stringtranslate.com

Неправильное вращение

В геометрии неправильное вращение [ 1] (также называемое вращением-отражением , [2] роторным отражением, [1] вращательным отражением , [3] или ротоинверсией [4] ) — это изометрия в евклидовом пространстве , которая является комбинацией вращения вокруг оси и отражения в плоскости, перпендикулярной этой оси. Отражение и инверсия являются частными случаями неправильного вращения. Любое неправильное вращение является аффинным преобразованием , а в случаях, когда начало координат остается фиксированным, линейным преобразованием . [5] Оно используется как операция симметрии в контексте геометрической симметрии , молекулярной симметрии и кристаллографии , где объект, который не изменяется при комбинации вращения и отражения, называется имеющим неправильную вращательную симметрию .

Три измерения

В 3 измерениях несобственное вращение эквивалентно определяется как комбинация вращения вокруг оси и инверсии в точке на оси. [1] По этой причине его также называют ротоинверсией или вращательной инверсией . Эти два определения эквивалентны, поскольку вращение на угол θ с последующим отражением является тем же преобразованием, что и вращение на θ + 180° с последующим инверсией (принимая точку инверсии в плоскость отражения). В обоих определениях операции коммутируют.

Трехмерная симметрия, имеющая только одну неподвижную точку , обязательно является неправильным вращением. [3]

Неправильное вращение объекта, таким образом, производит вращение его зеркального изображения . Ось называется осью вращения-отражения . [6] Это называется n -кратным неправильным вращением , если угол вращения до или после отражения равен 360°/ n (где n должно быть четным). [6] Существует несколько различных систем для обозначения отдельных неправильных вращений:

Подгруппы

Как косвенная изометрия

В более широком смысле несобственное вращение можно определить как любую косвенную изометрию ; т. е. элемент E (3)\E + (3): таким образом, оно может быть также чистым отражением в плоскости или иметь плоскость скольжения . Косвенная изометрия — это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, которая имеет определитель −1.

Собственное вращение — это обычное вращение. В более широком смысле собственное вращение определяется как прямая изометрия ; т. е. элемент E + (3): это может быть также тождество, вращение с переносом вдоль оси или чистый перенос. Прямая изометрия — это аффинное преобразование с ортогональной матрицей, которая имеет определитель 1.

В узком или широком смысле композиция двух неправильных вращений является правильным вращением, а композиция неправильного и правильного вращений является неправильным вращением.

Физические системы

При изучении симметрии физической системы при несобственном вращении (например, если система имеет плоскость зеркальной симметрии) важно различать векторы и псевдовекторы (а также скаляры и псевдоскаляры , и вообще тензоры и псевдотензоры ), поскольку последние по-разному преобразуются при собственных и несобственных вращениях (в 3-х измерениях псевдовекторы инвариантны относительно инверсии).

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc Morawiec, Adam (2004), Ориентации и вращения: вычисления в кристаллографических текстурах, Springer, стр. 7, ISBN 978-3-540-40734-8.
  2. ^ Мисслер, Гэри; Фишер, Пол; Тарр, Дональд (2014), Неорганическая химия (5-е изд.), Pearson, стр. 78
  3. ^ ab Kinsey, L. Christine ; Moore, Teresa E. (2002), Симметрия, форма и поверхности: введение в математику через геометрию, Springer, стр. 267, ISBN 978-1-930190-09-2.
  4. ^ Кляйн, Филпоттс (2013). Earth Materials . Cambridge University Press. С. 89–90. ISBN 978-0-521-14521-3.
  5. ^ Саломон, Дэвид (1999), Компьютерная графика и геометрическое моделирование, Springer, стр. 84, ISBN 978-0-387-98682-1.
  6. ^ abc Bishop, David M. (1993), Теория групп и химия, Courier Dover Publications, стр. 13, ISBN 978-0-486-67355-4.