Философская логика

Применение логических методов к философским проблемам

Понимаемая в узком смысле, философская логика — это область логики , которая изучает применение логических методов к философским проблемам, часто в форме расширенных логических систем, таких как модальная логика . Некоторые теоретики понимают философскую логику в более широком смысле как изучение сферы охвата и природы логики в целом. В этом смысле философскую логику можно рассматривать как идентичную философии логики , которая включает в себя дополнительные темы, такие как определение логики или обсуждение фундаментальных понятий логики. В настоящей статье философская логика рассматривается в узком смысле, в котором она образует одну из областей исследования в рамках философии логики.

Важным вопросом для философской логики является вопрос о том, как классифицировать большое разнообразие неклассических логических систем, многие из которых имеют довольно недавнее происхождение. Одна из форм классификации, часто встречающаяся в литературе, заключается в различении расширенных логик и девиантных логик. Сама логика может быть определена как изучение обоснованного вывода . Классическая логика является доминирующей формой логики и формулирует правила вывода в соответствии с логическими интуициями, разделяемыми многими, такими как закон исключенного третьего , устранение двойного отрицания и двузначность истины.

Расширенные логики — это логические системы, основанные на классической логике и ее правилах вывода, но расширяющие ее на новые области путем введения новых логических символов и соответствующих правил вывода, управляющих этими символами. В случае алетической модальной логики эти новые символы используются для выражения не только того, что является истинным просто , но также того, что возможно или обязательно истинно . Ее часто сочетают с семантикой возможных миров, которая утверждает, что предложение возможно истинно, если оно истинно в некотором возможном мире , и в то же время оно обязательно истинно, если оно истинно во всех возможных мирах. Деонтическая логика относится к этике и обеспечивает формальную трактовку этических понятий, таких как обязательство и разрешение . Временная логика формализует временные отношения между предложениями. Это включает в себя такие идеи, как является ли что-то истинным в какое-то время или все время и является ли это истинным в будущем или в прошлом. Эпистемическая логика относится к эпистемологии . Ее можно использовать для выражения не только того, что имеет место, но и того, во что кто-то верит или знает, что это имеет место. Его правила вывода формулируют то, что следует из факта наличия у кого-то таких ментальных состояний . Логики более высокого порядка не применяют классическую логику напрямую к определенным новым подобластям философии, а обобщают ее, допуская квантификацию не только по отдельным людям, но и по предикатам.

Девиантные логики , в отличие от этих форм расширенных логик, отвергают некоторые из основных принципов классической логики и часто рассматриваются как ее конкуренты. Интуиционистская логика основана на идее, что истина зависит от проверки посредством доказательства. Это приводит к тому, что она отвергает определенные правила вывода, найденные в классической логике, которые несовместимы с этим предположением. Свободная логика модифицирует классическую логику, чтобы избежать экзистенциальных предпосылок, связанных с использованием возможно пустых единичных терминов, таких как имена и определенные описания. Многозначные логики допускают дополнительные значения истины, помимо истинного и ложного . Тем самым они отвергают принцип двузначности истины. Паранепротиворечивые логики — это логические системы, способные справляться с противоречиями. Они делают это, избегая принципа взрыва, найденного в классической логике. Логика релевантности — это известная форма паранепротиворечивой логики. Она отвергает чисто истинностно-функциональную интерпретацию материального условного предложения , вводя дополнительное требование релевантности: для того, чтобы условное предложение было истинным, его антецедент должен быть релевантным своему консеквенту.

Определение и связанные с ним области

Термин «философская логика» используется разными теоретиками несколько по-разному. ^[1] При узком понимании, как обсуждается в этой статье, философская логика — это область философии, которая изучает применение логических методов к философским проблемам. Обычно это происходит в форме разработки новых логических систем, чтобы либо расширить классическую логику на новые области, либо модифицировать ее, чтобы включить определенные логические интуиции, которые не рассматриваются должным образом классической логикой. ^{[2] [1] [3] [4]} В этом смысле философская логика изучает различные формы неклассической логики, такие как модальная логика и деонтическая логика. Таким образом, различные фундаментальные философские концепции, такие как возможность, необходимость, обязанность, разрешение и время, рассматриваются логически точным образом путем формального выражения выводных ролей, которые они играют по отношению друг к другу. ^{[5] [4] [1] [3]} Некоторые теоретики понимают философскую логику в более широком смысле как изучение сферы охвата и природы логики в целом. С этой точки зрения она исследует различные философские проблемы, поднимаемые логикой, включая фундаментальные концепции логики. В этом более широком смысле ее можно понимать как идентичную философии логики , где обсуждаются эти темы. ^{[6] [7] [8] [1]} В настоящей статье обсуждается только узкое понятие философской логики. В этом смысле она образует одну область философии логики. ^[1]

Центральным для философской логики является понимание того, что такое логика и какую роль философская логика играет в ней. Логику можно определить как изучение обоснованных выводов. ^{[4] [6] [9]} Вывод — это шаг рассуждения, на котором он переходит от посылок к заключению. ^[10] Часто вместо него также используется термин «аргумент». Вывод обоснован, если предпосылки не могут быть истинными, а заключение — ложным. В этом смысле истинность посылок обеспечивает истинность заключения. ^{[11] [10] [12] [1]} Это можно выразить в терминах правил вывода : вывод обоснован, если его структура, т. е. способ формирования его посылок и заключения, следует правилу вывода. ^[4] Различные системы логики по-разному объясняют, когда вывод обоснован. Это означает, что они используют разные правила вывода. Традиционно доминирующий подход к обоснованности называется классической логикой. Но философская логика занимается неклассической логикой: она изучает альтернативные системы вывода. ^{[2] [1] [3] [4]} Мотивы для этого можно грубо разделить на две категории. Для некоторых классическая логика слишком узка: она оставляет без внимания множество философски интересных вопросов. Это можно решить, расширив классическую логику дополнительными символами, чтобы дать логически строгую трактовку дальнейших областей. ^{[6] [13] [14]} Другие видят некоторые недостатки в самой классической логике и пытаются дать альтернативное объяснение вывода. Это обычно приводит к развитию отклоняющихся логик, каждая из которых изменяет фундаментальные принципы классической логики, чтобы исправить свои предполагаемые недостатки. ^{[6] [13] [14]}

Классификация логик

Современные разработки в области логики привели к большому распространению логических систем. ^[13] Это резко контрастирует с историческим доминированием аристотелевской логики , которая считалась единым каноном логики на протяжении более двух тысяч лет. ^[1] Трактаты по современной логике часто рассматривают эти различные системы как список отдельных тем, не предоставляя четкой их классификации. Однако одна классификация, часто упоминаемая в академической литературе, принадлежит Сьюзен Хаак и различает классическую логику , расширенную логику и девиантную логику . ^{[6] [13] [15]} Эта классификация основана на идее, что классическая логика, т. е. пропозициональная логика и логика первого порядка, формализует некоторые из наиболее распространенных логических интуиций. В этом смысле она представляет собой базовое описание аксиом, управляющих действительным выводом. ^{[4] [9]} Расширенные логики принимают это базовое описание и распространяют его на дополнительные области. Обычно это происходит путем добавления нового словаря, например, для выражения необходимости, обязательства или времени. ^{[13] [1] [4] [9]} Затем эти новые символы интегрируются в логический механизм, указывая, какие новые правила вывода к ним применяются, например, возможность следует из необходимости. ^{[15] [13]} С другой стороны, девиантные логики отвергают некоторые из основных предположений классической логики. В этом смысле они не являются просто ее расширениями, но часто формулируются как конкурирующие системы, которые предлагают иное описание законов логики. ^{[13] [15]}

Выражаясь более техническим языком, различие между расширенной и девиантной логикой иногда проводится несколько иначе. С этой точки зрения логика является расширением классической логики, если выполняются два условия: (1) все правильно построенные формулы классической логики являются также правильно построенными формулами в ней и (2) все действительные выводы в классической логике являются также действительными выводами в ней. ^{[13] [15] [16]} Для девиантной логики, с другой стороны, (a) ее класс правильно построенных формул совпадает с классом классической логики, в то время как (b) некоторые действительные выводы в классической логике не являются действительными выводами в ней. ^{[13] [15] [17]} Термин «квазидевиантная логика» используется, если (i) он вводит новый словарь, но все правильно построенные формулы классической логики также являются правильно построенными формулами в нем и (ii) даже когда он ограничен выводами, использующими только словарь классической логики, некоторые допустимые выводы в классической логике не являются допустимыми выводами в нем. ^{[13] [15]} Термин «девиантная логика» часто используется в смысле, который включает также и квазидевиантную логику. ^[13]

Философская проблема, поднятая этой множественностью логик, касается вопроса о том, может ли быть более одной истинной логики. ^{[13] [1]} Некоторые теоретики отдают предпочтение локальному подходу, в котором различные типы логики применяются к различным областям. Ранние интуиционисты, например, считали интуиционистскую логику правильной логикой для математики, но допускали классическую логику в других областях. ^{[13] [18]} Но другие, как Майкл Дамметт , предпочитают глобальный подход, утверждая, что интуиционистская логика должна заменить классическую логику в каждой области. ^{[13] [18]} Монизм — это тезис о том, что существует только одна истинная логика. ^[6] Это можно понимать по-разному, например, что только одна из всех предложенных логических систем является правильной или что правильная логическая система еще не найдена как система, лежащая в основе и объединяющая все различные логики. ^[1] Плюралисты, с другой стороны, считают, что множество различных логических систем могут быть правильными одновременно. ^{[19] [6] [1]}

Тесно связанная проблема касается вопроса о том, все ли эти формальные системы на самом деле представляют собой логические системы. ^{[1] [4]} Это особенно актуально для девиантных логик, которые очень сильно отклоняются от общих логических интуиций, связанных с классической логикой. В этом смысле, например, утверждалось, что нечеткая логика является логикой только по названию, но вместо этого ее следует считать нелогической формальной системой, поскольку идея степеней истинности слишком далека от самых фундаментальных логических интуиций. ^{[13] [20] [4]} Поэтому не все согласны с тем, что все формальные системы, обсуждаемые в этой статье, на самом деле представляют собой логики , если понимать их в строгом смысле.

Классическая логика

Классическая логика является доминирующей формой логики, используемой в большинстве областей. ^[21] Термин относится в первую очередь к пропозициональной логике и логике первого порядка . ^[6] Классическая логика не является независимой темой в философской логике. Но хорошее знакомство с ней все еще требуется, поскольку многие логические системы, имеющие непосредственное отношение к философской логике, могут быть поняты либо как расширения классической логики, которые принимают ее основные принципы и строятся на ней, либо как ее модификации, отвергающие некоторые из ее основных предположений. ^{[5] [14]} Классическая логика изначально была создана для анализа математических аргументов и только впоследствии была применена к различным другим областям. ^[5] По этой причине она пренебрегает многими темами философского значения, не имеющими отношения к математике, такими как разница между необходимостью и возможностью, между обязательством и разрешением или между прошлым, настоящим и будущим. ^[5] Эти и подобные темы рассматриваются в различных философских логиках, расширяющих классическую логику. ^{[14] [1] [3]} Сама по себе классическая логика занимается только несколькими основными концепциями и ролью, которую эти концепции играют в создании обоснованных выводов. ^[22] Концепции, относящиеся к пропозициональной логике, включают пропозициональные связки, такие как «и», «или» и «если-то». ^[4] Характерной чертой классического подхода к этим связкам является то, что они следуют определенным законам, таким как закон исключенного третьего , исключение двойного отрицания , принцип взрыва и двузначность истины. ^[21] Это отличает классическую логику от различных девиантных логик, которые отрицают один или несколько из этих принципов. ^{[13] [5]}

В логике первого порядка сами предложения состоят из подпропозициональных частей, таких как предикаты , единичные термины и квантификаторы . ^[8] [ ^23] Единичные термины относятся к объектам, а предикаты выражают свойства объектов и отношения между ними. ^{[8] [24]} Квантификаторы представляют собой формальную трактовку таких понятий, как «для некоторых» и «для всех». Их можно использовать для выражения того, имеют ли предикаты расширение вообще или их расширение включает всю область. ^[25] Квантификация допускается только по отдельным терминам, но не по предикатам, в отличие от логик более высокого порядка. ^{[26] [4]}

Расширенная логика

Алетический модальный

Алетическая модальная логика оказала большое влияние на логику и философию. Она обеспечивает логический формализм для выражения того, что возможно или необходимо истинно . ^{[12] [9] [27] [28] [29] [30] [14]} Она представляет собой расширение логики первого порядка, которая сама по себе способна выражать только то, что истинно simpliciter . Это расширение происходит путем введения двух новых символов: " " ${\displaystyle \Diamond }$ для возможности и " " ${\displaystyle \Box }$ для необходимости. Эти символы используются для изменения предложений. Например, если " " ${\displaystyle W(s)}$ обозначает предложение "Сократ мудр", то " " ${\displaystyle \Diamond W(s)}$ выражает предложение "возможно, что Сократ мудр". Чтобы интегрировать эти символы в логический формализм, к существующим аксиомам логики первого порядка добавляются различные аксиомы. ^{[27] [28] [30]} Они управляют логическим поведением этих символов, определяя, как обоснованность вывода зависит от того факта, что эти символы в нем обнаружены. Они обычно включают идею о том, что если предложение необходимо, то его отрицание невозможно, т. е. что " " ${\displaystyle \Box A}$ эквивалентно " " ${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A}$ . Другой такой принцип заключается в том, что если что-то необходимо, то это также должно быть возможно. Это означает, что " " ${\displaystyle \Diamond A}$ следует из " " ${\displaystyle \Box A}$ . ^{[27] [28] [30]} Существуют разногласия относительно того, какие именно аксиомы управляют модальной логикой. Различные формы модальной логики часто представляются как вложенная иерархия систем, в которой самые фундаментальные системы, такие как система K , включают только самые фундаментальные аксиомы, в то время как другие системы, такие как популярная система S5 , надстраиваются поверх нее, включая дополнительные аксиомы. ^{[27] [28] [30]} В этом смысле система K является расширением логики первого порядка, в то время как система S5 является расширением системы K. Важные дискуссии в философской логике касаются вопроса о том, какая система модальной логики является правильной. ^{[27] [28] [30]} Обычно выгодно иметь максимально сильную систему, чтобы иметь возможность делать множество различных выводов. Но это влечет за собой проблему, что некоторые из этих дополнительных выводов могут противоречить базовым модальным интуициям в конкретных случаях. Это обычно мотивирует выбор более базовой системы аксиом. ^{[27] [28] [30]}

Семантика возможных миров — очень влиятельная формальная семантика в модальной логике, которая приносит с собой систему S5. ^{[27] [28] [30]} Формальная семантика языка характеризует условия, при которых предложения этого языка являются истинными или ложными. Формальная семантика играет центральную роль в теоретико-модельной концепции действительности . ^{[4] [10]} Она способна предоставить четкие критерии того, когда вывод действителен или нет: вывод действителен тогда и только тогда, когда он сохраняет истинность, т. е. если всякий раз, когда его посылки истинны, его заключение также истинно. ^{[9] [10] [31]} Являются ли они истинными или ложными, определяется формальной семантикой. Семантика возможных миров определяет условия истинности предложений, выраженных в модальной логике в терминах возможных миров. ^{[27] [28] [30]} Возможный мир — это полный и непротиворечивый способ того, как все могло бы быть. ^{[32] [33]} С этой точки зрения предложение, измененное -оператором, является истинным, если оно истинно хотя бы в одном возможном мире, в то время как предложение, измененное -оператором, является истинным, если оно истинно во всех возможных мирах. ^{[27] [28] [30]} Таким образом, предложение " " (возможно, что Сократ мудр) является истинным, поскольку существует хотя бы один мир, в котором Сократ мудр. Но " " (необходимо, чтобы Сократ мудр) является ложным, поскольку Сократ мудр не в каждом возможном мире. Семантика возможных миров подвергалась критике как формальная семантика модальной логики, поскольку она кажется циклической. ^[8] Причина этого в том, что возможные миры сами по себе определяются в модальных терминах, т. е. как способы, которыми могли бы быть вещи. Таким образом, она сама использует модальные выражения для определения истинности предложений, содержащих модальные выражения. ^[8] ${\displaystyle \Diamond }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond W(s)}$ ${\displaystyle \Box W(s)}$

Деонтический

Деонтическая логика расширяет классическую логику в область этики . ^{[34] [14] [35]} Центральное значение в этике имеют концепции обязанности и разрешения , т. е. какие действия агент должен или разрешено совершать. Деонтическая логика обычно выражает эти идеи с помощью операторов и . ^{[34] [14] [35] [27]} Так, если « » обозначает предложение «Рамирес занимается бегом трусцой», то « » означает, что Рамирес обязан заниматься бегом трусцой, а « » означает, что Рамирес имеет разрешение заниматься бегом трусцой. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle J(r)}$ ${\displaystyle OJ(r)}$ ${\displaystyle PJ(r)}$

Деонтическая логика тесно связана с алетической модальной логикой в ​​том, что аксиомы, управляющие логическим поведением их операторов, идентичны. Это означает, что обязанность и разрешение ведут себя в отношении действительного вывода так же, как необходимость и возможность. ^{[34] [14] [35] [27]} По этой причине иногда в качестве операторов используются даже одни и те же символы. ^[36] Так же, как и в алетической модальной логике, в философской логике идет дискуссия о том, какая система аксиом является правильной для выражения общих интуиций, управляющих деонтическими выводами. ^{[34] [14] [35]} Но аргументы и контрпримеры здесь немного отличаются, поскольку значения этих операторов различаются. Например, общая интуиция в этике заключается в том, что если агент обязан что-то сделать, то он автоматически также имеет разрешение сделать это. Это можно выразить формально с помощью схемы аксиом " " ${\displaystyle OA\to PA}$ . ^{[34] [14] [35]} Другой вопрос, представляющий интерес для философской логики, касается отношения между алетической модальной логикой и деонтической логикой. Часто обсуждаемый принцип в этом отношении заключается в том, что ought подразумевает can . Это означает, что агент может иметь обязательство сделать что-либо только в том случае, если для него это возможно. ^{[37] [38]} Формально выражается: " " ${\displaystyle OA\to \Diamond A}$ . ^[34]

Временной

Временная логика , или логика времени, использует логические механизмы для выражения временных отношений. ^{[39] [14] [35] [40]} В своей самой простой форме она содержит один оператор для выражения того, что что-то произошло в определенный момент времени, и другой для выражения того, что что-то происходит все время. Эти два оператора ведут себя так же, как операторы для возможности и необходимости в алетической модальной логике. Поскольку разница между прошлым и будущим имеет центральное значение для человеческих дел, эти операторы часто модифицируются, чтобы учесть эту разницу. Временная логика Артура Прайора , например, реализует эту идею с помощью четырех таких операторов: (было так, что...), (будет так, что...), (всегда так, что...) и (всегда так, что...). ^{[39] [14] [35] [40]} Таким образом, чтобы выразить, что в Лондоне всегда будет дождливо, можно использовать " " . Различные аксиомы используются для управления тем, какие выводы являются действительными в зависимости от операторов, появляющихся в них. По их мнению, например, можно вывести " " (в Лондоне в какой-то момент будет дождливо) из " " . В более сложных формах темпоральной логики определяются также бинарные операторы , связывающие два предложения, например, для выражения того, что что-то происходит до тех пор, пока не произойдет что-то еще. ^[39] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(Rainy(london))}$ ${\displaystyle F(Rainy(london))}$ ${\displaystyle G(Rainy(london))}$

Временную модальную логику можно перевести в классическую логику первого порядка, рассматривая время в форме единичного термина и увеличивая арность своих предикатов на единицу. ^[40] Например, предложение временной логики " " ${\displaystyle dark\land P(light)\land F(light)}$ (темно, было светло, и снова будет светло) можно перевести в чистую логику первого порядка как " " ${\displaystyle dark(t_{1})\land \exists t_{0}(t_{0}<t_{1}\land light(t_{0}))\land \exists t_{2}(t_{1}<t_{2}\land light(t_{2}))}$ . ^[41] Хотя подобные подходы часто встречаются в физике, логики обычно предпочитают автономную трактовку времени в терминах операторов. Это также ближе к естественным языкам, которые в основном используют грамматику, например, спрягая глаголы, чтобы выразить прошлое или будущее событий. ^[40]

Эпистемический

Эпистемическая логика — это форма модальной логики, применяемая в области эпистемологии . ^{[42] [43] [35] [9]} Она направлена ​​на то, чтобы охватить логику знания и веры . Модальные операторы, выражающие знание и веру, обычно выражаются с помощью символов " " ${\displaystyle K}$ и " " ${\displaystyle B}$ . Так, если " " ${\displaystyle W(s)}$ обозначает суждение "Сократ мудр", то " " ${\displaystyle KW(s)}$ выражает суждение "агент знает, что Сократ мудр", а " " ${\displaystyle BW(s)}$ выражает суждение "агент верит, что Сократ мудр". Затем формулируются аксиомы, управляющие этими операторами, для выражения различных эпистемических принципов. ^{[35] [42] [43]} Например, схема аксиом " " ${\displaystyle KA\to A}$ выражает, что всякий раз, когда что-то известно, то это истинно. Это отражает идею о том, что можно знать только то, что истинно, в противном случае это не знание, а другое ментальное состояние. ^{[35] [42] [43]} Другая эпистемическая интуиция о знании касается того факта, что когда агент знает что-то, он также знает, что он это знает. Это можно выразить схемой аксиом " " ${\displaystyle KA\to KKA}$ . ^{[35] [42] [43]} Дополнительный принцип, связывающий знание и убеждение, гласит, что знание подразумевает убеждение, т. е. " " ${\displaystyle KA\to BA}$ . Динамическая эпистемическая логика является особой формой эпистемической логики, которая фокусируется на ситуациях, в которых происходят изменения в убеждении и знании. ^[44]

Высшего порядка

Логики высшего порядка расширяют логику первого порядка, включая новые формы квантификации . ^{[12] [26] [45] [46]} В логике первого порядка квантификация ограничена единичными терминами. Она может использоваться для обсуждения того, имеет ли предикат расширение вообще или его расширение включает всю область. Таким образом, могут быть выражены такие предложения, как " " ${\displaystyle \exists x(Apple(x)\land Sweet(x))}$ ( есть некоторые яблоки, которые сладкие). В логиках высшего порядка квантификация допускается не только по отдельным терминам, но и по предикатам. Таким образом, можно выразить, например, разделяют ли некоторые люди некоторые или все свои предикаты, как в " " ${\displaystyle \exists Q(Q(mary)\land Q(john))}$ ( есть некоторые качества, которые разделяют Мэри и Джон). ^{[12] [26] [45] [46]} Из-за этих изменений логики высшего порядка имеют большую выразительную силу, чем логика первого порядка. Это может быть полезно для математики различными способами, поскольку различные математические теории имеют гораздо более простое выражение в логике высшего порядка, чем в логике первого порядка. ^[12] Например, арифметика Пеано и теория множеств Цермело-Френкеля требуют бесконечного числа аксиом для выражения в логике первого порядка. Но их можно выразить в логике второго порядка всего несколькими аксиомами. ^[12]

Но, несмотря на это преимущество, логика первого порядка по-прежнему используется гораздо шире, чем логика высшего порядка. Одной из причин этого является то, что логика высшего порядка неполна . ^[12] Это означает, что для теорий, сформулированных в логике высшего порядка, невозможно доказать каждое истинное предложение, относящееся к рассматриваемой теории. ^[4] Другой недостаток связан с дополнительными онтологическими обязательствами логик высшего порядка. Часто считается, что использование квантификатора существования влечет за собой онтологическое обязательство по отношению к сущностям, на которые распространяется этот квантификатор. ^{[9] [47] [48] [49]} В логике первого порядка это касается только индивидов, что обычно рассматривается как непроблематичное онтологическое обязательство. В логике высшего порядка квантификация касается также свойств и отношений. ^{[9] [26] [6]} Это часто интерпретируется как то, что логика высшего порядка несет с собой форму платонизма , т. е. точку зрения, что универсальные свойства и отношения существуют в дополнение к индивидам. ^{[12] [45]}

Девиантная логика

Интуитивистский

Интуиционистская логика является более ограниченной версией классической логики. ^{[18] [50] [14]} Она более ограничена в том смысле, что определенные правила вывода, используемые в классической логике, не составляют в ней действительных выводов. Это касается, в частности, закона исключенного третьего и исключения двойного отрицания . ^{[18] [50] [14]} Закон исключенного третьего гласит, что для каждого предложения либо оно само, либо его отрицание являются истинными. Выражаясь формально: . Закон исключения двойного отрицания гласит, что если предложение не является не истинным, то оно истинно, т. е. " " . ^{[18] [14]} Из-за этих ограничений многие доказательства усложняются, а некоторые доказательства, принятые в противном случае, становятся невозможными. ^[50] ${\displaystyle A\lor \lnot A}$ ${\displaystyle \lnot \lnot A\to A}$

Эти модификации классической логики мотивированы идеей о том, что истина зависит от проверки посредством доказательства . Это было истолковано в том смысле, что «истинный» означает «проверяемый». ^{[50] [14]} Первоначально он применялся только к области математики, но с тех пор использовался и в других областях. ^[18] В этой интерпретации закон исключенного третьего предполагает предположение, что каждая математическая задача имеет решение в форме доказательства. В этом смысле интуиционистское отклонение закона исключенного третьего мотивировано отказом от этого предположения. ^{[18] [14]} Эту позицию можно также выразить, заявив, что не существует неопытных или трансцендентных верификации истин. ^[50] В этом смысле интуиционистская логика мотивирована формой метафизического идеализма. Применительно к математике он утверждает, что математические объекты существуют только в той степени, в которой они сконструированы в уме. ^[50]

Бесплатно

Свободная логика отвергает некоторые из экзистенциальных предпосылок, обнаруженных в классической логике. ^{[51] [52] [53]} В классической логике каждый единичный термин должен обозначать объект в области квантификации. ^[51] Обычно это понимается как онтологическое обязательство существования названной сущности. Но в повседневном дискурсе используется много имен, которые не относятся к существующим сущностям, например, «Санта-Клаус» или «Пегас». Это грозит исключить такие области дискурса из строгой логической обработки. Свободная логика избегает этих проблем, допуская формулы с необозначающими единичными терминами. ^[52] Это относится как к собственным именам, так и к определенным описаниям и функциональным выражениям. ^{[51] [53]} Квантификаторы, с другой стороны, рассматриваются обычным образом как охватывающие область. Это позволяет выражениям типа « » ${\displaystyle \lnot \exists x(x=santa)}$ (Санта-Клауса не существует) быть истинными, даже если они внутренне противоречивы в классической логике. ^[51] Это также влечет за собой то, что некоторые допустимые формы вывода, найденные в классической логике, недопустимы в свободной логике. Например, из " " ${\displaystyle Beard(santa)}$ (Санта-Клаус имеет бороду) можно вывести, что " " ${\displaystyle \exists x(Beard(x))}$ (что-то имеет бороду) в классической логике, но не в свободной логике. ^[51] В свободной логике часто используется предикат существования, чтобы указать, обозначает ли единичный термин объект в области или нет. Но использование предикатов существования является спорным. Они часто противопоставляются, основываясь на идее, что существование требуется, если какие-либо предикаты должны применяться к объекту вообще. В этом смысле существование само по себе не может быть предикатом. ^{[9] [54] [55]}

Карел Ламберт , который ввел термин «свободная логика», предположил, что свободная логика может быть понята как обобщение классической логики предикатов, так же как логика предикатов является обобщением аристотелевской логики. С этой точки зрения классическая логика предикатов вводит предикаты с пустым расширением, в то время как свободная логика вводит сингулярные термины несуществующих вещей. ^[51]

Важная проблема для свободной логики состоит в том, как определить истинностное значение выражений, содержащих пустые сингулярные термины, т. е. сформулировать формальную семантику для свободной логики. ^[56] Формальная семантика классической логики может определить истинность своих выражений в терминах их денотата. Но этот вариант не может быть применен ко всем выражениям в свободной логике, поскольку не все из них имеют денотат. ^[56] Три общих подхода к этому вопросу часто обсуждаются в литературе: отрицательная семантика , положительная семантика и нейтральная семантика . ^[53] Отрицательная семантика утверждает, что все атомарные формулы, содержащие пустые термины, ложны. С этой точки зрения выражение " " ${\displaystyle Beard(santa)}$ является ложным. ^{[56] [53]} Положительная семантика допускает, что по крайней мере некоторые выражения с пустыми терминами являются истинными. Это обычно включает в себя утверждения идентичности, такие как " " ${\displaystyle santa=santa}$ . Некоторые версии вводят вторую, внешнюю область для несуществующих объектов, которая затем используется для определения соответствующих значений истинности. ^{[56] [53]} Нейтральная семантика , с другой стороны, утверждает, что атомарные формулы, содержащие пустые термины, не являются ни истинными, ни ложными. ^{[56] [53]} Это часто понимается как трехзначная логика , то есть для этих случаев вводится третье значение истинности, помимо истинного и ложного. ^[57]

Многозначный

Многозначные логики — это логики, которые допускают более двух значений истинности. ^{[58] [14] [59]} Они отвергают одно из основных предположений классической логики: принцип двузначности истины. Наиболее простыми версиями многозначных логик являются трехзначные логики: они содержат третье значение истинности. Например, в трехзначной логике Стивена Коула Клини это третье значение истинности «не определено». ^{[58] [59]} Согласно четырехзначной логике Нуэля Белнапа , существует четыре возможных значения истинности: «истина», «ложь», «ни истина, ни ложь» и «как истина, так и ложь». Это можно интерпретировать, например, как указание на имеющуюся информацию относительно того, получает ли государство: информацию, которую оно получает, информацию, которую оно не получает, никакой информации и противоречивую информацию. ^[58] Одной из самых крайних форм многозначной логики является нечеткая логика. Он позволяет истине возникать в любой степени между 0 и 1. ^{[60] [58] [14]} 0 соответствует полной ложности, 1 соответствует полной истинности, а значения между ними соответствуют истине в некоторой степени, например, как немного истинно или очень истинно. ^{[60] [58]} Он часто используется для работы с неопределенными выражениями в естественном языке. Например, утверждение, что «Петр молод», подходит лучше (т. е. является «более истинным»), если «Петр» относится к трехлетнему ребенку, чем если оно относится к 23-летнему. ^[60] Многозначные логики с конечным числом истинностных значений могут определять свои логические связки с помощью таблиц истинности, как и классическая логика. Разница в том, что эти таблицы истинности более сложны, поскольку необходимо учитывать больше возможных входов и выходов. ^{[58] [59]} В трехзначной логике Клини, например, входы «истина» и «не определено» для конъюнкционного оператора « » ${\displaystyle \land }$ приводят к выводу «не определено». С другой стороны, входные данные «ложь» и «неопределено» дают результат «ложь». ^{[61] [59]}

Параконсистентный

Паранепротиворечивые логики — это логические системы, которые могут справляться с противоречиями, не приводя к полному абсурду. ^{[62] [14] [63]} Они достигают этого, избегая принципа взрыва, обнаруженного в классической логике. Согласно принципу взрыва, из противоречия следует что угодно. Это происходит из-за двух правил вывода, которые действительны в классической логике: введение дизъюнкции и дизъюнктивный силлогизм . ^{[62] [14] [63]} Согласно введению дизъюнкции, любое предложение может быть введено в форме дизъюнкции, когда оно сопряжено с истинным предложением. ^[64] Таким образом, поскольку верно, что «солнце больше луны», можно сделать вывод, что «солнце больше луны или Испания контролируется космическими кроликами». Согласно дизъюнктивному силлогизму , можно сделать вывод, что один из этих дизъюнктов истинен, если другой ложен. ^[64] Так что если логическая система также содержит отрицание этого предложения, то есть, что «солнце не больше луны», то из этой системы можно вывести любое предложение, например, предложение, что «Испания контролируется космическими кроликами». Параконсистентная логика избегает этого, используя различные правила вывода, которые делают выводы в соответствии с принципом взрыва недействительными. ^{[62] [14] [63]}

Важной мотивацией для использования паранепротиворечивой логики является диалетеизм, т. е. убеждение, что противоречия не просто вводятся в теории из-за ошибок, но что сама реальность противоречива и противоречия внутри теорий необходимы для точного отражения реальности. ^{[63] [65] [62] [66]} Без паранепротиворечивой логики диалетеизм был бы безнадежен, поскольку все было бы и истинным, и ложным. ^[66] Паранепротиворечивая логика позволяет сохранять противоречия локальными, не разрушая всю систему. ^[14] Но даже с этой корректировкой диалетеизм все еще вызывает серьезные споры. ^{[63] [66]} Еще одной мотивацией для паранепротиворечивой логики является предоставление логики для дискуссий и групповых убеждений, где группа в целом может иметь противоречивые убеждения, если ее различные члены не согласны. ^[63]

Релевантность

Логика релевантности — один из типов паранепротиворечивой логики. Как таковая, она также избегает принципа взрыва, хотя это обычно не является главной мотивацией логики релевантности. Вместо этого она обычно формулируется с целью избежать определенных неинтуитивных применений материального условного предложения, встречающихся в классической логике. ^{[67] [14] [68]} Классическая логика определяет материальное условное предложение в чисто истинностно-функциональных терминах, то есть « » ${\displaystyle p\to q}$ ложно, если « » ${\displaystyle p}$ истинно и « » ${\displaystyle q}$ ложно, но в противном случае истинно в каждом случае. Согласно этому формальному определению, не имеет значения, являются ли « » ${\displaystyle p}$ и « » ${\displaystyle q}$ релевантными друг другу каким-либо образом. ^{[67] [14] [68]} Например, материальное условное предложение «если все лимоны красные, то внутри Сиднейского оперного театра песчаная буря» является истинным, даже если два предложения не релевантны друг другу.

Тот факт, что такое использование материальных условных предложений крайне неинтуитивно, также отражен в неформальной логике , которая классифицирует такие выводы как ошибки релевантности . Логика релевантности пытается избежать этих случаев, требуя, чтобы для истинного материального условного предложения его антецедент был релевантным для консеквента. ^{[67] [14] [68]} Трудность, с которой сталкивается этот вопрос, заключается в том, что релевантность обычно относится к содержанию предложений, в то время как логика имеет дело только с формальными аспектами. Эта проблема частично решается так называемым принципом разделения переменных . Он гласит, что антецедент и консеквент должны совместно использовать пропозициональную переменную. ^{[67] [68] [14]} Это имело бы место, например, в " ", ${\displaystyle (p\land q)\to q}$ но не в " " ${\displaystyle (p\land q)\to r}$ . Тесно связанная проблема логики релевантности заключается в том, что выводы должны следовать тому же требованию релевантности, т. е. что необходимым требованием действительных выводов является то, что их предпосылки релевантны их заключению. ^[67]

Ссылки

1. Жакетт, Дейл (2006). «Введение: Философия логики сегодня». Философия логики. Северная Голландия.
2. Берджесс, Джон П. (2009). «Предисловие». Философская логика. Принстон, Нью-Джерси, США: Princeton University Press.
3. Гобл, Лу (2001). «Введение». Руководство Блэквелла по философской логике. Wiley-Blackwell.
4. Яакко, Хинтикка; Санду, Габриэль (2006). «Что такое логика?». Философия логики. Северная Голландия. стр. 13–39.
5. Берджесс, Джон П. (2009). "1. Классическая логика". Философская логика. Принстон, Нью-Джерси, США: Princeton University Press.
6. Хаак, Сьюзен (1978). "1. «Философия логики»". Философия логики. Лондон и Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета.
7. Крейг, Эдвард (1996). «Философия логики». Энциклопедия философии Routledge. Routledge.
8. Хондерих, Тед (2005). «философская логика». Оксфордский компаньон философии. Издательство Оксфордского университета.
9. "Философия логики". www.britannica.com . Получено 21 ноября 2021 г. .
10. МакКеон, Мэтью. «Логическое следствие». Интернет-энциклопедия философии . Получено 20 ноября 2021 г.
11. Крейг, Эдвард (1996). «Формальная и неформальная логика». Энциклопедия философии Routledge. Routledge.
12. Оди, Роберт (1999). «Философия логики». Кембриджский философский словарь. Издательство Кембриджского университета.
13. Хаак, Сьюзен (1996). "1. 'Альтернатива' в 'Альтернативной логике'". Девиантная логика, нечеткая логика: за пределами формализма. Чикаго и Лондон: Издательство Чикагского университета.
14. Борхерт, Дональд (2006). «Логика, неклассическая». Энциклопедия философии Макмиллана, 2-е издание. Макмиллан.
15. Вольф, Роберт Г. (1978). «Являются ли соответствующие логики девиантными?». Philosophia . 7 (2): 327–340. doi :10.1007/BF02378819. S2CID  143697796.
16. Кук, Рой Т. (2009). «Расширение ₂ ». Словарь философской логики. Издательство Эдинбургского университета.
17. Кук, Рой Т. (2009). «Отклоняющаяся логика». Словарь философской логики. Издательство Эдинбургского университета.
18. Мошовакис, Джоан (2021). «Интуиционистская логика: 1. Отказ от Tertium Non Datur». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 11 декабря 2021 г.
19. Рассел, Джиллиан (2021). «Логический плюрализм». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 14 декабря 2021 г.
20. Хаак, Сьюзен (1979). «Нужна ли нам нечеткая логика?». Международный журнал исследований человека и машины . 11 (1): 437–45. doi :10.1016/S0020-7373(79)80036-X.
21. Шапиро, Стюарт; Коури Киссел, Тереза ​​(2021). «Классическая логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 4 декабря 2021 г.
22. Magnus, PD (2005). "1.4 Дедуктивная валидность". Forall X: Введение в формальную логику. Виктория, Британская Колумбия, Канада: Государственный университет Нью-Йорка Oer Services.
23. Кинг, Джеффри К. (2019). «Структурированные предложения». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 4 декабря 2021 г.
24. Майклсон, Элиот; Реймер, Марга (2019). «Ссылка». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 4 декабря 2021 г.
25. Magnus, PD (2005). "4. Квантифицированная логика". Forall X: Введение в формальную логику. Виктория, Британская Колумбия, Канада: State University of New York Oer Services.
26. Väänänen, Jouko (2021). «Логика второго и высшего порядка». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 23 ноября 2021 г.
27. Гарсон, Джеймс (2021). «Модальная логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 21 ноября 2021 г.
28. Benthem, Johan van. "Модальная логика: современный взгляд". Интернет-энциклопедия философии . Получено 4 декабря 2021 г.
29. "модальная логика". www.britannica.com . Получено 4 декабря 2021 г. .
30. Берджесс, Джон П. (2009). "3. Модальная логика". Философская логика. Принстон, Нью-Джерси, США: Princeton University Press.
31. Гомес-Торренте, Марио (2019). «Логическая истина». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 22 ноября 2021 г.
32. Менцель, Кристофер (2021). «Возможные миры». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 25 ноября 2021 г.
33. Parent, Ted. "Модальная метафизика". Интернет-энциклопедия философии . Получено 9 апреля 2021 г.
34. Макнамара, Пол; Ван Де Путте, Фредерик (2021). «Деонтическая логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 14 декабря 2021 г.
35. Борхерт, Дональд (2006). «Модальная логика». Энциклопедия философии Макмиллана, 2-е издание. Макмиллан.
36. ХЭНСОН, УИЛЬЯМ Х. (1965). «Семантика деонтической логики». Логика и анализ . 8 (31): 177–190. ISSN  0024-5836. JSTOR  44083686.
37. "Ought suggests you suggest can". Encyclopedia Britannica . Получено 8 сентября 2021 г.
38. Chituc, Владимир; Henne, Пол; Sinnott-Armstrong, Уолтер; Brigard, Фелипе Де (2016). «Вина, а не способность, влияет на моральные «должны» суждения о невозможных действиях: к эмпирическому опровержению того, что «должен» подразумевает «может»». Cognition . 150 : 20–25. doi :10.1016/j.cognition.2016.01.013. PMID  26848732. S2CID  32730640.
39. Goranko, Valentin; Rumberg, Antje (2021). «Временная логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 15 декабря 2021 г.
40. Берджесс, Джон П. (2009). "2. Временная логика". Философская логика. Принстон, Нью-Джерси, США: Princeton University Press.
41. Горанко, Валентин; Румберг, Антье (2021). «Временная логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 13 декабря 2021 г.
42. Рендсвиг, Расмус; Саймонс, Джон (2021). «Эпистемическая логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 14 декабря 2021 г.
43. "прикладная логика - Эпистемическая логика Britannica". www.britannica.com . Получено 14 декабря 2021 г. .
44. Балтаг, Александру; Ренне, Брайан (2016). «Динамическая эпистемическая логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 13 декабря 2021 г.
45. Кетланд, Джеффри (2005). «Логика второго порядка». Энциклопедия философии.
46. "исчисление предикатов". Словарь вычислительной техники.
47. Шаффер, Джонатан (2009). «На каких основаниях что». Метаметафизика: новые эссе об основах онтологии . Oxford University Press: 347–383 . Получено 23 ноября 2021 г.
48. Брикер, Филлип (2016). «Онтологическое обязательство». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 23 ноября 2021 г.
49. Куайн, Уиллард Ван Орман (1948). «О том, что есть». Обзор метафизики . 2 (5): 21–38.
50. Берджесс, Джон П. (2009). "6. Интуиционистская логика". Философская логика. Принстон, Нью-Джерси, США: Princeton University Press.
51. Нолт, Джон (2021). «Свободная логика: 1. Основы». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 11 декабря 2021 г.
52. Morscher, Edgar; Simons, Peter (2001). "Free Logic: A Fifty-Year Past and an Open Future". Новые эссе по Free Logic: In Honour of Karel Lambert. Springer Netherlands. стр. 1–34. doi :10.1007/978-94-015-9761-6_1. ISBN 978-94-015-9761-6.
53. Ламберт, Карел (2017). «Свободная логика». Руководство Блэквелла по философской логике. John Wiley & Sons, Ltd. стр. 258–279. doi :10.1002/9781405164801.ch12. ISBN 978-1-4051-6480-1.
54. Мольтманн, Фридерике (2020). «Предикаты существования». Синтезируйте . 197 (1): 311–335. doi : 10.1007/s11229-018-1847-z. S2CID  255065180.
55. Маскенс, Рейнхард (1993). «Предикат существования». Энциклопедия языка и лингвистики . Оксфорд: Пергам: 1191.
56. Нолт, Джон (2021). «Свободная логика: 3. Семантика». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 11 декабря 2021 г.
57. Рами, Дольф. «Нестандартная нейтральная свободная логика, пустые имена и отрицательные экзистенциалы» (PDF) .
58. Готвальд, Зигфрид (2020). «Многозначная логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 11 декабря 2021 г.
59. Малиновский, Гжегож (2006). «Многозначная логика». Компаньон философской логики. John Wiley & Sons, Ltd. стр. 545–561. doi :10.1002/9780470996751.ch35. ISBN 978-0-470-99675-1.
60. Cintula, Petr; Fermüller, Christian G.; Noguera, Carles (2021). "Fuzzy Logic". Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 11 декабря 2021 г.
61. Малиновский, Гжегож (2014). «ЛОГИКА КЛИНИ И ВЫВОД». Бюллетень Секции логики . 43 (1/2): 3–52.
62. Прист, Грэм; Танака, Кодзи; Вебер, Зак (2018). «Параконсистентная логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 14 декабря 2021 г.
63. Вебер, Зак. "Параконсистентная логика". Интернет-энциклопедия философии . Получено 12 декабря 2021 г.
64. Aloni, Maria (2016). «Дизъюнкция». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . Получено 14 декабря 2021 г.
65. Хаак, Сьюзен (1996). «Введение». Девиантная логика, нечеткая логика: за пределами формализма. Чикаго и Лондон: Издательство Чикагского университета.
66. Priest, Graham; Berto, Francesco; Weber, Zach (2018). «Диалетеизм». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 14 декабря 2021 г.
67. Mares, Edwin (2020). «Relevance Logic». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 14 декабря 2021 г.
68. Борхерт, Дональд (2006). «РЕЛЕВАНТНЫЕ (РЕЛЕВАНТНЫЕ) ЛОГИКИ». Энциклопедия философии Макмиллана, 2-е издание. Макмиллан.