Системы счисления прошли путь от использования пальцев и меток , возможно, более 40 000 лет назад, до использования наборов глифов, способных эффективно представлять любое мыслимое число. Самые ранние известные однозначные обозначения чисел появились в Месопотамии около 5000 или 6000 лет назад.
Счет изначально осуществляется с помощью пальцев, [1] учитывая, что подсчет цифр распространен в системах счисления, которые появляются сегодня, как и использование рук для выражения чисел пять и десять. [2] Кроме того, большинство мировых систем счисления организованы по десяткам, пятеркам и двадцаткам, что предполагает использование рук и ног при счете, и в кросс-лингвистическом плане термины для этих количеств этимологически основаны на руках и ногах. [3] [4] Наконец, существуют неврологические связи между частями мозга, которые оценивают количество, и частью, которая «знает» пальцы (пальцевая гнозия), и это предполагает, что люди неврологически предрасположены использовать свои руки при счете. [5] [6] Хотя подсчет пальцев обычно не является археологическим достоянием, некоторые доисторические трафареты рук были интерпретированы как подсчет пальцев, поскольку из 32 возможных узоров, которые могут воспроизводить пальцы, только пять (те, которые обычно используются при счете от одного до пяти) были найдены в пещере Коске, Франция. [7]
Поскольку емкость и устойчивость пальцев ограничены, подсчет пальцев обычно дополняется с помощью устройств с большей емкостью и устойчивостью, включая бирки, сделанные из дерева или других материалов. [8] Возможные метки подсчета , сделанные путем вырезания зазубрин в дереве, кости и камне, появляются в археологических записях по крайней мере сорок тысяч лет назад. [9] [10] Эти метки подсчета могли использоваться для подсчета времени, например, количества дней или лунных циклов , или для ведения учета количеств, например, количества животных или других ценных товаров . Однако в настоящее время не существует диагностического метода, который мог бы надежно определить социальное назначение или использование доисторических линейных меток, нанесенных на поверхности, и современные этнографические примеры показывают, что подобные артефакты изготавливаются и используются для нечисловых целей. [11]
Кость Лебомбо — это малая берцовая кость бабуина с насечками, обнаруженная в горах Лебомбо, расположенных между Южной Африкой и Эсватини . Кость датируется 42 000 лет назад. [12] Согласно «Универсальной книге математики» : стр. 184, 29 насечек на кости Лебомбо предполагают, что «она могла использоваться как счетчик фаз Луны, и в этом случае африканские женщины могли быть первыми математиками, поскольку для отслеживания менструальных циклов требуется лунный календарь ». Однако кость явно сломана с одного конца, поэтому 29 насечек могут представлять собой лишь часть более крупной последовательности. [12] Похожие артефакты из современных обществ, например, из Австралии, также предполагают, что такие насечки могут выполнять мнемонические или условные функции, а не обозначать числа. [11]
Кость Ишанго — это артефакт с острым куском кварца , прикрепленным к одному концу, возможно, для гравировки. Он был датирован 25 000 лет назад. [13] Сначала артефакт считался счетной палкой , так как на нем был ряд того, что было интерпретировано как счетные метки, вырезанные в три ряда по всей длине инструмента. Первый ряд был интерпретирован как простые числа от 10 до 20 (то есть 19, 17, 13 и 11), в то время как второй ряд, по-видимому, добавляет и вычитает 1 из 10 и 20 (то есть 9, 19, 21 и 11); третий ряд содержит суммы, которые могут быть половинными и двойными, хотя это непоследовательно. [14] Отмечая статистическую вероятность получения таких чисел случайно, исследователи, такие как Жан де Хайнзелин, предположили, что группировки выемок указывают на математическое понимание, далеко выходящее за рамки простого счета. Также было высказано предположение, что отметки могли быть сделаны с утилитарной целью, например, для создания лучшего захвата ручки, или по какой-то другой нематематической причине. Цель и значение зазубрин продолжают обсуждаться в академической литературе. [15]
Самая ранняя известная письменность для ведения записей возникла из системы учета, которая использовала небольшие глиняные жетоны. Самые ранние артефакты, которые, как утверждается, являются жетонами, находятся в Телль-Абу-Хурейре , месте в долине Верхнего Евфрата в Сирии, датируемом 10-м тысячелетием до н. э. [16] и Гандж-и-Даре-Тепе , месте в регионе Загрос в Иране, датируемом 9-м тысячелетием до н. э. [17]
Для создания записи, которая представляла «двух овец», использовались два жетона, каждый из которых представлял одну единицу. Различные типы объектов также подсчитывались по-разному. В системе счета, используемой для большинства дискретных объектов (включая животных, таких как овцы), был жетон для одного предмета (единицы), другой жетон для десяти предметов (десятки), другой жетон для шести десятков (шестидесятки) и т. д. Жетоны разных размеров и форм использовались для записи более высоких групп из десяти или шести в шестидесятеричной системе счисления. Различные комбинации форм и размеров жетонов кодировали различные системы счета. [18] Археолог Дениз Шмандт-Бессера утверждала, что простые геометрические жетоны, используемые для чисел, сопровождались сложными жетонами, которые идентифицировали перечисляемые товары. Для копытных, таких как овцы, этот сложный жетон представлял собой плоский диск, отмеченный четвертью круга. Однако предполагаемое использование сложных жетонов также подвергалось критике по ряду причин. [19]
Чтобы гарантировать, что жетоны не будут утеряны или изменены по типу или количеству, их помещали в глиняные конверты в форме полых шариков, известных как буллы ( булла ). Печати владельца и свидетельства отпечатывались на поверхностях булл, которые также могли оставаться простыми. Если жетоны требовалось проверить после того, как булла, содержащая их, была запечатана, буллу приходилось вскрывать. Примерно в середине четвертого тысячелетия до н. э. жетоны начали вдавливать во внешнюю поверхность буллы перед тем, как запечатывать внутри, предположительно, чтобы избежать необходимости вскрывать буллу, чтобы их увидеть. Этот процесс создавал внешние отпечатки на поверхностях булл, которые соответствовали вложенным жетонам по своим размерам, форме и количеству. В конце концов, избыточность, создаваемая жетонами внутри и оттисками снаружи буллы, по-видимому, была признана, и оттиски на плоских табличках стали предпочтительным методом записи числовой информации. Соответствия между отпечатками и знаками, а также хронология форм, которые они составляли, были первоначально замечены и опубликованы такими учеными, как Пьер Амье. [20] [21] [22] [23]
К тому времени, когда числовые впечатления дали представление о древних числах, шумеры уже разработали сложную арифметику . [24] Вычисления, вероятно, выполнялись либо с помощью жетонов, либо с помощью счетов или счетной доски . [25] [26]
В середине-конце четвертого тысячелетия до н. э. числовые оттиски, используемые с буллами, были заменены числовыми табличками с протоклинописными цифрами, отпечатанными в глине с помощью круглого стилуса, удерживаемого под разными углами, чтобы получить различные формы, используемые для числовых знаков. [27] Как и в случае с жетонами и числовыми оттисками на внешней стороне булл, каждый числовой знак представлял как подсчитываемый товар, так и количество или объем этого товара. Эти цифры вскоре стали сопровождаться небольшими картинками, которые идентифицировали подсчитываемый товар. Шумеры по-разному считали различные типы объектов. Как стало понятно из анализа ранних протоклинописных обозначений из города Урук , существовало более дюжины различных систем счета, [18] включая общую систему для подсчета большинства дискретных объектов (таких как животные, инструменты и люди) и специализированные системы для подсчета сыра и зерновых продуктов, объемов зерна (включая дробные единицы), земельных площадей и времени. Счет, определяемый объектами, не является чем-то необычным и был задокументирован для современных народов по всему миру; такие современные системы дают хорошее представление о том, как, вероятно, функционировали древние шумерские системы счисления. [28]
Около 2700 г. до н. э. круглый стилус начал заменяться тростниковым стилусом, который производил клиновидные отпечатки, давшие клинописным знакам их название. Как и в случае с жетонами, числовыми отпечатками и протоклинописными цифрами, сегодняшние клинописные цифры иногда двусмысленны в числовых значениях, которые они представляют. Эта двусмысленность отчасти объясняется тем, что базовая единица объектно-специфической системы счета не всегда понятна, а отчасти тем, что в шумерской системе счисления отсутствовало такое соглашение, как десятичная точка, чтобы отличать целые числа от дробей или более высокие показатели от более низких. Около 2100 г. до н. э. была разработана общая шестидесятеричная система счисления с позиционным значением , которая использовалась для облегчения преобразований между объектно-специфическими системами счета. [29] [30] [31] Десятичная версия шестидесятеричной системы счисления, сегодня называемая Ассиро-Вавилонской общей, была разработана во втором тысячелетии до н. э., отражая возросшее влияние семитских народов, таких как аккадцы и эблаиты; хотя сегодня она менее известна, чем ее шестидесятеричный аналог, в конечном итоге она стала доминирующей системой, используемой во всем регионе, особенно когда шумерское культурное влияние начало ослабевать. [32] [33]
Шестидесятеричные цифры были смешанной системой счисления , которая сохранила чередующиеся основания 10 и 6, характерные для токенов, числовых отпечатков и прото-клинописных числовых знаков. Шестидесятеричные цифры использовались в торговле, а также для астрономических и других расчетов. В арабских цифрах шестидесятеричные цифры до сих пор используются для счета времени (секунда в минуту; минуты в час) и углов ( градусы ).
Римские цифры развились из этрусских символов примерно в середине 1-го тысячелетия до н. э. [34] В этрусской системе символ 1 представлял собой один вертикальный знак, символ 10 представлял собой два перпендикулярно перекрещенных счетных знака, а символ 100 представлял собой три перекрещенных счетных знака (похожих по форме на современную звездочку *); в то время как 5 (перевернутая буква V) и 50 (перевернутая буква V, разделенная одним вертикальным знаком), возможно, произошли от нижних половин знаков для 10 и 100, нет убедительного объяснения того, как римский символ для 100, C, произошел от своего этрусского предшественника в форме звездочки. [35]