Внутренний продукт Фробениуса

Бинарная операция, берет две матрицы и возвращает скаляр

В математике скалярное произведение Фробениуса — это бинарная операция, которая берет две матрицы и возвращает скаляр . Часто обозначается . Операция представляет собой покомпонентное скалярное произведение двух матриц, как если бы они были векторами, и удовлетворяет аксиомам для скалярного произведения. Две матрицы должны иметь одинаковую размерность — одинаковое количество строк и столбцов — но не обязательно должны быть квадратными матрицами . ${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}$

Определение

Даны две матрицы A и B размером n × m с комплексными числами , записанные явно как

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}},}$

Внутренний продукт Фробениуса определяется как

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i,j}{\overline {A_{ij}}}B_{ij}\,=\mathrm {Tr} \left({\overline {\mathbf {A} ^{T}}}\mathbf {B} \right)\equiv \mathrm {Tr} \left(\mathbf {A} ^{\!\dagger }\mathbf {B} \right),}$

где черта сверху обозначает комплексно сопряженное число , а обозначает эрмитово сопряженное число . ^[1] В явном виде эта сумма равна ${\displaystyle \dagger }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=&{\overline {A}}_{11}B_{11}+{\overline {A}}_{12}B_{12}+\cdots +{\overline {A}}_{1m}B_{1m}\\&+{\overline {A}}_{21}B_{21}+{\overline {A}}_{22}B_{22}+\cdots +{\overline {A}}_{2m}B_{2m}\\&\vdots \\&+{\overline {A}}_{n1}B_{n1}+{\overline {A}}_{n2}B_{n2}+\cdots +{\overline {A}}_{nm}B_{nm}\\\end{aligned}}}$

Расчет очень похож на скалярное произведение , которое в свою очередь является примером внутреннего произведения.

Связь с другими продуктами

Если A и B являются действительными -значными матрицами, то внутреннее произведение Фробениуса является суммой элементов произведения Адамара . Если матрицы векторизованы (т.е. преобразованы в векторы-столбцы, обозначаемые как " "), то ${\displaystyle \mathrm {vec} (\cdot )}$

${\displaystyle \mathrm {vec} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}A_{11}\\A_{12}\\\vdots \\A_{21}\\A_{22}\\\vdots \\A_{nm}\end{pmatrix}},\quad \mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}\,,}$ ${\displaystyle \quad {\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\cdots &{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\cdots &{\overline {A}}_{nm}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}}$

Поэтому

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )\,.}$^{[ необходима ссылка ]}

Характеристики

Как и любое скалярное произведение, это полуторалинейная форма для четырех комплекснозначных матриц A , B , C , D и двух комплексных чисел a и b :

${\displaystyle \langle a\mathbf {A} ,b\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {a}}b\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}$

${\displaystyle \langle \mathbf {A} +\mathbf {C} ,\mathbf {B} +\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }=\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {A} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }}$

Кроме того, обмен матрицами равносилен комплексному сопряжению:

${\displaystyle \langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}}}$

Для той же матрицы,

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }\geq 0}$, ^{[ требуется ссылка ]}

и,

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=0\Longleftrightarrow \mathbf {A} =\mathbf {0} }$.

норма Фробениуса

Внутренний продукт индуцирует норму Фробениуса

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }}}\,.}$^[1]

Примеры

Действительные матрицы

Для двух действительных матриц, если

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}},}$

затем

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21.\end{aligned}}}$

Комплекснозначные матрицы

Для двух комплекснозначных матриц, если

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1+i&-2i\\3&-5\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-2&3i\\4-3i&6\end{pmatrix}},}$

затем

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=(1-i)\cdot (-2)+2i\cdot 3i+3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6\\&=-26-7i,\end{aligned}}}$

пока

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1+i)+(-3i)\cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26+7i.\end{aligned}}}$

Внутренние произведения Фробениуса A с самим собой и B с самим собой равны соответственно

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40}$ ${\displaystyle \qquad \langle \mathbf {B} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74.}$

Смотрите также

• Произведение Адамара (матрицы)
• Внутренний продукт Гильберта-Шмидта
• продукт Кронекера
• Матричный анализ
• Умножение матриц
• Матричная норма
• Тензорное произведение гильбертовых пространств – скалярное произведение Фробениуса – это особый случай, когда векторные пространства являются конечномерными действительными или комплексными векторными пространствами с обычным евклидовым скалярным произведением.

Ссылки

1. Horn, RA; CR, Johnson (1985). Topics in Matrix Analysis (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press . стр. 321. ISBN 978-0-521-83940-2.