В математике фильтр или фильтр порядка — это специальное подмножество частично упорядоченного набора ( poset), описывающее «большие» или «возможные» элементы. Фильтры появляются в теории порядка и решётки , а также в топологии , откуда они происходят. Понятие , двойственное фильтру, является идеалом порядка .
К особым случаям фильтров относятся ультрафильтры , которые представляют собой фильтры, которые нельзя увеличить, и описывают неконструктивные методы математической логики .
Фильтры на множествах были введены Анри Картаном в 1937 году. Николя Бурбаки в своей книге «Общая топология » популяризировал фильтры как альтернативу понятию сети Э.Х. Мура и Германа Л. Смита 1922 года ; Фильтры порядка обобщают это понятие от частного случая включенного степенного множества до произвольных частично упорядоченных множеств . Тем не менее, теория степенных фильтров сама по себе сохраняет интерес, отчасти благодаря существенным приложениям в топологии .
Исправьте частично упорядоченный набор (poset) P . Интуитивно понятно, что фильтр F — это подмножество P , членами которого являются элементы, достаточно большие, чтобы удовлетворять некоторому критерию. [1] Например, если x ∈ P , то набор элементов выше x представляет собой фильтр, называемый основным фильтром в точке x . (Если x и y являются несравнимыми элементами P , то ни главный фильтр в x и y не содержится в другом.)
Аналогично, фильтр на множестве S содержит те подмножества, которые достаточно велики, чтобы содержать некоторую заданную вещь . Например, если S — действительная линия и x ∈ S , то семейство множеств, включающее x внутри, представляет собой фильтр, называемый фильтром окрестности в точке x . Вещь в данном случае чуть больше x , но какой - либо другой конкретной точки линии она все равно не содержит.
Вышеприведенные соображения мотивируют требование закрытия вверх в приведенном ниже определении: «достаточно большие» объекты всегда можно увеличить.
Чтобы понять два других условия, поменяйте роли и вместо этого рассматривайте F как «схему поиска» для поиска x . В этой интерпретации человек ищет в некотором пространстве X и ожидает, что F будет описывать те подмножества X , которые содержат цель. Цель должна где-то находиться; таким образом, пустое множество ∅ никогда не может находиться в F . А если два подмножества оба содержат цель, то следует «приблизиться» к их общей области.
Ультрафильтр описывает «идеальную схему поиска», где каждый компонент схемы предоставляет новую информацию («поиск здесь» или «поиск в другом месте»). Компактность — это свойство, согласно которому «каждый поиск плодотворен», или, говоря иначе, «любая схема локации заканчивается результатом поиска».
Обычно фильтр используется для определения свойств, которым удовлетворяют «общие» элементы некоторого топологического пространства. [2] Это приложение обобщает «схему определения местоположения» для поиска точек, которые может быть трудно записать явно.
Подмножество F частично упорядоченного множества ( P , ≤) является фильтром или двойственным идеалом , если выполняются следующие условия:
Если, кроме того, F ≠ P , то F называется собственным фильтром . Авторы теории множеств и математической логики часто требуют, чтобы все фильтры были правильными; эта статья будет избегать этого соглашения. [3] Ультрафильтр – это фильтр, который не содержится ни в одном другом подходящем фильтре .
Подмножество S из F является базой или базисом для F , если верхний набор , порожденный S (т. е. наименьший замкнутый вверх набор, содержащий S ), полностью состоит из F . Каждый фильтр является основой сам по себе.
Более того, если B ⊆ P непусто и направлено вниз, то B порождает верхнее множество F , являющееся фильтром (для которого B является базой). Такие наборы называются префильтрами , а также вышеупомянутой базой/базисом фильтра , и говорят , что F генерируется или охватывается B. Предварительный фильтр является правильным тогда и только тогда, когда он генерирует правильный фильтр.
Учитывая p ∈ P , набор { x : p ≤ x } является наименьшим фильтром, содержащим p , и иногда пишется ↑ p . Такой фильтр называется основным фильтром ; Говорят , что p является главным элементом F или порождает F.
Предположим, что B и C — два префильтра на P , и для каждого c ∈ C существует b ∈ B такой, что b ⩽ c . Тогда мы говорим, что Bтоньше (илиуточняет)C; аналогичноCгрубее(илиогрубляет)B.Доработка - этопредзаказна комплект префильтров. Фактически, еслиCтакже уточняетB, тоBиCназываютсяэквивалентными, поскольку они генерируют один и тот же фильтр. Таким образом, переход от предварительного фильтра к фильтру является примером перехода от предварительного упорядочения к соответствующему частичному упорядочению.
Исторически сложилось так, что фильтры обобщались на теоретико-порядковые решетки перед произвольными частичными порядками. В случае решеток направление вниз можно записать как замыкание при конечных пересечениях : для всех x , y ∈ F имеем x ∧ y ∈ F. [4]
Линейный (ультра)фильтр — это (ультра)фильтр на решетке векторных подпространств данного векторного пространства , упорядоченных по включению. Явно, линейный фильтр в векторном пространстве X — это семейство B векторных подпространств X такое, что если A , B ∈ B и C — векторное подпространство X , содержащее A , то A ∩ B ∈ B и C ∈ B. [5]
Линейный фильтр является правильным, если он не содержит {0} . [5]
Учитывая набор S , набор мощности P ( S ) частично упорядочивается путем включения множества ; фильтры на этом частичном наборе часто называют просто «фильтрами на S », злоупотребляя терминологией . Для таких частично упорядоченных наборов направление вниз и закрытие вверх сводятся к: [3]
Правильный [7] / невырожденный [8] фильтр — это фильтр, который не содержит ∅ , и эти три условия (включая невырожденность) являются оригинальным определением фильтра, данным Анри Картаном . [9] [10] Обычно — хотя и не универсально — требуют, чтобы фильтры на множествах были правильными (какой бы ни была позиция в отношении фильтров ЧМ-множеств); мы снова будем избегать этой конвенции.
Префильтры на множестве являются правильными тогда и только тогда, когда они также не содержат ∅ .
Для каждого подмножества T из P ( S ) существует наименьший фильтр F , содержащий T. Как и в случае с префильтрами, T генерирует или охватывает F ; базой для F является множество U всех конечных пересечений T . Множество T называется подбазой фильтра, когда F (и, следовательно, U ) является собственным.
Правильные фильтры на множествах обладают свойством конечного пересечения .
Если S = ∅ , то S допускает только несобственный фильтр {∅} .
Фильтр называется свободным, если пересечение его членов пусто. Правильный основной фильтр не является бесплатным.
Поскольку пересечение любого конечного числа членов фильтра также является членом, ни один правильный фильтр на конечном множестве не является свободным и действительно является основным фильтром, порожденным общим пересечением всех его членов. Но неглавный фильтр на бесконечном множестве не обязательно свободен: фильтр свободен тогда и только тогда, когда он включает фильтр Фреше (см. § Примеры).
На изображении вверху этой статьи представлен простой пример фильтров на конечном частично упорядоченном множестве P ({1, 2, 3, 4}) .
Частично упорядочить ℝ → ℝ пространство вещественных функций на ℝ путем поточечного сравнения. Тогда набор функций, «больших на бесконечности», является фильтром на ℝ → ℝ . Эту конструкцию можно значительно обобщить, компактифицировав область и дополнив ко-область: если X — множество с выделенным подмножеством S , а Y — частичное множество с выделенным элементом m , то { f : f | S ≥ m } — фильтр в X → Y .
Множество {{ k : k ≥ N } : N ∈ ℕ} является фильтром в P (ℕ) . В более общем смысле, если D — любое направленное множество , то это фильтр в P ( D ) , называемый хвостовым фильтром. Аналогично любая сеть { x α } αεΑ порождает фильтр событий {{ x β : α ≤ β} : α ∈ Α} . Хвостовой фильтр — это фильтр событий для x α = α .
Фильтр Фреше на бесконечном множестве X : Если ( X , µ) — пространство с мерой , то набор { A : µ( X ∖ A ) = 0} является фильтром. Если µ( X ) = ∞ , то { A : µ( X ∖ A ) < ∞} также является фильтром; фильтр Фреше - это случай, когда µ является счетной мерой .
Учитывая ординал a , подмножество a называется клубом , если оно замкнуто в топологии порядка a, но имеет теоретический предел a . Трефы формы образуют фильтр: клубный фильтр , ♣( a ) .
Предыдущая конструкция обобщается следующим образом: любой клуб C также является набором плотных подмножеств (в порядковой топологии ) a , и ♣( a ) соответствует каждому элементу C. Заменяя C произвольным набором C плотных множеств, «обычно» существует фильтр, встречающий каждый элемент C̃ , называемый общим фильтром . Для счетного C̃ лемма Расёвы –Сикорского означает, что такой фильтр должен существовать; для «малых» несчетных C̃ существование такого фильтра можно доказать с помощью аксиомы Мартина .
Обозначим через P множество частичных порядков ограниченной мощности по модулю изоморфизма . Частично заказать P по:
Тогда подмножество неатомарных частичных порядков образует фильтр. Аналогично, если I — множество инъективных модулей над некоторым заданным коммутативным кольцом ограниченной мощности по модулю изоморфизма, то частичный порядок на I — это:
Для любого бесконечного кардинала κ модули из I , которые не могут быть порождены менее чем κ элементами, образуют фильтр.
Любая равномерная структура на множестве X является фильтром на X × X.
Понятие , двойственное фильтру, то есть понятие, полученное путем перестановки всех ≤ и замены ∧ на ∨ , является идеалом порядка. Благодаря этой двойственности любой вопрос о фильтрах может быть механически переведен в вопрос об идеалах и наоборот; в частности, простой или максимальный фильтр — это фильтр, соответствующий идеал которого является (соответственно) простым или максимальным.
Фильтр является ультрафильтром тогда и только тогда, когда соответствующий идеал минимален.
Для каждого фильтра F на множестве S функция множества, определенная как, является конечно-аддитивной — « мерой », если этот термин понимать довольно свободно. Более того, построенные таким образом меры определены всюду, если F — ультрафильтр . Поэтому утверждение можно считать в некоторой степени аналогичным утверждению о том, что ф выполняется «почти всюду». Такая интерпретация членства в фильтре используется (для мотивации, а не фактических доказательств ) в теории ультрапроизведений в теории моделей , разделе математической логики .
В общей топологии и анализе фильтры используются для определения сходимости аналогично роли последовательностей в метрическом пространстве . Они объединяют концепцию предела во многих произвольных топологических пространствах .
Чтобы понять необходимость фильтров, начните с эквивалентной концепции net . Последовательность обычно индексируется натуральными числами ℕ , которые представляют собой полностью упорядоченный набор . Сети обобщают понятие последовательности, заменяя ℕ произвольным направленным множеством . В некоторых категориях топологических пространств, таких как пространства с первой счетностью , последовательности характеризуют большинство топологических свойств, но в целом это не так. Однако сети, как и фильтры, всегда характеризуют эти топологические свойства.
Фильтры не включают в себя какое-либо множество, внешнее по отношению к топологическому пространству X , тогда как последовательности и сети полагаются на другие направленные множества. По этой причине совокупность всех фильтров на X всегда представляет собой множество , тогда как совокупность всех X -значных сетей представляет собой собственный класс .
Любая точка x в топологическом пространстве X определяет фильтр окрестности или систему N x : а именно, семейство всех множеств, содержащих x внутри . Набор N окрестностей точки x является базой окрестностей точки x , если N порождает N x . Эквивалентно, S ⊆ X является окрестностью точки x тогда и только тогда, когда существует N ∈ N такой, что N ⊆ S .
Предварительный фильтр B сходится к точке x , записанной B → x , тогда и только тогда, когда B порождает фильтр F , который содержит фильтр окрестности N x - явно, для каждой окрестности U точки x существует некоторый V ∈ B такой, что V ⊆ У. Менее явно, B → x тогда и только тогда, когда B уточняет N x , и любая база окрестностей в x может заменить N x в этом условии. Очевидно, что каждая база окрестности в точке x сходится к x .
Фильтр F (который порождает сам себя) сходится к x , если N x ⊆ F . Вышеупомянутое также можно перевернуть, чтобы охарактеризовать фильтр соседства N x : N x является фильтром самой тонкой очистки, более грубым, чем каждый фильтр, сходящийся к x .
Если B → x , то x называется пределом ( точкой) B. Говорят, что предварительный фильтр B кластеризуется в точке x (или имеет x в качестве точки кластера ) тогда и только тогда, когда каждый элемент B имеет непустое пересечение с каждой окрестностью x . Каждая предельная точка является точкой кластера, но обратное, как правило, неверно. Однако каждая точка кластера ультрафильтра является предельной точкой.
