Сокращение тензора

Операция по математике и физике

В полилинейной алгебре тензорная контракция — это операция над тензором , которая возникает из канонического спаривания векторного пространства и его дуального . В компонентах она выражается как сумма произведений скалярных компонент тензора(ов), вызванных применением соглашения о суммировании к паре фиктивных индексов, которые связаны друг с другом в выражении. Контракция одного смешанного тензора происходит, когда пара буквенных индексов (один — нижний индекс, другой — верхний индекс) тензора устанавливаются равными друг другу и суммируются. В нотации Эйнштейна это суммирование встроено в нотацию. Результатом является другой тензор с порядком, уменьшенным на 2.

Сокращение тензора можно рассматривать как обобщение следа .

Абстрактная формулировка

Пусть V — векторное пространство над полем k . Ядром операции сжатия и простейшим случаем является каноническое спаривание V с его дуальным векторным пространством V ^∗ . Спаривание — это линейное отображение из тензорного произведения этих двух пространств в поле k :

${\displaystyle C:V\otimes V^{*}\rightarrow k}$

соответствующий билинейной форме

${\displaystyle \langle v,f\rangle =f(v)}$

где f находится в V ^∗ , а v находится в V . Отображение C определяет операцию свертки на тензоре типа (1, 1) , который является элементом . Обратите внимание, что результатом является скаляр (элемент k ). В конечных размерностях , используя естественный изоморфизм между и пространством линейного отображения из V в V , ^{[1] получается определение} следа без базиса . ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$

В общем случае тензор типа ( m , n ) (при m ≥ 1 и n ≥ 1 ) является элементом векторного пространства

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$

(где имеется m факторов V и n факторов V ^∗ ). ^{[2] [3]} Применение канонического спаривания к k -му фактору V и l -му фактору V ^∗ и использование тождества для всех остальных факторов определяет операцию свертки ( k , l ), ​​которая является линейным отображением, дающим тензор типа ( m − 1, n − 1) . ^[2] По аналогии со случаем (1, 1) общую операцию свертки иногда называют следом.

Сокращение индексной записи

В тензорной индексной нотации базовая контракция вектора и двойственного вектора обозначается как

${\displaystyle {\tilde {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma },}$

что является сокращением для явного суммирования координат ^[4]

${\displaystyle f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}}$

(где v ⁱ — компоненты v в конкретном базисе, а f _i — компоненты f в соответствующем двойственном базисе).

Поскольку общий смешанный диадический тензор является линейной комбинацией разложимых тензоров вида , то явная формула для диадического случая выглядит следующим образом: пусть ${\displaystyle f\otimes v}$

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$

быть смешанным диадическим тензором. Тогда его сокращение равно

${\displaystyle T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T_{j}^{i}\delta _{i}{}^{j}=T_{j}^{j}=T_{1}^{1}+\cdots +T_{n}^{n}}$.

Общее свертывание обозначается обозначением одного ковариантного индекса и одного контравариантного индекса одной и той же буквой, суммирование по этому индексу подразумевается соглашением о суммировании . Результирующий свернутый тензор наследует оставшиеся индексы исходного тензора. Например, свертывание тензора T типа (2,2) по второму и третьему индексам для создания нового тензора U типа (1,1) записывается как

${\displaystyle T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.}$

Напротив, пусть

${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$

быть несмешанным диадическим тензором. Этот тензор не сокращается; если его базовые векторы пунктирные, ^{[ необходимо разъяснение ]} результатом является контравариантный метрический тензор ,

${\displaystyle g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}}$,

чей ранг равен 2.

Метрическое сокращение

Как и в предыдущем примере, свертывание по паре индексов, которые либо оба контравариантны, либо оба ковариантны, в общем случае невозможно. Однако при наличии внутреннего произведения (также известного как метрика ) g такие свертывания возможны. Метрику используют для повышения или понижения одного из индексов по мере необходимости, а затем используют обычную операцию свертывания. Объединенная операция известна как метрическое свертывание . ^[5]

Применение к тензорным полям

Свертка часто применяется к тензорным полям над пространствами (например, евклидовым пространством , многообразиями или схемами ^{[ требуется ссылка ]} ). Поскольку свертка является чисто алгебраической операцией, ее можно применять поточечно к тензорному полю, например, если T — тензорное поле (1,1) на евклидовом пространстве, то в любых координатах его свертка (скалярное поле) U в точке x задается как

${\displaystyle U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)}$

Поскольку роль x здесь не сложна, ее часто опускают, и обозначение тензорных полей становится идентичным обозначению чисто алгебраических тензоров.

Над римановым многообразием доступна метрика (поле внутренних произведений), и как метрические, так и неметрические контракции имеют решающее значение для теории. Например, тензор Риччи является неметрической контракцией тензора кривизны Римана , а скалярная кривизна является уникальной метрической контракцией тензора Риччи.

Можно также рассматривать свертку тензорного поля в контексте модулей над соответствующим кольцом функций на многообразии ^[5] или в контексте пучков модулей над структурным пучком; ^[6] см. обсуждение в конце этой статьи.

Тензорная дивергенция

В качестве применения контракции тензорного поля пусть V будет векторным полем на римановом многообразии (например, евклидовом пространстве ). Пусть будет ковариантной производной V (в некотором выборе координат). В случае декартовых координат в евклидовом пространстве можно записать ${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\beta }}$

${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\beta }={\partial V^{\alpha } \over \partial x^{\beta }}.}$

Затем изменение индекса β на α приводит к тому, что пара индексов становится связанной друг с другом, так что производная сжимается сама с собой, получая следующую сумму:

${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\alpha }=V^{0}{}_{0}+\cdots +V^{n}{}_{n},}$

что является дивергенцией div V. Тогда

${\displaystyle \operatorname {div} V=V^{\alpha }{}_{\alpha }=0}$

представляет собой уравнение непрерывности для V.

В общем случае можно определить различные операции дивергенции на тензорных полях более высокого ранга следующим образом. Если T — тензорное поле по крайней мере с одним контравариантным индексом, то взятие ковариантного дифференциала и свертывание выбранного контравариантного индекса с новым ковариантным индексом, соответствующим дифференциалу , приводит к новому тензору ранга на единицу ниже, чем у T. ^[5]

Свертка пары тензоров

Можно обобщить основную операцию свертки (вектор с дуальным вектором) немного по-другому, рассмотрев пару тензоров T и U. Тензорное произведение — это новый тензор, который, если у него есть хотя бы один ковариантный и один контравариантный индекс, может быть свернут. Случай, когда T — вектор, а U — дуальный вектор, — это как раз основная операция, впервые представленная в этой статье. ${\displaystyle T\otimes U}$

В нотации индекса тензора, чтобы свернуть два тензора друг с другом, их располагают рядом (сопоставляют) как факторы одного и того же термина. Это реализует тензорное произведение, давая составной тензор. Свертывание двух индексов в этом составном тензоре реализует желаемую свертку двух тензоров.

Например, матрицы можно представить как тензоры типа (1,1) с первым индексом, являющимся контравариантным, и вторым индексом, являющимся ковариантным. Пусть будут компонентами одной матрицы, а пусть будут компонентами второй матрицы. Тогда их умножение задается следующей сверткой, примером свертки пары тензоров: ${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }}$ ${\displaystyle \mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }}$

${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }}$.

Кроме того, внутреннее произведение вектора с дифференциальной формой является частным случаем свертки двух тензоров друг с другом.

Более общие алгебраические контексты

Пусть R — коммутативное кольцо , а M — конечный свободный модуль над R. Тогда стягивание действует на полную (смешанную) тензорную алгебру M точно так же, как и в случае векторных пространств над полем. (Ключевым фактом является то, что каноническое спаривание в этом случае все еще совершенно.)

В более общем случае, пусть O _X — пучок коммутативных колец над топологическим пространством X , например, O _X может быть структурным пучком комплексного многообразия , аналитического пространства или схемы . Пусть M — локально свободный пучок модулей над O _X конечного ранга. Тогда двойственное к M по-прежнему ведет себя хорошо ^[6], и операции сжатия имеют смысл в этом контексте.

Смотрите также

• Тензорное произведение
• Частичный след
• Изделия для интерьера
• Повышение и понижение индексов
• Музыкальный изоморфизм
• исчисление Риччи

Примечания

1. Пусть L( V , V ) — пространство линейных отображений из V в V . Тогда естественное отображение

   ${\displaystyle V^{*}\otimes V\rightarrow L(V,V)}$

   определяется как

   ${\displaystyle f\otimes v\mapsto g,}$

   где g ( w ) = f ( w ) v . Предположим , что V конечномерно. Если { v _i } — базис V и { f ⁱ } — соответствующий дуальный базис, то отображается в преобразование, матрица которого в этом базисе имеет только один ненулевой элемент, a 1 в позиции i , j . Это показывает, что отображение является изоморфизмом. ${\displaystyle f^{i}\otimes v_{j}}$
2. Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Теория представления: Первый курс . GTM . Том 129. Нью-Йорк: Springer. С. 471–476. ISBN 0-387-97495-4.
3. Уорнер, Фрэнк (1993). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . GTM . Т. 94. Нью-Йорк: Springer. С. 54–56. ISBN 0-387-90894-3.
4. В физике (а иногда и в математике) индексы часто начинаются с нуля вместо единицы. В четырехмерном пространстве-времени индексы идут от 0 до 3.
5. O'Neill, Barrett (1983). Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности . Academic Press. стр. 86. ISBN 0-12-526740-1.
6. Hartshorne, Robin (1977). Алгебраическая геометрия . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-90244-9.

Ссылки

• Бишоп, Ричард Л.; Голдберг, Сэмюэл И. (1980). Тензорный анализ многообразий . Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-64039-6.
• Менцель, Дональд Х. (1961). Математическая физика . Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-60056-4.