Слабое измерение

В абстрактной алгебре слабая размерность ненулевого правого модуля M над кольцом R — это наибольшее число n, такое что группа Tor ненулевая для некоторого левого R -модуля N ( или бесконечность , если не существует наибольшего такого n ), и слабая размерность левого R -модуля определяется аналогично. Слабая размерность была введена Анри Картаном и Самуэлем Эйленбергом  (1956, стр. 122). Слабая размерность иногда называется плоской размерностью , поскольку это наименьшая длина разрешения модуля плоскими модулями . Слабая размерность модуля, самое большее, равна его проективной размерности . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$

Слабая глобальная размерность кольца — это наибольшее число n, которое отлично от нуля для некоторого правого R -модуля M и левого R -модуля N . Если такого наибольшего числа n не существует , слабая глобальная размерность определяется как бесконечная. Она не больше левой или правой глобальной размерности кольца R . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$

Примеры

• Модуль рациональных чисел над кольцом целых чисел имеет слабую размерность 0, но проективную размерность 1. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Модуль над кольцом имеет слабую размерность 1, но инъективную размерность 0. ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Модуль над кольцом имеет слабую размерность 0, но инъективную размерность 1. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Домен Prüfer имеет слабую глобальную размерность, не превышающую 1.
• Регулярное кольцо фон Неймана имеет слабую глобальную размерность 0.
• Произведение бесконечного числа полей имеет слабую глобальную размерность 0 , но его глобальная размерность не равна нулю.
• Если кольцо является правым нётеровым , то правая глобальная размерность совпадает со слабой глобальной размерностью и не превышает левой глобальной размерности. В частности, если кольцо является правым и левым нётеровым, то левая и правая глобальные размерности и слабая глобальная размерность все одинаковы.
• Кольцо треугольных матриц имеет правую глобальную размерность 1, слабую глобальную размерность 1, но левую глобальную размерность 2. Оно является правым нётеровым, но не левым нётеровым. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$

Ссылки

• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1956), Гомологическая алгебра, Princeton Mathematical Series, т. 19, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5, МР  0077480
• Нэстасеску, Константин; Ван Ойстаен, Фредди (1987), Размеры теории колец , Математика и ее приложения, т. 36, D. Reidel Publishing Co., doi : 10.1007/978-94-009-3835-9, ISBN 9789027724618, МР  0894033