Супер-алгебра Пуанкаре

Суперсимметричное обобщение алгебры Пуанкаре

В теоретической физике супералгебра Пуанкаре является расширением алгебры Пуанкаре для включения суперсимметрии , отношения между бозонами и фермионами . Они являются примерами алгебр суперсимметрии (без центральных зарядов или внутренних симметрий) и являются супералгебрами Ли . Таким образом, супералгебра Пуанкаре является Z2 _- градуированным векторным пространством с градуированной скобкой Ли, такой, что четная часть является алгеброй Ли, содержащей алгебру Пуанкаре, а нечетная часть построена из спиноров , на которых существует антикоммутационное отношение со значениями в четной части.

Неформальный набросок

Алгебра Пуанкаре описывает изометрии пространства-времени Минковского . Из теории представлений группы Лоренца известно, что группа Лоренца допускает два неэквивалентных комплексных спинорных представления, называемых и . ^{[nb 1]} Взяв их тензорное произведение , получаем ; такие разложения тензорных произведений представлений в прямые суммы даются правилом Литтлвуда–Ричардсона . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\overline {2}}}$ ${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1}$

Обычно такое разложение рассматривают как относящееся к конкретным частицам: так, например, пион , который является хиральной векторной частицей , состоит из пары кварк -антикварк. Однако его можно было бы также отождествить с самим пространством-временем Минковского. Это приводит к естественному вопросу: если пространство-время Минковского принадлежит присоединенному представлению , то можно ли распространить симметрию Пуанкаре на фундаментальное представление ? Что ж, можно: это как раз и есть супералгебра Пуанкаре. Возникает соответствующий экспериментальный вопрос: если мы живем в присоединенном представлении, то где скрывается фундаментальное представление? Это программа суперсимметрии , которая не была обнаружена экспериментально. ${\displaystyle 3\oplus 1}$

История

Супералгебра Пуанкаре была впервые предложена в контексте теоремы Хаага–Лопушаньского–Сониуса как способ избежать выводов теоремы Коулмана–Мандулы . То есть теорема Коулмана–Мандулы является теоремой no-go, которая утверждает, что алгебра Пуанкаре не может быть расширена дополнительными симметриями, которые могли бы описывать внутренние симметрии наблюдаемого спектра физических частиц. Однако теорема Коулмана–Мандулы предполагала, что расширение алгебры будет осуществляться с помощью коммутатора; этого предположения, а следовательно, и теоремы, можно избежать, рассмотрев антикоммутатор, то есть, используя антикоммутирующие числа Грассмана . Предложение состояло в том, чтобы рассмотреть алгебру суперсимметрии , определяемую как полупрямое произведение центрального расширения супералгебры Пуанкаре на компактную алгебру Ли внутренних симметрий.

Определение

Простейшее суперсимметричное расширение алгебры Пуанкаре содержит два спинора Вейля со следующим антикоммутационным соотношением:

${\displaystyle \{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}\}=2{\sigma ^{\mu }}_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }}$

и все другие антикоммутационные соотношения между Q s и P s исчезают. ^[1] Операторы известны как суперзаряды . В приведенном выше выражении являются генераторами трансляции и являются матрицами Паули . Индекс пробегает значения Точка используется над индексом, чтобы напомнить, что этот индекс преобразуется в соответствии с неэквивалентным представлением сопряженного спинора; никогда нельзя случайно сокращать эти два типа индексов. Матрицы Паули можно считать прямым проявлением правила Литтлвуда–Ричардсона, упомянутого ранее: они указывают, как тензорное произведение двух спиноров может быть повторно выражено в виде вектора. Индекс , конечно, пробегает по измерениям пространства-времени ${\displaystyle Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}}$ ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1,2.}$ ${\displaystyle {\dot {\beta }}}$ ${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =0,1,2,3.}$

Удобно работать со спинорами Дирака вместо спиноров Вейля; спинор Дирака можно рассматривать как элемент ; он имеет четыре компонента. Матрицы Дирака , таким образом, также четырехмерны и могут быть выражены как прямые суммы матриц Паули. Тогда тензорное произведение дает алгебраическую связь с метрикой Минковского , которая выражается как: ${\displaystyle 2\oplus {\overline {2}}}$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }}$

и

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]}$

Это дает полную алгебру ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[M^{\mu \nu },Q_{\alpha }\right]&={\frac {1}{2}}(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha }^{\;\;\beta }Q_{\beta }\\\left[Q_{\alpha },P^{\mu }\right]&=0\\\{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}\}&=2(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }\\\end{aligned}}}$

которые должны быть объединены с нормальной алгеброй Пуанкаре . Это замкнутая алгебра, поскольку все тождества Якоби выполняются и могут иметь с тех пор явные матричные представления. Следуя этой линии рассуждений, мы придем к супергравитации .

Расширенная суперсимметрия

Можно добавить больше суперзарядов. То есть, мы фиксируем число, которое по соглашению обозначается , и определяем суперзаряды с помощью ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I}}$ ${\displaystyle I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}.}$

Их можно рассматривать как множество копий исходных суперзарядов, и, следовательно, удовлетворять

${\displaystyle [M^{\mu \nu },Q_{\alpha }^{I}]=(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha }{}^{\beta }Q_{\beta }^{I}}$

${\displaystyle [P^{\mu },Q_{\alpha }^{I}]=0}$

и

${\displaystyle \{Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{J}\}=2\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }P_{\mu }\delta ^{IJ}}$

но также может удовлетворить

${\displaystyle \{Q_{\alpha }^{I},Q_{\beta }^{J}\}=\epsilon _{\alpha \beta }Z^{IJ}}$

и

${\displaystyle \{{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}^{J}\}=\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}Z^{\dagger IJ}}$

где центральный заряд . ${\displaystyle Z^{IJ}=-Z^{JI}}$

Супергруппа Пуанкаре и суперпространство

Так же, как алгебра Пуанкаре порождает группу Пуанкаре изометрий пространства Минковского, супералгебра Пуанкаре, пример супералгебры Ли, порождает то, что известно как супергруппа . Это можно использовать для определения суперпространства с суперзарядами: это правые смежные классы группы Лоренца внутри супергруппы Пуанкаре. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Так же, как интерпретация как генератор пространственно-временных трансляций, заряды , с , имеют интерпретацию как генераторы трансляций суперпространства в «спиновых координатах» суперпространства. То есть, мы можем рассматривать суперпространство как прямую сумму пространства Минковского со «спиновыми измерениями», обозначенными координатами . Суперзаряд генерирует трансляции в направлении, обозначенном координатой Подсчитывая, получаем спиновые измерения. ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle Q_{\alpha }^{I},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{I}}$ ${\displaystyle I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }^{I},{\bar {\theta }}^{I{\dot {\alpha }}}}$ ${\displaystyle Q_{\alpha }^{I}}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }^{I}.}$ ${\displaystyle 4{\mathcal {N}}}$

Обозначение для суперпространства

Суперпространство, состоящее из пространства Минковского с суперзарядами, поэтому обозначается или иногда просто . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3|4{\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}}$

SUSY в пространстве-времени Минковского 3+1

В пространстве-времени Минковского (3 + 1) теорема Хаага–Лопушанского–Сониуса утверждает, что алгебра SUSY с N спинорными генераторами выглядит следующим образом.

Четная часть звездной супералгебры Ли является прямой суммой алгебры Пуанкаре и редуктивной алгебры Ли B (такой, что ее самосопряженная часть является касательным пространством действительной компактной группы Ли ). Нечетная часть алгебры будет

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)\otimes V^{*}}$

где и являются конкретными представлениями алгебры Пуанкаре. (По сравнению с обозначениями, использованными ранее в статье, они соответствуют и , соответственно, также см. сноску, где было введено предыдущее обозначение). Оба компонента сопряжены друг другу при сопряжении *. V является N -мерным комплексным представлением B , а V ^* является его дуальным представлением . Скобка Ли для нечетной части задается симметричным эквивариантным спариванием {.,.} на нечетной части со значениями в четной части. В частности, ее приведенный переплет из в идеал алгебры Пуанкаре, порожденный трансляциями, задается как произведение ненулевого переплета из в (1/2,1/2) на «сжимающий переплет» из в тривиальное представление . С другой стороны, его редуцированный переплетчик из является произведением (антисимметричного) переплетчика из в (0,0) и антисимметричного переплетчика A из в B. Сопрягите его, чтобы получить соответствующий случай для другой половины. ${\displaystyle (1/2,0)}$ ${\displaystyle (0,1/2)}$ ${\displaystyle {\overline {2}}\oplus 1}$ ${\displaystyle 1\oplus 2}$ ${\displaystyle \left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]\otimes \left[\left(0,{\frac {1}{2}}\right)\otimes V^{*}\right]}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle \left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]\otimes \left[\left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\right]}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes \left({\frac {1}{2}},0\right)}$ ${\displaystyle N^{2}}$

Н= 1

Теперь B (так называемая R-симметрия), а V — одномерное представление с зарядом 1. A (переплетающий элемент, определенный выше) должен был бы быть равен нулю, поскольку он антисимметричен. ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

На самом деле существует две версии N=1 SUSY: одна без (т.е. B является нульмерным), а другая с . ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

Н= 2

B теперь и V является двумерным дублетным представлением с нулевым зарядом . Теперь, A является ненулевым интертвинером к части B. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

В качестве альтернативы V может быть двумерным дублетом с ненулевым зарядом. В этом случае A должен был бы быть равен нулю. ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$

Еще одна возможность — позволить B быть . V инвариантно относительно и и распадается на 1D rep с зарядом 1 и еще один 1D rep с зарядом -1. Сплетник A будет комплексным с действительной частью, отображающейся в , и мнимой частью, отображающейся в . ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{A}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{B}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{C}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{C}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{A}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{C}}$

Или мы могли бы иметь B , где V — дублетное представление с нулевыми зарядами, а A — сложный переплетающий элемент, действительная часть которого отображается в , а мнимая часть — в . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{A}\oplus {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{A}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(1)_{B}}$

Это даже не исчерпывает всех возможностей. Мы видим, что существует более одной суперсимметрии N  = 2; аналогично, SUSY для N  > 2 также не являются уникальными (на самом деле, это только ухудшает ситуацию).

Н= 3

Теоретически это допускается, но структура мультиплета автоматически становится такой же, как и в суперсимметричной теории N = 4. Поэтому она обсуждается реже по сравнению с версией N = 1,2,4. ^{[ необходима цитата ]}

Н= 4

Это максимальное число суперсимметрий в теории без гравитации.

Н= 8

Это максимальное число суперсимметрий в любой суперсимметричной теории. За пределами любой безмассовый супермультиплет содержит сектор со спиральностью такой, что . Такие теории на пространстве Минковского должны быть свободными (невзаимодействующими). ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\lambda |>2}$

SUSY в различных измерениях

В измерениях 0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1 , 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1 и 10 + 1 алгебра SUSY классифицируется положительным целым числом  N.

В измерениях 1 + 1, 5 + 1 и 9 + 1 алгебра SUSY классифицируется двумя неотрицательными целыми числами ( M ,  N ), по крайней мере одно из которых не равно нулю. M представляет собой число левосторонних SUSY, а N представляет собой число правосторонних SUSY.

Причина этого связана с условиями реальности спиноров .

Далее d  = 9 означает d  = 8 + 1 в сигнатуре Минковского и т. д. Структура алгебры суперсимметрии в основном определяется числом фермионных генераторов, то есть числом N, умноженным на действительную размерность спинора в d измерениях. Это связано с тем, что можно легко получить алгебру суперсимметрии более низкой размерности из алгебры более высокой размерности, используя размерную редукцию.

Верхняя граница размерности суперсимметричных теорий

Максимально допустимая размерность теорий с суперсимметрией составляет , что допускает уникальную теорию, называемую одиннадцатимерной супергравитацией , которая является низкоэнергетическим пределом М-теории . Это включает в себя супергравитацию: без супергравитации максимально допустимая размерность составляет . ^[3] ${\displaystyle d=11=10+1}$ ${\displaystyle d=10=9+1}$

г = 11

Единственным примером является суперсимметрия N  = 1 с 32 суперзарядами.

г = 10

Из d  = 11, N  = 1 SUSY получается N  = (1, 1) нехиральная SUSY-алгебра, которая также называется суперсимметрией типа IIA . Существует также N  = (2, 0) SUSY-алгебра, которая называется суперсимметрией типа IIB . Обе они имеют 32 суперзаряда.

N  = (1, 0) SUSY-алгебра с 16 суперзарядами является минимальной susy-алгеброй в 10 измерениях. Она также называется суперсимметрией типа I. Теория суперструн типа IIA / IIB / I имеет SUSY-алгебру с соответствующим названием. Алгебра суперсимметрии для гетеротических суперструн является алгеброй типа I.

Замечания

1. Представления с перемычкой являются сопряженными линейными, в то время как представления без перемычки являются комплексно-линейными. Цифра относится к размерности пространства представления . Другое более распространенное обозначение — писать ( 1 ⁄ 2 , 0) и (0, 1 ⁄ 2 ) соответственно для этих представлений. Общее неприводимое представление тогда имеет вид ( m , n ) , где m, n являются полуцелыми и физически соответствуют спиновому содержанию представления, которое варьируется от | m + n | до | m − n | с целыми шагами, каждый спин происходит ровно один раз.

Примечания

1. Эйчисон 2005
2. ван Ньювенхейзен 1981, с. 274
3. Тонг, Дэвид. «Суперсимметрия». www.damtp.cam.ac.uk . Получено 3 апреля 2023 г. .

Ссылки

• Эйтчисон, Ян Дж. Р. (2005). «Суперсимметрия и MSSM: элементарное введение». arXiv : hep-ph/0505105 .
• Гольфанд, Я. А .; Лихтман, Е. П. (1971). "Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение P-инвариантности". Письма в ЖЭТФ 13 : 323–326. Bibcode :1971JETPL..13..323G.
• ван Ньювенхейзен, П. (1981). «Супергравитация». Физ. Отчет 68 (4): 189–398. Бибкод : 1981PhR....68..189В. дои : 10.1016/0370-1573(81)90157-5.
• Волков, Д.В.; Акулов, В.П. (1972). "Возможное универсальное взаимодействие нейтрино". Письма в ЖЭТФ . 16 (11): 621 с.
• Волков, ДВ; Акулов, ВП (1973). «Является ли нейтрино частицей голдстоуна». Phys. Lett. B . 46 (1): 109–110. Bibcode :1973PhLB...46..109V. doi :10.1016/0370-2693(73)90490-5.
• Вайнберг, Стивен (2000). Суперсимметрия . Квантовая теория полей. Том 3 (1-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0521670555.
• Wess, J. ; Zumino, B. (1974). "Суперкалибровочные преобразования в четырех измерениях". Nuclear Physics B . 70 (1): 39–50. Bibcode :1974NuPhB..70...39W. doi :10.1016/0550-3213(74)90355-1.