Рамка центра импульса

Уникальная инерциальная система отсчета, в которой полный импульс физической системы исчезает.

В физике система с центром импульса ( COM-система ), также известная как система с нулевым импульсом , представляет собой инерциальную систему отсчета , в которой полный импульс системы исчезает. Оно уникально с точностью до скорости, но не с точностью до начала координат.

Центр импульса системы — это не какое-то местоположение, а совокупность относительных импульсов/скоростей: система отсчета. Таким образом, «центр импульса» — это сокращение от « рамка центра импульса ». ^[1]

Особым случаем системы с центром импульса является система с центром масс : инерциальная система отсчета, в которой центр масс (который представляет собой одну точку) остается в начале координат. Во всех системах отсчёта центра импульса центр масс покоится , но он не обязательно находится в начале системы координат.

В специальной теории относительности кадр COM обязательно уникален только тогда, когда система изолирована.

Характеристики

Общий

Центр системы импульса определяется как инерциальная система отсчета, в которой сумма линейных импульсов всех частиц равна 0. Пусть S обозначает лабораторную систему отсчета, а S ′ обозначает систему отсчета центра импульса. Используя преобразование Галилея , скорость частицы в S ′ равна

${\displaystyle v'=v-V_{c},}$

где

${\displaystyle V_{c}={\frac {\sum _{i}m_{i}v_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}}$

- скорость центра масс. Тогда полный импульс в системе центра импульса обращается в нуль:

${\displaystyle \sum _{i}p'_{i}=\sum _{i}m_{i}v'_{i}=\sum _{i}m_{i}(v_{i}-V_{c})=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{i}m_{i}{\frac {\sum _{j}m_{j}v_{j}}{\sum _{j}m_{j}}}=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{j}m_{j}v_{j}=0.}$

Кроме того, полная энергия системы — это минимальная энергия , наблюдаемая из всех инерциальных систем отсчета .

Специальная теория относительности

В теории относительности система COM существует для изолированной массивной системы. Это следствие теоремы Нётер . В системе COM полная энергия системы — это энергия покоя , и эта величина (при делении на коэффициент c2 ^, где c — скорость света ) дает массу покоя ( инвариантную массу ) системы:

${\displaystyle m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}.}$

Инвариантная масса системы задается в любой инерциальной системе релятивистским инвариантным соотношением

${\displaystyle m_{0}{}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2},}$

но при нулевом импульсе член импульса ( p / c ) ² исчезает, и, таким образом, полная энергия совпадает с энергией покоя.

Системы, которые имеют ненулевую энергию, но нулевую массу покоя (например, фотоны, движущиеся в одном направлении, или, что то же самое, плоские электромагнитные волны ), не имеют кадров COM, потому что не существует системы отсчета, в которой они имели бы нулевой суммарный импульс. Из-за неизменности скорости света безмассовая система должна двигаться со скоростью света в любой системе отсчета и всегда обладает чистым импульсом. Его энергия для каждой системы отсчета равна величине импульса, умноженной на скорость света:

${\displaystyle E=pc.}$

Задача двух тел

Ниже приведен пример использования этой системы координат – при столкновении двух тел, не обязательно упругом (при котором кинетическая энергия сохраняется). Кадр COM можно использовать для определения импульса частиц гораздо проще, чем в лабораторном кадре : кадре, в котором выполняются измерения или расчеты. Ситуация анализируется с использованием преобразований Галилея и сохранения импульса (для общности, а не только кинетических энергий) для двух частиц масс m ₁ и m ₂ , движущихся с начальными скоростями (до столкновения) u ₁ и u ₂ соответственно. Преобразования применяются для перевода скорости системы координат из скорости каждой частицы из лабораторной системы координат (нештрихованные величины) в COM-кадр (штриховые величины): ^[1]

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}^{\prime }=\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\quad \mathbf {u} _{2}^{\prime }=\mathbf {u} _{2}-\mathbf {V} }$

где V — скорость COM-кадра. Поскольку V – скорость ЦМ, т.е. производная по времени от местоположения ЦМ R (положения центра масс системы): ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

поэтому в начале кадра COM R' = 0 это подразумевает

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

Те же результаты можно получить, применив сохранение импульса в лабораторной системе отсчета, где импульсы равны p ₁ и p ₂ :

${\displaystyle \mathbf {V} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

и в системе COM, где окончательно утверждается, что полные импульсы частиц p ₁ ' и p ₂ ' равны нулю:

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }+\mathbf {p} _{2}^{\prime }=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

Использование уравнения кадра COM для решения V возвращает уравнение лабораторного кадра, приведенное выше, демонстрируя, что любой кадр (включая кадр COM) может использоваться для расчета импульсов частиц. Установлено, что скорость COM-кадра можно исключить из расчета по указанному выше кадру, поэтому импульсы частиц в COM-кадре можно выразить через величины в лабораторном кадре (т.е. заданные начальные значения ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} _{1}^{\prime }&=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }\\&=m_{1}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} \right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}\right)\\&=-m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }\\\end{aligned}}}$

обратите внимание, что относительная скорость в лабораторной системе отсчета частиц от 1 до 2 равна

${\displaystyle \Delta \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}}$

а приведенная масса двух тел равна

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

поэтому импульсы частиц компактно уменьшаются до

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {u} }$

Это существенно более простой расчет импульсов обеих частиц; приведенную массу и относительную скорость можно рассчитать на основе начальных скоростей в лабораторной системе координат и масс, а импульс одной частицы просто является отрицательным по отношению к другой. Расчет можно повторить для конечных скоростей v ₁ и v ₂ вместо начальных скоростей u ₁ и u ₂ , поскольку после столкновения скорости все еще удовлетворяют приведенным выше уравнениям: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

поэтому в начале кадра COM R = 0 это означает, что после столкновения

${\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {v} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

В лабораторных условиях закон сохранения импульса полностью выглядит следующим образом:

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} }$

Это уравнение не означает, что

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}=m_{1}\mathbf {V} ,\quad m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{2}\mathbf {V} }$

вместо этого он просто указывает, что полная масса M , умноженная на скорость центра масс V , равна полному импульсу P системы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\\&=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} \\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}}$

Анализ, аналогичный приведенному выше, дает

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u} }$

где конечная относительная скорость частиц от 1 до 2 в лабораторной системе координат равна

${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .}$

Смотрите также

• Лабораторная система координат
• Брейт кадр

Рекомендации

1. Динамика и относительность, Дж. Р. Форшоу, А. Г. Смит, Уайли, 2009, ISBN  978-0-470-01460-8
2. Классическая механика, TWB Kibble, Европейская серия по физике, 1973, ISBN 0-07-084018-0 
3. Введение в механику , Д. Клеппнер, Р. Дж. Коленков, издательство Кембриджского университета, 2010, ISBN 978-0-521-19821-9