C0-полугруппа

Обобщение показательной функции

В математическом анализе C ₀ -полугруппа , также известная как сильно непрерывная однопараметрическая полугруппа , является обобщением показательной функции . Так же, как показательные функции дают решения скалярных линейных постоянных коэффициентов обыкновенных дифференциальных уравнений , сильно непрерывные полугруппы дают решения линейных постоянных коэффициентов обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах . Такие дифференциальные уравнения в банаховых пространствах возникают, например, из дифференциальных уравнений с запаздыванием и дифференциальных уравнений с частными производными .

Формально сильно непрерывная полугруппа — это представление полугруппы ( R + _, +) в некотором банаховом пространстве X , непрерывное в сильной операторной топологии .

Формальное определение

Сильно непрерывная полугруппа в банаховом пространстве — это отображение (где — пространство ограниченных операторов в ), такое что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle T(0)=I}$, ( оператор тождественности на ) ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle \forall t,s\geq 0:\ T(t+s)=T(t)T(s)}$
3. ${\displaystyle \forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0}$, как . ${\displaystyle t\downarrow 0}$

Первые две аксиомы являются алгебраическими и утверждают, что является представлением полугруппы ; последняя является топологической и утверждает , что отображение непрерывно в сильной операторной топологии . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {(\mathbb {R} _{+},+)}}$ ${\displaystyle T}$

Генератор бесконечно малых величин

Инфинитно малый генератор A сильно непрерывной полугруппы T определяется формулой

${\displaystyle A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {(T(t)-I)\,x}{t}}}$

всякий раз, когда предел существует. Область определения A , D ( A ), есть множество x ∈ X , для которых этот предел существует; D ( A ) есть линейное подпространство , а A линейно в этой области определения. ^[1] Оператор A замкнут , хотя и не обязательно ограничен , и область определения плотна в X . ^[2]

Сильно непрерывная полугруппа T с генератором A часто обозначается символом (или, что эквивалентно, ). Это обозначение совместимо с обозначением для матричных экспонент , а также для функций оператора, определяемых посредством функционального исчисления (например, посредством спектральной теоремы ). ${\displaystyle e^{At}}$ ${\displaystyle \exp(At)}$

Равномерно непрерывная полугруппа

Равномерно непрерывная полугруппа — это сильно непрерывная полугруппа T такая, что

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\|T(t)-I\|=0}$

В этом случае бесконечно малый генератор A из T ограничен и мы имеем

${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=X}$

и

${\displaystyle T(t)=e^{At}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}t^{k}.}$

Наоборот , любой ограниченный оператор

${\displaystyle A\colon X\to X}$

является бесконечно малым генератором равномерно непрерывной полугруппы, заданной формулой

${\displaystyle T(t):=e^{At}}$.

Таким образом, линейный оператор A является инфинитезимальным генератором равномерно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда A является ограниченным линейным оператором. ^[3] Если X — конечномерное банахово пространство, то любая сильно непрерывная полугруппа является равномерно непрерывной полугруппой. Для сильно непрерывной полугруппы, которая не является равномерно непрерывной полугруппой, инфинитезимальный генератор A не ограничен. В этом случае не требуется сходимости. ${\displaystyle e^{At}}$

Примеры

Полугруппа умножения

Рассмотрим банахово пространство, наделенное sup нормой . Пусть будет непрерывной функцией с . Оператор с областью определения является замкнутым плотно определенным оператором и порождает полугруппу умножения , где Операторы умножения можно рассматривать как бесконечномерное обобщение диагональных матриц , и многие свойства могут быть выведены из свойств . Например, ограничено на тогда и только тогда, когда ограничено . [ ^4] ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ):=\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} {\text{ continuous}}:\forall \epsilon >0~\exists c>0{\text{ such that }}\vert f(x)\vert \leq \epsilon ~\forall x\in \mathbb {R} \setminus [-c,c]\}}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert :={\text{sup}}_{x\in \mathbb {R} }\vert f(x)\vert }$ ${\displaystyle q:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\text{sup}}_{s\in \mathbb {R} }{\text{Re}}(q(s))<\infty }$ ${\displaystyle M_{q}f:=q\cdot f}$ ${\displaystyle D(M_{q}):=\{f\in C_{0}(\mathbb {R} ):q\cdot f\in C_{0}(\mathbb {R} )\}}$ ${\displaystyle (T_{q}(t))_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle T_{q}(t)f:=\mathrm {e} ^{qt}f.}$ ${\displaystyle M_{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle M_{q}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R)} }$ ${\displaystyle q}$

Трансляционная полугруппа

Пусть — пространство ограниченных, равномерно непрерывных функций на , снабженное нормой sup. (Левая) трансляционная полугруппа задается формулой . ${\displaystyle C_{ub}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (T_{l}(t))_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle T_{l}(t)f(s):=f(s+t),\quad s,t\in \mathbb {R} }$

Его генератор — производная с областью определения . ^[5] ${\displaystyle Af:=f'}$ ${\displaystyle D(A):=\{f\in C_{ub}(\mathbb {R} ):f{\text{ differentiable with }}f'\in C_{ub}(\mathbb {R} )\}}$

Абстрактные проблемы Коши

Рассмотрим абстрактную задачу Коши :

${\displaystyle u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,}$

где A — замкнутый оператор в банаховом пространстве X и x ∈ X. Существуют две концепции решения этой задачи:

• Непрерывно дифференцируемая функция u : [0, ∞) → X называется классическим решением задачи Коши, если u ( t  ) ∈ D ( A ) для всех t > 0 и она удовлетворяет начальной задаче,
• Непрерывная функция u : [0, ∞) → X называется мягким решением задачи Коши, если

${\displaystyle \int _{0}^{t}u(s)\,ds\in D(A){\text{ and }}A\int _{0}^{t}u(s)\,ds=u(t)-x.}$

Любое классическое решение является мягким решением. Мягкое решение является классическим решением тогда и только тогда, когда оно непрерывно дифференцируемо. ^[6]

Следующая теорема связывает абстрактные задачи Коши и сильно непрерывные полугруппы.

Теорема: ^[7] Пусть A — замкнутый оператор в банаховом пространстве X. Следующие утверждения эквивалентны:

1. для всех x ∈ X существует единственное мягкое решение абстрактной задачи Коши,
2. оператор A порождает сильно непрерывную полугруппу,
3. резольвентное множество A непусто и для всех x ∈ D ( A ) существует единственное классическое решение задачи Коши.

Если эти утверждения верны, то решение задачи Коши имеет вид u ( t  ) =  T ( t  ) x , где T — сильно непрерывная полугруппа, порожденная A .

Теоремы о порождении

В связи с задачами Коши обычно задается линейный оператор A и ставится вопрос, является ли он генератором сильно непрерывной полугруппы. Теоремы, которые отвечают на этот вопрос, называются теоремами генерации . Полная характеристика операторов, которые порождают экспоненциально ограниченные сильно непрерывные полугруппы, дается теоремой Хилле–Иосиды . Однако более важное практическое значение имеют гораздо более простые для проверки условия, задаваемые теоремой Люмера–Филлипса .

Специальные классы полугрупп

Равномерно непрерывные полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T называется равномерно непрерывной , если отображение t  →  T ( t  ) непрерывно из [0, ∞) в L ( X ).

Генератор равномерно непрерывной полугруппы является ограниченным оператором .

Аналитические полугруппы

Полугруппы сжатия

C ₀ -полугруппа Γ( t ), t  ≥ 0, называется квазисжимающей полугруппой , если существует константа ω такая, что ||Γ( t )|| ≤ exp( ωt ) для всех t  ≥ 0. Γ( t ) называется сжимающей полугруппой , если || Γ( t )|| ≤ 1 для всех t  ≥ 0. ^[8]

Дифференцируемые полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T называется в конечном счете дифференцируемой , если существует t ₀  > 0 такое, что T ( t ₀ ) X ⊂ D ( A ) (эквивалентно: T ( t  ) X ⊂ D ( A ) для всех t  ≥  t ₀ ), и T является непосредственно дифференцируемой , если T ( t  ) X  ⊂  D ( A ) для всех t  > 0 .

Каждая аналитическая полугруппа непосредственно дифференцируема.

Эквивалентная характеристика в терминах задач Коши следующая: сильно непрерывная полугруппа, порожденная A, в конечном счете дифференцируема тогда и только тогда, когда существует t ₁  ≥ 0, такое, что для всех x  ∈  X решение u абстрактной задачи Коши дифференцируемо на ( t ₁ , ∞) . Полугруппа немедленно дифференцируема, если t ₁ можно выбрать равным нулю.

Компактные полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T называется в конечном счете компактной , если существует t ₀  > 0 такое, что T ( t ₀ ) является компактным оператором (эквивалентно ^[9], если T ( t  ) является компактным оператором для всех t  ≥  t ₀ ). Полугруппа называется непосредственно компактной, если T ( t  ) является компактным оператором для всех t  > 0.

Норма непрерывных полугрупп

Сильно непрерывная полугруппа называется в конечном счете непрерывной по норме , если существует t ₀  ≥ 0, такое что отображение t  →  T ( t  ) непрерывно из ( t ₀ , ∞) в L ( X ). Полугруппа называется непосредственно непрерывной по норме , если t ₀ можно выбрать равным нулю.

Обратите внимание, что для полугруппы с непрерывной нормой отображение t  →  T ( t  ) может не быть непрерывным при t  = 0 (это сделало бы полугруппу равномерно непрерывной).

Аналитические полугруппы, (в конечном итоге) дифференцируемые полугруппы и (в конечном итоге) компактные полугруппы в конечном итоге являются непрерывными по норме. ^[10]

Стабильность

Экспоненциальная устойчивость

Граница роста полугруппы T — это константа

${\displaystyle \omega _{0}=\inf _{t>0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|.}$

Оно так называется, поскольку это число также является инфимумом всех действительных чисел ω, таких, что существует константа M (≥ 1) с

${\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega t}}$

для всех t ≥ 0.

Следующие утверждения эквивалентны: ^[11]

1. Существуют M , ω >0 такие, что для всех t  ≥ 0: ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},}$
2. Граница роста отрицательна: ω ₀  < 0,
3. Полугруппа сходится к нулю в равномерной операторной топологии : , ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0}$
4. Существует t ₀  > 0 такое, что , ${\displaystyle \|T(t_{0})\|<1}$
5. Существует t _{1 >} 0  такое, что спектральный радиус T ( t ₁ ) строго меньше 1,
6. Существует p  ∈ [1, ∞) такое, что для всех x  ∈  X : , ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty }$
7. Для всех p  ∈ [1, ∞) и всех x  ∈  X : ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .}$

Полугруппа, удовлетворяющая этим эквивалентным условиям, называется экспоненциально устойчивой или равномерно устойчивой (в некоторых разделах литературы в качестве определения берется одно из первых трех приведенных выше утверждений). То, что условия L ^p эквивалентны экспоненциальной устойчивости, называется теоремой Датко-Пазы .

В случае, если X является гильбертовым пространством, существует еще одно условие, эквивалентное экспоненциальной устойчивости в терминах резольвентного оператора генератора: ^[12] все λ с положительной действительной частью принадлежат резольвентному множеству A , а резольвентный оператор равномерно ограничен на правой полуплоскости, т.е. ( λI  −  A ) ⁻¹ принадлежит пространству Харди . Это называется теоремой Герхарта-Прусса . ${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))}$

Спектральная граница оператора A — это константа

${\displaystyle s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\,\lambda :\lambda \in \sigma (A)\}}$,

при условии, что s ( A ) = −∞, если спектр A пуст .

Граница роста полугруппы и спектральная граница ее генератора связаны соотношением ^[13] s ( A ) ≤ ω ₀ ( T  ). Существуют примеры ^[14] , где s ( A ) <  ω ₀ ( T  ). Если s ( A ) =  ω ₀ ( T  ), то говорят, что T удовлетворяет условию спектрально определенного роста . В конце концов, нормо-непрерывные полугруппы удовлетворяют условию спектрально определенного роста. ^[15] Это дает другую эквивалентную характеристику экспоненциальной устойчивости для этих полугрупп:

• Полугруппа с конечной нормой экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда s ( A ) < 0.

Обратите внимание, что в конечном итоге компактные, в конечном итоге дифференцируемые, аналитические и равномерно непрерывные полугруппы в конечном итоге являются непрерывными по норме, так что условие спектрально определенного роста выполняется, в частности, для этих полугрупп.

Сильная стабильность

Сильно непрерывная полугруппа T называется сильно устойчивой или асимптотически устойчивой , если для всех x  ∈  X : . ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0}$

Экспоненциальная устойчивость подразумевает сильную устойчивость, но обратное утверждение, как правило, неверно, если X бесконечномерно (это верно для X конечномерно).

Следующее достаточное условие сильной устойчивости называется теоремой Арендта–Бэтти–Любича–Фонга : ^{[16] [17]} Предположим, что

1. T ограничено: существует M  ≥ 1 такое, что , ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M}$
2. А не имеет точечного спектра на мнимой оси, и
3. Спектр A , расположенный на мнимой оси, счетен.

Тогда T сильно устойчиво.

Если X рефлексивен, то условия упрощаются: если T ограничен, A не имеет собственных значений на мнимой оси и спектр A , расположенный на мнимой оси, счетен, то T сильно устойчив.

Смотрите также

• Теорема Хилле–Йосиды
• Теорема Люмера–Филлипса
• Теорема Троттера–Като
• Аналитическая полугруппа
• Сокращение (теория операторов)
• Матрица экспоненциальная
• Сильно непрерывное семейство операторов
• Абстрактное дифференциальное уравнение

Примечания

1. Партингтон (2004) стр. 23
2. Партингтон (2004) стр. 24
3. Pazy, A. (1983), Полугруппы линейных операторов и их применение к уравнениям с частными производными , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 2, ISBN 0-387-90845-5
4. Клаус-Йохен Энгель (2006), Краткий курс по полугруппам операторов (на немецком языке), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer, стр. 20 и далее, ISBN 0-387-36619-9
5. Клаус-Йохен Энгель (2006), Краткий курс по полугруппам операторов (на немецком языке), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer, стр. 51, ISBN 0-387-36619-9
6. Арендт и др. Предложение 3.1.2.
7. Арендт и др. Теорема 3.1.12
8. Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт К. (2004). Введение в уравнения с частными производными . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. МР 2028503
9. Лемма Энгеля и Нагеля II.4.22
10. Энгель и Нагель (диаграмма II.4.26)
11. Энгель и Нагель Раздел V.1.b
12. Теорема Энгеля и Нагеля V.1.11
13. Энгель и Нагель Предложение IV2.2
14. Энгель и Нагель Раздел IV.2.7, Луо и др. Пример 3.6
15. Следствие Энгеля и Нагеля 4.3.11
16. Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз (1988), «Тауберовы теоремы и устойчивость однопараметрических полугрупп», Труды Американского математического общества , 306 (2): 837–852, doi : 10.1090/S0002-9947-1988-0933321-3
17. Любич, Ю; Фонг, Ву Куок (1988), «Асимптотическая устойчивость линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах», Studia Mathematica , 88 (1): 37–42, doi : 10.4064/sm-88-1-37-42

Ссылки

• Хилл, Э.; Филлипс, Р.С. (1975), Функциональный анализ и полугруппы (переиздание), Американское математическое общество, OCLC  615131618
• Куртейн, Р. Ф.; Цварт, Х. Дж. (1995), Введение в теорию бесконечномерных линейных систем , Springer Verlag, ISBN 978-1-07-160588-2
• Дэвис, ЭБ (1980), Однопараметрические полугруппы , монографии LMS, Academic Press, ISBN 0-12-206280-9
• Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000), Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений , Springer
• Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), Векторные преобразования Лапласа и задачи Коши , Биркхаузер
• Стаффанс, Олоф (2005), Корректно поставленные линейные системы , Cambridge University Press
• Ло, Чжэн-Хуа; Го, Бао-Чжу; Моргул, Омер (1999), Устойчивость и стабилизация бесконечномерных систем с приложениями , Springer
• Партингтон, Джонатан Р. (2004), Линейные операторы и линейные системы , Студенческие тексты Лондонского математического общества , Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-54619-2