Двойное отрицание

Теорема логики высказываний

В пропозициональной логике двойное отрицание утверждения утверждает, что «это не тот случай, когда утверждение не является истинным». В классической логике каждое утверждение логически эквивалентно своему двойному отрицанию, но это неверно в интуиционистской логике ; это можно выразить формулой A ≡ ~(~A), где знак ≡ выражает логическую эквивалентность, а знак ~ выражает отрицание .

Подобно закону исключенного третьего , этот принцип считается законом мышления в классической логике, ^[1] но он отвергается интуиционистской логикой . ^[2] Принцип был сформулирован как теорема пропозициональной логики Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {*4\cdot 13} .\ \ \vdash .\ p\ \equiv \ \thicksim (\thicksim p)}$^[3]

«Это принцип двойного отрицания, то есть предложение эквивалентно ложности своего отрицания».

Исключение и введение

Устранение двойного отрицания и введение двойного отрицания — два допустимых правила замены . Они представляют собой выводы о том, что если не не-A истинно, то A истинно, и его обратное , что если A истинно, то не не-A истинно, соответственно. Правило позволяет вводить или исключать отрицание из формального доказательства . Правило основано на эквивалентности, например, Ложь, что не идет дождь и Идет дождь.

Правило введения двойного отрицания :

П П ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \neg }$

и правило исключения двойного отрицания :

${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \neg }$П П ${\displaystyle \Rightarrow }$

Где « » — металогический символ , означающий «может быть заменен в доказательстве на». ${\displaystyle \Rightarrow }$

В логике, где есть оба правила, отрицание является инволюцией .

Формальная запись

Правило введения двойного отрицания можно записать в последовательной записи:

${\displaystyle P\vdash \neg \neg P}$

Правило исключения двойного отрицания можно записать так:

${\displaystyle \neg \neg P\vdash P}$

В форме правила :

${\displaystyle {\frac {P}{\neg \neg P}}}$

и

${\displaystyle {\frac {\neg \neg P}{P}}}$

или как тавтология (простое предложение исчисления высказываний):

${\displaystyle P\to \neg \neg P}$

и

${\displaystyle \neg \neg P\to P}$

Их можно объединить в одну двуусловную формулу:

${\displaystyle \neg \neg P\leftrightarrow P}$.

Поскольку биобусловленность является отношением эквивалентности , любой экземпля𠬬 A в правильно построенной формуле можно заменить на A , оставив неизменным истинностное значение правильно построенной формулы.

Двойное отрицание является теоремой классической логики , но не более слабых логик, таких как интуиционистская логика и минимальная логика . Введение двойного отрицания является теоремой как интуиционистской логики, так и минимальной логики, как и . ${\displaystyle \neg \neg \neg A\vdash \neg A}$

Из-за своего конструктивного характера, такое утверждение, как It's not the case that it's not raining, слабее, чем It's raining. Последнее требует доказательства дождя, тогда как первое требует лишь доказательства того, что дождь не будет противоречивым. Это различие также возникает в естественном языке в форме литоты .

Доказательства

В классической системе исчисления высказываний

В дедуктивных системах Гильберта для пропозициональной логики двойное отрицание не всегда принимается как аксиома (см. список систем Гильберта ), а скорее является теоремой. Мы описываем доказательство этой теоремы в системе трех аксиом, предложенных Яном Лукасевичем :

А1. ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

А2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

А3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

Мы используем доказанную здесь лемму , которую мы называем (L1), и используем следующую дополнительную лемму, доказанную здесь : ${\displaystyle p\to p}$

(Л2) ${\displaystyle p\to ((p\to q)\to q)}$

Сначала докажем . Для краткости обозначим через φ ₀ . Мы также многократно используем метод метатеоремы гипотетического силлогизма в качестве сокращения для нескольких шагов доказательства. ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$ ${\displaystyle q\to (r\to q)}$

(1)       (пример (A1)) ${\displaystyle \varphi _{0}}$

(2)       (пример (A3)) ${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\neg p\to \neg \varphi _{0})}$

(3)       (пример (A3)) ${\displaystyle (\neg p\to \neg \varphi _{0})\to (\varphi _{0}\to p)}$

(4)       (из (2) и (3) по метатеореме гипотетического силлогизма) ${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\varphi _{0}\to p)}$

(5)       (пример (A1)) ${\displaystyle \neg \neg p\to (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)}$

(6)       (из (4) и (5) по метатеореме гипотетического силлогизма) ${\displaystyle \neg \neg p\to (\varphi _{0}\to p)}$

(7)       (пример (L2)) ${\displaystyle \varphi _{0}\to ((\varphi _{0}\to p)\to p)}$

(8)       (из (1) и (7) по modus ponens) ${\displaystyle (\varphi _{0}\to p)\to p}$

(9)       (из (6) и (8) по метатеореме гипотетического силлогизма) ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

Теперь докажем . ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

(1)       (пример первой части теоремы, которую мы только что доказали) ${\displaystyle \neg \neg \neg p\to \neg p}$

(2)       (пример (A3)) ${\displaystyle (\neg \neg \neg p\to \neg p)\to (p\to \neg \neg p)}$

(3)       (из (1) и (2) по modus ponens) ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

И доказательство полное.

Смотрите также

• Отрицательный перевод Гёделя – Генцена

Ссылки

1. Гамильтон обсуждает Гегеля следующим образом: «В более поздних системах философии универсальность и необходимость аксиомы Разума, наряду с другими логическими законами, оспаривались и отвергались спекулянтами об абсолюте. [ О принципе двойного отрицания как еще одном законе Мысли , см. Fries, Logik , §41, стр. 190; Calker, Denkiehre odor Logic und Dialectik , §165, стр. 453; Beneke, Lehrbuch der Logic , §64, стр. 41.]» (Гамильтон 1860:68)
2. Буква ^o в формуле Клини *49 ^o указывает на то, что «демонстрация недействительна для обеих систем [классической системы и интуиционистской системы]», Kleene 1952:101.
3. PM 1952 перепечатка 2-го издания 1927 г., стр. 101–02, 117.

Библиография

• Уильям Гамильтон , 1860, Лекции по метафизике и логике, т. II. Логика; под редакцией Генри Мэнсела и Джона Вейча , Бостон, Гулд и Линкольн.
• Кристоф Сигварт , 1895, Логика: суждение, понятие и вывод; второе издание, перевод Хелен Денди , Macmillan & Co., Нью-Йорк.
• Стивен К. Клини , 1952, Введение в метаматематику , 6-е переиздание с исправлениями 1971 года, North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN  0-7204-2103-9 .
• Стивен К. Клини , 1967, Математическая логика , издание Дувра 2002, Dover Publications, Inc, Минеола, Нью-Йорк ISBN 0-486-42533-9 
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , Principia Mathematica до *56 , 2-е издание 1927 г., переиздание 1962 г., Cambridge at University Press.