символов, которые необходимо записать при дальнейшем обращении к ней. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq .}$ ${\displaystyle \left\langle x_{a}\right\rangle _{a\in A}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }(a)}$ ${\displaystyle a\in A}$

Пределы сетей

Говорят, что сеть в конечном итоге или по остаточному множеству входит в множество , если существует такая сеть, что для каждой точки точка называется ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle b\geq a,}$ ${\displaystyle x_{b}\in S.}$ ${\displaystyle x\in X}$предельная точка илипредел сетивтом случае (и только если) ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$

поскольку каждая открытая окрестность сети в конечном итоге находится в ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle U,}$

в этом случае эта сеть также называетсясходиться к/к ${\displaystyle x}$ииметьпредел ${\displaystyle x}$. Если сетьсходитсяк точке, то этот факт можно выразить, написав любое из следующего: ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim \;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если в и если этот предел в единственен (единственность в означает, что если таково, что , то обязательно ), то этот факт можно указать записью ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to y}$ ${\displaystyle x=y}$

$${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim x_{a}=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x}$$

^[4]хаусдорфовом пространстве^[4]требованиязнак равенстватранзитивное отношениеравенство ${\displaystyle \to .}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }=y}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x=y}$

Точки кластеризации сетей

Говорят, что сеть ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$часто иликонфинально в том случае, если для каждогосуществуеттакое, чтои^[5]Точканазывается ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle x_{b}\in S.}$ ${\displaystyle x\in X}$пункт накопления илиточка кластера сети, если для каждой окрестностисетичасто/конфинально в^[5]Точкаявляется точкой кластера данной сети тогда и только тогда, когда она имеет подмножество, которое сходится к^[6]Еслисеть вто множество всех точек кластераinравно^[7] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \bigcap _{a\in A}\operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$$

${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$ ${\displaystyle a\in A.}$

Подсети

Аналогом «подпоследовательности» для сетей является понятие «подсети». Существует несколько различных неэквивалентных определений понятия «подсеть», и в этой статье будет использовано определение, введенное в 1970 году Стивеном Уиллардом ^[8] следующим образом: Если и являются сетями, то называется подсетью или ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$Подсеть Уилларда ^[8], еслисуществует сохраняющее порядок отображениетакое, что оноявляется конфинальным подмножествоми ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ for all }}i\in I.}$$

сохраняющим порядокгомоморфизмом порядка,по ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle h(i)\leq h(j).}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in h(I)}$ ${\displaystyle b\geq a.}$

Если это точка кластера некоторой подсети, то это также точка кластера ^[6] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Ультрасети

Сеть в множестве называется ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$универсальная сеть илиультрасеть , если для каждого подмножествав конечном итоге находитсяилив конечном итоге находится в дополнении^[5] ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$

Каждая константная сеть является (тривиальной) ультрасетью. Каждая подсеть ультрасети является ультрасетью. ^[7] Предполагая аксиому выбора , каждая сеть имеет некоторую подсеть, которая является ультрасетью, но никакие нетривиальные ультрасети никогда не были построены явно. ^[5] Если это ультрасеть в и является функцией, то это ультрасеть в ^[5] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle Y.}$

Учитывая кластеры ультрасети тогда и только тогда, когда она сходится к ^[5] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Сети Коши

Сеть Коши обобщает понятие последовательности Коши на сети, определенные в равномерных пространствах . ^[9]

Сеть – это ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$Сеть Коши, если для каждогоокружения существуеттакое, что всеявляются членами^[9][10]В более общем смысле, впространстве Кошисетьявляется Коши, если фильтр, порожденный сетью, являетсяфильтром Коши. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle \left(x_{a},x_{b}\right)}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$

Топологическое векторное пространство (ТВП) называется полным , если каждая сеть Коши сходится к некоторой точке. Нормированное пространство , которое является особым типом топологического векторного пространства, является полным TVS (эквивалентно банаховым пространством ) тогда и только тогда, когда каждая последовательность Коши сходится к некоторой точке (свойство, которое называется секвенциальной полнотой ). Хотя сети Коши не нужны для описания полноты нормированных пространств, они необходимы для описания полноты более общих (возможно, ненормируемых ) топологических векторных пространств.

Характеристики топологических свойств

Практически все понятия топологии можно перефразировать на языке сетей и пределов. Это может быть полезно для интуиции, поскольку понятие предела сети очень похоже на понятие предела последовательности . Следующий набор теорем и лемм помогает закрепить это сходство:

Закрытые множества и замыкание

Подмножество замкнуто тогда и только тогда, когда каждая предельная точка каждой сходящейся сети обязательно принадлежит Явно, подмножество замкнуто тогда и только тогда, когда и является сетью со значением в (то есть для всех ) такой, что в то обязательно ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{a}\in S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in S.}$

В более общем смысле, если есть какое-либо подмножество, то точка находится в замыкании тогда и только тогда, когда существует сеть с пределом и такая, что для каждого индекса ^[6] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s_{a}\in S}$ ${\displaystyle a\in A.}$

Открытые множества и характеристики топологий

Подмножество открыто тогда и только тогда, когда ни одна сеть в не сходится к точке из ^[11] . Кроме того, подмножество открыто тогда и только тогда, когда каждая сеть, сходящаяся к элементу в, в конечном итоге содержится в . Именно эти характеристики «открытого подмножества» позволяют сети для характеристики топологий . Топологии также могут характеризоваться закрытыми подмножествами, поскольку множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение закрыто. Таким образом, характеристики «замкнутого множества» в терминах сетей также можно использовать для характеристики топологий. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Непрерывность

Функция между топологическими пространствами непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда для каждой сети в ее области, если в то в ^[6] Говоря более кратко, функция непрерывна тогда и только тогда, когда всякий раз в то в В общем, это утверждение было бы неверно, если бы слово «сеть» было заменено словом «последовательность»; то есть необходимо учитывать направленные множества, отличные от натуральных чисел, если это не пространство с первым счетом (или не секвенциальное пространство ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$

Компактность

Пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая сеть в имеет подсеть с пределом в. Это можно рассматривать как обобщение теоремы Больцано-Вейерштрасса и теоремы Гейне-Бореля . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Кластер и предельные точки

Множество точек кластеризации сети равно множеству пределов ее сходящихся подсетей .

Сеть имеет предел тогда и только тогда, когда все ее подсети имеют ограничения. В этом случае каждый предел сети является также пределом каждой подсети.

Другие объекты недвижимости

В общем, сеть в пространстве может иметь более одного предела, но если это пространство Хаусдорфа , предел сети, если он существует, уникален. Обратно, если не Хаусдорф, то существует сеть с двумя различными пределами. Таким образом, единственность предела эквивалентна условию Хаусдорфа на пространстве, и его действительно можно принять за определение. Этот результат зависит от условия направленности; множество, индексированное общим предпорядком или частичным порядком, может иметь различные предельные точки даже в хаусдорфовом пространстве. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Отношение к фильтрам

Фильтр — это родственная идея в топологии, которая позволяет дать общее определение сходимости в общих топологических пространствах . Эти две идеи эквивалентны в том смысле, что они дают одну и ту же концепцию конвергенции. ^[12] Более конкретно, каждая база фильтра порождает связанную сеть с использованием заданных наборов фильтра, а сходимость базы фильтра подразумевает сходимость связанной сети. Аналогично, любая сеть in создает базу фильтров хвостов , причем фильтр in, созданный этой базой фильтров, называется фильтром событийности сети . Сходимость сети подразумевает сходимость фильтра событий. ^[13] Это соответствие позволяет доказать любую теорему, которая может быть доказана с использованием одной концепции. ^[13] Например, непрерывность функции из одного топологического пространства в другое может характеризоваться либо сходимостью сети в области, предполагающей сходимость соответствующей сети в кодобласти, либо тем же утверждением с базисами фильтров. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{\left\{x_{a}:a\in A,a_{0}\leq a\right\}:a_{0}\in A\right\}}$ ${\displaystyle X}$

Роберт Г. Бартл утверждает, что, несмотря на их эквивалентность, полезно иметь обе концепции. ^[13] Он утверждает, что сети достаточно похожи на последовательности, чтобы давать естественные доказательства и определения по аналогии с последовательностями, особенно с использованием последовательных элементов, что часто встречается в анализе , тогда как фильтры наиболее полезны в алгебраической топологии . В любом случае он показывает, как их можно использовать в сочетании для доказательства различных теорем общей топологии .

Кривая обучения для использования сетей обычно гораздо менее крутая, чем для фильтров, поэтому многие математики, особенно аналитики , предпочитают их фильтрам. Однако фильтры, и особенно ультрафильтры , имеют некоторые важные технические преимущества перед сетями, которые в конечном итоге приводят к тому, что сети встречаются гораздо реже, чем фильтры, за пределами областей анализа и топологии.

Как обобщение последовательностей

Каждое непустое вполне упорядоченное множество является направленным. Следовательно, каждая функция на таком множестве является сетью. В частности, натуральные числа вместе с обычным предварительным порядком сравнения целых чисел образуют архетипический пример направленного множества. Последовательность — это функция натуральных чисел, поэтому каждую последовательность в топологическом пространстве можно рассматривать как сеть, определенную на. И наоборот, любая сеть, областью определения которой являются натуральные числа, является последовательностью, поскольку по определению последовательность в — это просто функция из в Таким образом, сети являются обобщениями последовательностей: вместо того, чтобы определяться на счетном линейно упорядоченном множестве ( ), сеть определяется на произвольном направленном множестве . Сети часто обозначаются с использованием обозначений, аналогичных (и вдохновленных) обозначениями, используемыми для последовательностей. Например, индексная запись берется из последовательностей. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{a}}$

Точно так же каждый предел последовательности и предел функции можно интерпретировать как предел сети. В частности, сеть в конечном итоге находится в подмножестве, если существует такое, что для каждого целого числа точка находится в So тогда и только тогда, когда для каждой окрестности сети в конечном итоге находится в Сеть часто находится в подмножестве тогда и только тогда, когда для Таким образом , точка является точкой кластера сети тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит бесконечно много элементов последовательности. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \lim {}_{n}a_{n}\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle a_{n}\in S,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$

В контексте топологии последовательности не полностью кодируют всю информацию о функциях между топологическими пространствами. В частности, следующие два условия, вообще говоря, не эквивалентны для отображения между топологическими пространствами и : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

1. Отображение непрерывно в топологическом смысле ; ${\displaystyle f}$
2. Для любой точки и любой последовательности, сходящейся к композиции с этой последовательностью, сходится к (непрерывной в последовательном смысле) . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

Хотя условие 1 всегда гарантирует условие 2, обратное не обязательно верно. Пространства, для которых эти два условия эквивалентны, называются секвенциальными пространствами . Все пространства с первой счетностью , включая метрические пространства , являются секвенциальными пространствами, но не все топологические пространства являются секвенциальными. Сети обобщают понятие последовательности, так что условие 2 выглядит следующим образом:

2. Учитывая любую точку и любую сеть, сходящуюся к композиции с этой сетью, сходится к (непрерывной в чистом смысле). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

Благодаря этому изменению условия становятся эквивалентными для всех отображений топологических пространств, включая топологические пространства, которые не обязательно имеют счетный или линейно упорядоченный базис окрестности вокруг точки. Следовательно, хотя последовательности не кодируют достаточную информацию о функциях между топологическими пространствами, сети это делают, поскольку коллекции открытых множеств в топологических пространствах по поведению очень похожи на направленные множества .

В примере, где последовательностей недостаточно, интерпретируйте набор всех функций с прототипом как декартово произведение (путем идентификации функции с кортежем и наоборот) и снабдите его топологией продукта . Эта (произведенная) топология на идентична топологии поточечной сходимости . Обозначим через множество всех функций , равных всюду, кроме не более чем конечного числа точек (т. е. таких, что множество конечно). Тогда постоянная функция принадлежит замыканию в , то есть ^[7] Это будет доказано построением сети в , которая сходится к Однако не существует никакой последовательности , которая сходится к ^[14] , что делает этот единственный случай, когда ( сети, не являющиеся последовательностями), необходимо использовать, поскольку сами по себе последовательности не могут прийти к желаемому выводу. Сравнивайте элементы поточечно обычным способом, заявляя, что тогда и только тогда, когда для всех. Это поточечное сравнение представляет собой частичный порядок, который создает направленное множество, поскольку при заданном любом их поточечном минимуме он принадлежит и удовлетворяет и Этот частичный порядок превращает тождественную карту (определенную ) в -значную сеть. Эта сеть поточечно сходится к , из которого следует, что принадлежит замыканию в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{x\in \mathbb {R} }}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f(x))_{x\in \mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \{0,1\}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{x:f(x)=0\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbf {0} :\mathbb {R} \to \{0\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} };}$ ${\displaystyle \mathbf {0} \in \operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f\geq g}$ ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle (E,\geq )}$ ${\displaystyle f,g\in E,}$ ${\displaystyle m:=\min\{f,g\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\geq m}$ ${\displaystyle g\geq m.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :(E,\geq )\to E}$ ${\displaystyle f\mapsto f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }.}$

В более общем смысле подсеть последовательности не обязательно является последовательностью. ^{[5] [a]} Более того, подсеть последовательности может быть последовательностью, но не подпоследовательностью. ^[b] Но в конкретном случае последовательного пространства каждая сеть порождает соответствующую последовательность, и это соотношение отображает подсети в подпоследовательности. В частности, для пространства с первым счетом сеть порождает последовательность где определяется как наименьшее значение в  – то есть let и let для каждого целого числа . ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h_{1}:=\inf A}$ ${\displaystyle h_{n}:=\inf\{a\in A:a>h_{n-1}\}}$ ${\displaystyle n>1}$

Примеры

Топология подпространства

Если множество наделено индуцированной на нем топологией подпространства тогда и только тогда , когда в Таким образом, вопрос о том, сходится или нет сеть к данной точке, зависит исключительно от этого топологического подпространства , состоящего из и образа ( то есть точки) сети ${\displaystyle S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Системы соседства

Интуитивно, конвергенция сети означает, что значения приходят и остаются настолько близкими, насколько мы хотим, для достаточно больших данных . Для данной точки в топологическом пространстве обозначим набор всех окрестностей, содержащих . Тогда это направленный набор, где направление задается выражением обратное включение, так что тогда и только тогда, когда содержится в For , пусть будет точкой в ​​Тогда является сетью. По мере увеличения по отношению к точкам в сети они вынуждены лежать в убывающих окрестностях . Следовательно, в этой окрестности система точки действительно сходится к согласно определению чистой сходимости. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle S\geq T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle S\in N_{x},}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \left(x_{S}\right)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\geq ,}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle x}$

Дана подбаза для топологии на (где обратите внимание, что каждая база топологии также является подбазой) и задана точка, к которой сеть в сходится тогда и только тогда, когда она в конечном итоге находится в каждой окрестности . Эта характеристика распространяется на соседние подбазы (и, таким образом, также базы окрестностей ) данной точки ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x.}$

Пределы в декартовом произведении

Сеть в пространстве продукта имеет предел тогда и только тогда, когда каждая проекция имеет предел.

Явно, пусть это топологические пространства, наделенные своим декартовым произведением. ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$

$${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$

топологией произведения ${\displaystyle l\in I,}$ ${\displaystyle X_{l}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}}$$

Пусть сеть направлена ​​и для каждого индекса пусть ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I,}$

$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$$

композиции функций ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

Для любой данной точки сеть сходится к в пространстве произведений тогда и только тогда, когда для каждого индекса сходится к в ^[15]. И всякий раз, когда сеть кластеризуется в, тогда кластеризуется в для каждого индекса ^[7] . Однако обратное в общем случае не верно. . ^[7] Например, предположим и обозначим последовательность , которая чередуется между и Тогда и является точками кластера как и в , но не является точкой кластера, поскольку открытый шар радиуса с центром в не содержит ни одной точки. ${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle X_{1}=X_{2}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots }$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (0,0).}$ ${\displaystyle L_{1}:=0}$ ${\displaystyle L_{2}:=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$

Теорема Тихонова и связь с аксиомой выбора

Если дано «нет», но для каждого существует такое, что в тогда кортеж, определенный как, будет пределом в . Однако, возможно, потребуется принять аксиому выбора , чтобы сделать вывод о существовании этого кортежа; аксиома выбора не требуется в некоторых ситуациях, например, когда каждое является конечным или когда каждое является уникальным пределом сети (потому что тогда не из чего выбирать), что происходит, например, когда каждое является хаусдорфовым пространством . Если бесконечно и не пусто, то аксиома выбора (в общем) все равно будет необходима, чтобы заключить, что проекции являются сюръективными отображениями . ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}}$

Аксиома выбора эквивалентна теореме Тихонова , которая утверждает, что произведение любого набора компактных топологических пространств компактно. Но если каждый компакт также является хаусдорфовым пространством, то вместо этого можно использовать так называемую «теорему Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств», которая эквивалентна лемме об ультрафильтре и, следовательно, строго слабее, чем аксиома выбора . Сети можно использовать для краткого доказательства обеих версий теоремы Тихонова, используя приведенную выше характеристику сходимости сетей вместе с тем фактом, что пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая сеть имеет сходящуюся подсеть .

Ограничение выше/ниже

Верхний и нижний предел сети действительных чисел можно определить так же, как и для последовательностей. ^{[16] [17] [18]} Некоторые авторы работают даже с более общими структурами, чем реальная линия, такими как полные решетки. ^[19]

Для чистого пут ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$

$${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.}$$

Верхний предел сети действительных чисел имеет много свойств, аналогичных случаю последовательностей. Например,

$${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},}$$

Интеграл Римана

Определение значения интеграла Римана можно интерпретировать как предел сети сумм Римана , где направленное множество сети представляет собой набор всех разбиений интервала интегрирования, частично упорядоченных путем включения.

Метрические пространства

Пусть является метрическим пространством (или псевдометрическим пространством ) и наделено метрической топологией . Если — точка и — сеть, то тогда и только тогда, когда в где есть сеть действительных чисел . Говоря простым языком , эта характеристика гласит, что сеть сходится к точке в метрическом пространстве тогда и только тогда, когда расстояние между сетью и точкой сходится к нулю. Если — нормированное пространство (или полунормированное пространство ), то тогда и только тогда, когда где ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right):=\left(d\left(m,m_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ ${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|:=\left(\left\|m-m_{a}\right\|\right)_{a\in A}.}$

Если имеет хотя бы две точки, то мы можем зафиксировать точку (например, с помощью евклидовой метрики , которая является началом координат) и направить множество в обратном направлении в зависимости от расстояния от , заявив, что тогда и только тогда, когда Другими словами, отношение «имеет по крайней мере такое же расстояние до as», поэтому «достаточно большой» по отношению к этому отношению означает «достаточно близко к ». Учитывая любую функцию с областью определения, ее ограничение на которую можно канонически интерпретировать как сеть, управляемую ^[7] ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle c\in M}$ ${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle c:=0}$ ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle d(j,c)\leq d(i,c).}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle (I,\leq ).}$

Сеть в конечном итоге находится в подмножестве топологического пространства тогда и только тогда, когда существует такая сеть , что для каждого удовлетворения точка находится в. Такая сеть сходится к данной точке тогда и только тогда, когда в обычном смысле (это означает, что для каждой окрестности из в конечном итоге находится в ). ^[7] ${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c),}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle \lim _{m\to c}f(m)\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$

Сеть часто входит в подмножество тогда и только тогда, когда для каждого существует такое , что находится в Следовательно, точка является точкой кластера сети тогда и только тогда, когда для каждой окрестности сети часто находится в ${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c)}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle V.}$

Функция из упорядоченного множества в топологическое пространство

Рассмотрим упорядоченное множество с предельной точкой и функцией из топологического пространства. Эта функция представляет собой сеть на ${\displaystyle [0,c]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,t)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle [0,t).}$

В конечном итоге она находится в подмножестве , если существует такое, что для каждой точки находится в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in [0,t)}$ ${\displaystyle s\in [r,t)}$ ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle V.}$

Итак , тогда и только тогда, когда для каждой окрестности находится в конечном итоге в ${\displaystyle \lim _{x\to t}f(x)\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V.}$

Сеть часто входит в подмножество тогда и только тогда, когда для каждого существует такое, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in [0,t)}$ ${\displaystyle s\in [r,t)}$ ${\displaystyle f(s)\in V.}$

Точка является точкой кластера сети тогда и только тогда, когда для каждой окрестности сети часто ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle V.}$

Первый пример является частным случаем этого случая. ${\displaystyle c=\omega .}$

См. также последовательность с порядковым индексом .

Смотрите также

• Характеристики категории топологических пространств.
• Фильтр (теория множеств)  - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
• Фильтры в топологии  . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Предварительный порядок  - рефлексивное и транзитивное бинарное отношение
• Секвенциальное пространство  - Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.
• Ультрафильтр (теория множеств)  - Максимально правильный фильтр.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Например, пусть и пусть для каждого так, что это постоянная нулевая последовательность. Пусть направляется обычным порядком и для каждого . Определить , положив потолок . Карта представляет собой морфизм порядка, образ которого конфинален в своей кодомене и выполняется для каждого . Это показывает, что это подсеть последовательности (где эта подсеть не является подпоследовательность, потому что это даже не последовательность, поскольку ее областью определения является несчетное множество ). ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=(0)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle s_{r}=0}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle \varphi :I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \varphi (r)=\lceil r\rceil }$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle \varphi :I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(x_{\bullet }\circ \varphi \right)(r)=x_{\varphi (r)}=0=s_{r}}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in R}=x_{\bullet }\circ \varphi }$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$
2. Последовательность не является подпоследовательностью , хотя это подсеть, потому что карта, определенная с помощью, представляет собой карту, сохраняющую порядок, образ которой удовлетворяет всем. Действительно, это потому, что и для каждого , другими словами, если рассматривать его как функции на последовательность - это просто карта идентичности, пока ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,1,2,2,3,3,\ldots )}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,2,3,\ldots )}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(i):=\left\lfloor {\tfrac {i+1}{2}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle h(\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle s_{i}=h(i)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{\bullet }=h.}$

Цитаты

1. Мур, Э.Х .; Смит, Х.Л. (1922). «Общая теория пределов». Американский журнал математики . 44 (2): 102–121. дои : 10.2307/2370388. JSTOR  2370388.
2. (Сундстрем 2010, стр. 16n)
3. Меггинсон, с. 143
4. Келли 1975, стр. 65–72.
5. Уиллард 2004, стр. 73–77.
6. Уиллард 2004, с. 75.
7. Уиллард 2004, стр. 77.
8. Шехтер 1996, стр. 157–168.
9. Уиллард, Стивен (2012), Общая топология, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 260, ISBN 9780486131788.
10. Джоши, К.Д. (1983), Введение в общую топологию, New Age International, стр. 356, ISBN 9780852264447.
11. Хоуз 1995, стр. 83–92.
12. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 апреля 2015 г. Проверено 15 января 2013 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
13. Р.Г. Бартл, Сети и фильтры в топологии, American Mathematical Monthly, Vol. 62, № 8 (1955), стр. 551–557.
14. Уиллард 2004, стр. 71–72.
15. Уиллард 2004, с. 76.
16. Алипратис-Бордер, с. 32
17. Меггинсон, с. 217, с. 221, Упражнения 2.53–2.55.
18. Пиво, с. 2
19. Шехтер, разделы 7.43–7.47.

Рекомендации

• Сундстрем, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [math.HO].
• Алипрантис, Хараламбос Д .; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для автостопщика (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. стр. XXII, 703. ISBN. 978-3-540-32696-0. МР  2378491.
• Бир, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах . Математика и ее приложения 268. Дордрехт: Группа академических издателей Kluwer. стр. XII, 340. ISBN. 0-7923-2531-1. МР  1269778.
• Хоуз, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970. ОЛ  1272666М.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. ОСЛК  338047.
• Келли, Джон Л. (1991). Общая топология . Спрингер. ISBN 3-540-90125-6.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998). Введение в теорию банахового пространства . Тексты для аспирантов по математике . Том. 193. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-98431-3.
• Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN 9780080532998. Проверено 22 июня 2013 г.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.