В геометрии точечное отражение (также называемое точечной инверсией или центральной инверсией ) — это преобразование аффинного пространства , при котором каждая точка отражается относительно определенной фиксированной точки . При рассмотрении кристаллических структур и в физических науках чаще используются термины инверсионная симметрия, инверсионный центр или центросимметричный .
Точечное отражение — это инволюция : применение его дважды — это тождественное преобразование . Оно эквивалентно гомотетическому преобразованию с масштабным коэффициентом −1 . Точка инверсии также называется гомотетическим центром .
Говорят, что объект, инвариантный относительно точечного отражения, обладает точечной симметрией ; если он инвариантен относительно точечного отражения относительно своего центра , говорят, что он обладает центральной симметрией или является центрально-симметричным . Точечная группа , включающая точечное отражение среди своих симметрий, называется центросимметричной .
В евклидовом пространстве точечное отражение является изометрией (сохраняет расстояние ). [1] В евклидовой плоскости точечное отражение равносильно повороту на пол-оборота (180° или π радиан ); точечное отражение через центроид объекта равносильно повороту на пол-оборота .
Термин отражение нестрогий и некоторые считают его злоупотреблением языком, предпочитая инверсию ; однако широко используется точечное отражение . Такие отображения являются инволюциями , что означает, что они имеют порядок 2 — они являются своими собственными обратными: применение их дважды дает тождественное отображение — что также верно для других отображений, называемых отражениями . Более узко, отражение относится к отражению в гиперплоскости ( размерное аффинное подпространство — точка на прямой , прямая в плоскости , плоскость в 3-пространстве), при этом гиперплоскость фиксирована, но более широко отражение применяется к любой инволюции евклидова пространства, а фиксированное множество (аффинное пространство размерности k , где ) называется зеркалом . В размерности 1 они совпадают, так как точка является гиперплоскостью на прямой.
В терминах линейной алгебры, предполагая, что начало координат фиксировано, инволюции — это в точности диагонализуемые отображения со всеми собственными значениями либо 1, либо −1. Отражение в гиперплоскости имеет единственное собственное значение −1 (и кратность собственного значения 1), тогда как точечное отражение имеет только собственное значение −1 (с кратностью n ).
Термин инверсия не следует путать с инверсионной геометрией , где инверсия определяется относительно окружности.
В двух измерениях точечное отражение равносильно повороту на 180 градусов. В трех измерениях точечное отражение можно описать как поворот на 180 градусов, составленный с отражением поперек плоскости вращения, перпендикулярной оси вращения. В измерении n точечные отражения сохраняют ориентацию, если n четное, и меняют ориентацию, если n нечетное.
Для заданного вектора a в евклидовом пространстве R n формула отражения a относительно точки p имеет вид
В случае, когда p является началом координат, отражение точки является просто отрицанием вектора a .
В евклидовой геометрии инверсия точки X относительно точки P — это точка X * такая, что P является серединой отрезка с концами X и X *. Другими словами, вектор из X в P такой же, как вектор из P в X *.
Формула для инверсии в P имеет вид
где p , x и x * — векторы положений P , X и X * соответственно.
Это отображение является изометрическим инволютивным аффинным преобразованием , которое имеет ровно одну неподвижную точку , которая есть P.
Когда точка инверсии P совпадает с началом координат, отражение точки эквивалентно частному случаю равномерного масштабирования : равномерному масштабированию с масштабным коэффициентом, равным −1. Это пример линейного преобразования .
Когда P не совпадает с началом координат, отражение точки эквивалентно частному случаю гомотетического преобразования : гомотетии с гомотетическим центром, совпадающим с P, и масштабным коэффициентом −1. (Это пример нелинейного аффинного преобразования .)
Композиция двух точечных отражений представляет собой перенос . [2] В частности, точечное отражение в точке p , за которым следует точечное отражение в точке q, представляет собой перенос на вектор 2( q − p ).
Множество, состоящее из всех точечных отражений и переносов, является подгруппой Ли евклидовой группы . Это полупрямое произведение R n с циклической группой порядка 2, которая действует на R n отрицанием . Именно подгруппа евклидовой группы фиксирует прямую на бесконечности поточечно.
В случае n = 1 группа отражения точки является полной группой изометрий прямой.
Если задана точка и ее отражение относительно точки , то последняя является серединой отрезка ;
Следовательно, уравнения для нахождения координат отраженной точки имеют вид
Частным является случай, когда точка C имеет координаты (см. абзац ниже)
В четномерном евклидовом пространстве , скажем, 2 N -мерном пространстве, инверсия в точке P эквивалентна N поворотам на углы π в каждой плоскости произвольного набора из N взаимно ортогональных плоскостей, пересекающихся в точке P. Эти повороты взаимно коммутативны. Поэтому инверсия в точке в четномерном пространстве является изометрией, сохраняющей ориентацию, или прямой изометрией .
В нечетномерном евклидовом пространстве , скажем, ( 2N + 1)-мерном пространстве, это эквивалентно N поворотам на π в каждой плоскости произвольного набора из N взаимно ортогональных плоскостей, пересекающихся в точке P , в сочетании с отражением в 2N -мерном подпространстве, охватываемом этими плоскостями поворота. Следовательно, это изменяет ориентацию , а не сохраняет ее , это косвенная изометрия .
Геометрически в 3D это равносильно повороту вокруг оси, проходящей через P , на угол 180° в сочетании с отражением в плоскости, проходящей через P , которая перпендикулярна оси; результат не зависит от ориентации (в другом смысле) оси. Обозначения для типа операции или типа группы, которую она генерирует, следующие: , C i , S 2 и 1×. Тип группы — один из трех типов групп симметрии в 3D без какой-либо чистой вращательной симметрии , см. циклические симметрии с n = 1.
Следующие точечные группы в трех измерениях содержат инверсию:
С инверсией относительно точки тесно связано отражение относительно плоскости , которое можно рассматривать как «инверсию относительно плоскости».
Молекулы содержат центр инверсии, когда существует точка, через которую все атомы могут отражать, сохраняя симметрию. В кристаллографии наличие центров инверсии различает центросимметричные и нецентросимметричные соединения. Кристаллические структуры состоят из различных многогранников, классифицируемых по их координационному числу и углам связи. Например, четырехкоординатные многогранники классифицируются как тетраэдры , в то время как пятикоординатные окружения могут быть квадратными пирамидальными или тригональными бипирамидальными в зависимости от углов связи. Все кристаллические соединения происходят из повторения атомного строительного блока, известного как элементарная ячейка, и эти элементарные ячейки определяют, какие многогранники образуются и в каком порядке. Эти многогранники связаны друг с другом посредством общих углов, ребер или граней, в зависимости от того, какие атомы имеют общие связи. Многогранники, содержащие центры инверсии, известны как центросимметричные, в то время как те, у которых их нет, являются нецентросимметричными. Шестикоординатные октаэдры являются примером центросимметричных многогранников, поскольку центральный атом действует как центр инверсии, через который шесть связанных атомов сохраняют симметрию. Тетраэдры, с другой стороны, нецентросимметричны, поскольку инверсия через центральный атом приведет к перевороту многогранника. Многогранники с нечетным (по сравнению с четным) координационным числом нецентросимметричны.
Реальные многогранники в кристаллах часто не обладают однородностью, ожидаемой в их геометрии связей. Обычные нерегулярности, обнаруженные в кристаллографии, включают искажения и беспорядок. Искажение включает в себя искривление многогранников из-за неравномерной длины связей, часто из-за различного электростатического притяжения между гетероатомами. Например, титановый центр, скорее всего, будет равномерно связан с шестью атомами кислорода в октаэдре, но искажение произойдет, если один из атомов кислорода будет заменен более электроотрицательным фтором. Искажения не изменят внутреннюю геометрию многогранников — искаженный октаэдр по-прежнему классифицируется как октаэдр, но достаточно сильные искажения могут оказать влияние на центросимметрию соединения. Беспорядок включает в себя раздельное заполнение двух или более позиций, в которых атом будет занимать одну кристаллографическую позицию в определенном проценте многогранников, а другую — в оставшихся позициях. Беспорядок может также влиять на центросимметрию некоторых многогранников в зависимости от того, разделена ли занятая область по уже имеющемуся центру инверсии.
Центросимметрия применима к кристаллической структуре в целом, а не только к отдельным многогранникам. Кристаллы классифицируются на тридцать две кристаллографические точечные группы , которые описывают, как различные многогранники располагаются в пространстве в объемной структуре. Из этих тридцати двух точечных групп одиннадцать являются центросимметричными. Наличие нецентросимметричных многогранников не гарантирует, что точечная группа будет одинаковой — две нецентросимметричные формы могут быть ориентированы в пространстве таким образом, что между ними будет центр инверсии. Два тетраэдра, обращенные друг к другу, могут иметь центр инверсии в середине, поскольку ориентация позволяет каждому атому иметь отраженную пару. Обратное также верно, поскольку несколько центросимметричных многогранников могут быть организованы так, чтобы образовать нецентросимметричную точечную группу.
Нецентросимметричные изолирующие соединения являются пьезоэлектрическими и могут быть полезны для применения в нелинейной оптике . Отсутствие симметрии через центры инверсии может позволить областям кристалла по-разному взаимодействовать с входящим светом. Длина волны, частота и интенсивность света могут изменяться, поскольку электромагнитное излучение взаимодействует с различными энергетическими состояниями по всей структуре. Титанилфосфат калия , KTiOPO 4 (KTP). кристаллизуется в нецентросимметричной орторомбической пространственной группе Pna21 и является полезным нелинейным кристаллом. KTP используется для удвоения частоты неодимовых лазеров , легированных с помощью нелинейного оптического свойства, известного как генерация второй гармоники . Приложения для нелинейных материалов все еще исследуются, но эти свойства вытекают из наличия (или отсутствия) центра инверсии.
Инверсия относительно начала координат соответствует аддитивной инверсии вектора положения, а также скалярному умножению на −1. Операция коммутирует с любым другим линейным преобразованием , но не с переносом : она находится в центре общей линейной группы . «Инверсия» без указания «в точке», «на линии» или «на плоскости» означает эту инверсию; в физике трехмерное отражение через начало координат также называется преобразованием четности .
В математике отражение относительно начала координат относится к точечному отражению евклидова пространства R n относительно начала декартовой системы координат . Отражение относительно начала координат является ортогональным преобразованием, соответствующим скалярному умножению на , и может быть также записано как , где — единичная матрица . В трех измерениях это посылает , и так далее.
Как скалярная матрица , она представлена в каждом базисе матрицей с на диагонали и вместе с единицей является центром ортогональной группы .
Это произведение n ортогональных отражений (отражений относительно осей любого ортогонального базиса ); обратите внимание, что ортогональные отражения коммутируют.
В 2-х измерениях это фактически поворот на 180 градусов, а в измерении это поворот на 180 градусов в n ортогональных плоскостях; [a] еще раз отметим, что повороты в ортогональных плоскостях коммутируют.
Он имеет определитель (из представления матрицей или как произведение отражений). Таким образом, он сохраняет ориентацию в четном измерении, таким образом, является элементом специальной ортогональной группы SO(2 n ), и он меняет ориентацию в нечетном измерении, таким образом, не является элементом SO(2 n + 1) и вместо этого обеспечивает разбиение отображения , показывая, что это внутреннее прямое произведение .
Аналогично, это самый длинный элемент ортогональной группы относительно порождающего набора отражений: все элементы ортогональной группы имеют длину не более n относительно порождающего набора отражений, [b] а отражение относительно начала координат имеет длину n, хотя оно не уникально в этом: другие максимальные комбинации вращений (и, возможно, отражений) также имеют максимальную длину.
В SO(2 r ) отражение относительно начала координат является самой дальней точкой от тождественного элемента относительно обычной метрики. В O(2 r + 1) отражение относительно начала координат не находится в SO(2 r +1) (оно находится в нетождественном компоненте), и нет естественного смысла, в котором оно является «более дальней точкой», чем любая другая точка в нетождественном компоненте, но оно обеспечивает базовую точку в другом компоненте.
Его не следует путать с элементом в группе спина . Это особенно запутанно для четных групп спина, как , и таким образом в есть и 2 подъема .
Отражение посредством тождества распространяется на автоморфизм алгебры Клиффорда , называемый основной инволюцией или инволюцией градуировки.
Отражение через тождество поднимается до псевдоскаляра .
