В математике решить уравнение — значит найти его решения , которые представляют собой значения ( числа , функции , множества и т. д.), удовлетворяющие условию, установленному уравнением , состоящим обычно из двух выражений , связанных знаком равенства . При поиске решения одна или несколько переменных обозначаются как неизвестные . Решение — это присвоение значений неизвестным переменным, которое делает равенство в уравнении истинным. Другими словами, решение — это значение или набор значений (по одному на каждое неизвестное), при котором при замене неизвестных уравнение становится равенством . Решение уравнения часто называют корнем уравнения, особенно, но не только, для полиномиальных уравнений . Совокупность всех решений уравнения является множеством его решений .
Уравнение может быть решено как численно , так и символически. Численное решение уравнения означает, что в качестве решений принимаются только числа. Символическое решение уравнения означает, что для представления решений можно использовать выражения.
Например, уравнение x + y = 2 x – 1 решается относительно неизвестного x с помощью выражения x = y + 1 , поскольку замена x в уравнении на y + 1 приводит к ( y + 1) + y = 2( y + 1) – 1 , верное утверждение. Также можно принять переменную y как неизвестную, и тогда уравнение решается как y = x – 1 . Или x и y можно рассматривать как неизвестные, и тогда у уравнения будет много решений; символическое решение — ( x , y ) = ( a + 1, a ) , где переменная a может принимать любое значение. Создание символического решения с конкретными числами дает численное решение; например, a = 0 дает ( x , y ) = (1, 0) (то есть x = 1, y = 0 ), а a = 1 дает ( x , y ) = (2, 1) .
Различие между известными и неизвестными переменными обычно проводится в формулировке задачи с помощью таких фраз, как «уравнение для x и y » или «решить для x и y », которые указывают на неизвестные, здесь x и y . Однако принято оставлять x , y , z ,... для обозначения неизвестных и использовать a , b , c ,... для обозначения известных переменных, которые часто называют параметрами . Обычно это имеет место при рассмотрении полиномиальных уравнений , таких как квадратные уравнения . Однако в некоторых задачах все переменные могут выполнять любую роль.
В зависимости от контекста решение уравнения может заключаться в поиске любого решения (достаточно найти одно решение), всех решений или решения, которое удовлетворяет дополнительным свойствам, таким как принадлежность к заданному интервалу . Когда задача состоит в том, чтобы найти решение, которое является лучшим по какому-либо критерию, это задача оптимизации . Решение задачи оптимизации обычно не называется «решением уравнений», поскольку, как правило, методы решения начинаются с конкретного решения для поиска лучшего решения и повторяются процесс до тех пор, пока в конечном итоге не будет найдено лучшее решение.
Одна общая форма уравнения:
где f — функция , x 1 , ..., x n — неизвестные, а c — константа. Ее решения являются элементами обратного образа
где D — область определения функции f . Множество решений может быть пустым (решений нет), одноэлементным (решение ровно одно), конечным или бесконечным (решений бесконечно много).
Например, такое уравнение, как
с неизвестными x , y и z , можно привести к приведенной выше форме, вычитая 21 z из обеих частей уравнения, чтобы получить
В этом конкретном случае существует не одно решение, а бесконечное множество решений, которое можно записать с использованием нотации построителя множеств как
Одним из частных решений является x = 0, y = 0, z = 0 . Два других решения: x = 3, y = 6, z = 1 и x = 8, y = 9, z = 2 . В трехмерном пространстве существует единственная плоскость , которая проходит через три точки с этими координатами , и эта плоскость представляет собой совокупность всех точек, координаты которых являются решениями уравнения.
Набор решений данного набора уравнений или неравенств — это набор всех его решений, причем решение представляет собой кортеж значений, по одному для каждого неизвестного , который удовлетворяет всем уравнениям или неравенствам. Если множество решений пусто, то не существует значений неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям и неравенствам.
В качестве простого примера рассмотрим уравнение
Это уравнение можно рассматривать как диофантово уравнение , то есть уравнение, для которого ищутся только целочисленные решения. В этом случае набором решений является пустой набор , поскольку 2 не является квадратом целого числа. Однако если искать реальные решения, есть два решения: √ 2 и – √ 2 ; другими словами, набор решений равен { √ 2 , − √ 2 } .
Когда уравнение содержит несколько неизвестных, а также когда имеется несколько уравнений с большим количеством неизвестных, чем уравнений, множество решений часто бесконечно. В этом случае решения не могут быть перечислены. Для их представления часто бывает полезна параметризация , заключающаяся в выражении решений через некоторые неизвестные или вспомогательные переменные. Это всегда возможно, когда все уравнения линейны .
Такие бесконечные множества решений естественным образом можно интерпретировать как геометрические фигуры, такие как линии , кривые (см. рисунок), плоскости и, в более общем плане, алгебраические разновидности или многообразия . В частности, алгебраическую геометрию можно рассматривать как исследование множеств решений алгебраических уравнений .
Методы решения уравнений обычно зависят от типа уравнения, как от вида выражений в уравнении, так и от типа значений, которые могут принимать неизвестные. Разнообразие типов уравнений велико, как и соответствующие методы. Ниже упомянуты лишь некоторые конкретные типы.
В общем, для данного класса уравнений не может быть известного систематического метода ( алгоритма ), который гарантированно будет работать. Это может быть связано с недостатком математических знаний; некоторые проблемы были решены только после столетий усилий. Но это также отражает то, что в целом такого метода не может существовать: известно, что некоторые проблемы неразрешимы с помощью алгоритма, например десятая проблема Гильберта , неразрешимость которой была доказана в 1970 году.
Для нескольких классов уравнений найдены алгоритмы их решения, некоторые из которых реализованы и включены в системы компьютерной алгебры , но зачастую не требуют более сложной технологии, чем карандаш и бумага. В некоторых других случаях известны эвристические методы, которые часто бывают успешными, но не гарантированно приведут к успеху.
Если множество решений уравнения ограничено конечным набором (как, например, в случае уравнений модульной арифметики ) или может быть ограничено конечным числом возможностей (как в случае с некоторыми диофантовыми уравнениями ), Набор решений можно найти методом перебора , то есть путем проверки каждого из возможных значений ( кандидатных решений ). Однако может случиться так, что число возможностей, которые необходимо учитывать, хотя и конечно, настолько велико, что исчерпывающий поиск практически неосуществим; по сути, это требование к надежным методам шифрования .
Как и во всех видах решения проблем , метод проб и ошибок иногда может привести к решению, в частности, когда форма уравнения или его сходство с другим уравнением с известным решением может привести к «вдохновленному предположению» о решении. Если предположение при проверке не оказывается решением, рассмотрение того, почему оно не удалось, может привести к модифицированному предположению.
Уравнения, включающие линейные или простые рациональные функции от одного вещественного неизвестного, например x , такие как
можно решить методами элементарной алгебры .
Меньшие системы линейных уравнений могут быть решены аналогичным образом методами элементарной алгебры. Для решения более крупных систем используются алгоритмы, основанные на линейной алгебре . См. исключение Гаусса и численное решение линейных систем .
Полиномиальные уравнения степени до четвертой можно точно решить алгебраическими методами, простейшим примером которых является квадратичная формула . Полиномиальные уравнения со степенью пять или выше требуют общих численных методов (см. ниже) или специальных функций, таких как Bring радикалы , хотя некоторые конкретные случаи могут быть решены алгебраически, например
(с использованием теоремы о рациональном корне ) и
(используя замену x = z 1 ⁄ 3 , которая упрощает это до квадратного уравнения относительно z ).
В диофантовых уравнениях решения должны быть целыми числами . В некоторых случаях можно использовать метод грубой силы, как упоминалось выше. В некоторых других случаях, в частности, если уравнение с одним неизвестным, можно решить уравнение для рациональных -значных неизвестных (см. Теорема о рациональном корне ), а затем найти решения диофантова уравнения, ограничив набор решений целочисленными. ценные решения. Например, полиномиальное уравнение
имеет рациональные решения x = −1/2и x = 3 , и поэтому, если рассматривать его как диофантово уравнение, оно имеет единственное решение x = 3 .
Однако в целом диофантовы уравнения относятся к числу наиболее сложных для решения уравнений.
В простом случае функции одной переменной, скажем, h ( x ) , мы можем решить уравнение вида h ( x ) = c для некоторой константы c , рассматривая то, что известно как обратная функция h .
Для данной функции h : A → B обратная функция, обозначаемая h −1 и определяемая как h −1 : B → A , представляет собой функцию такую, что
Теперь, если мы применим обратную функцию к обеим сторонам h ( x ) = c , где c — постоянное значение в B , мы получим
и мы нашли решение уравнения. Однако, в зависимости от функции, обратную функцию может быть трудно определить, или она может не быть функцией для всего множества B (только для некоторого подмножества) и иметь много значений в какой-то момент.
Если вместо полного набора решений подойдет только одно решение, то на самом деле достаточно, если только функциональная идентичность
держит. Например, проекция π 1 : R 2 → R , определенная формулой π 1 ( x , y ) = x , не имеет постинверсии, но имеет преинверсию π.−1
1определяется как π−1
1( Икс ) знак равно ( Икс , 0) . Действительно, уравнение π 1 ( x , y ) = c решается формулой
Примеры обратных функций включают корень n- й степени (обратный x n ); логарифм (обратный к x ) ; обратные тригонометрические функции ; и функция Ламберта W (обратная xe x ).
Если выражение левой части уравнения P = 0 можно факторизовать как P = QR , набор решений исходного решения состоит из объединения наборов решений двух уравнений Q = 0 и R = 0 . Например, уравнение
можно переписать, используя тождество tan x cot x = 1 как
который можно факторизовать на
Таким образом, решения являются решениями уравнения tan x = 1 и, таким образом, представляют собой множество
В случае более сложных уравнений с действительными или комплексными числами простые методы решения уравнений могут оказаться неэффективными. Часто алгоритмы поиска корней, такие как метод Ньютона – Рафсона, могут использоваться для поиска численного решения уравнения, которого для некоторых приложений может быть вполне достаточно для решения некоторой проблемы. Существуют также численные методы для систем линейных уравнений .
Уравнения, включающие матрицы и векторы действительных чисел, часто можно решить, используя методы линейной алгебры .
Существует обширный массив методов решения различного рода дифференциальных уравнений , как численных , так и аналитических . К особому классу задач, который можно отнести сюда, относится интеграция , и аналитические методы решения такого рода задач теперь называются символической интеграцией . [ нужна цитация ] Решения дифференциальных уравнений могут быть неявными или явными . [1]
