Глобальное измерение

В теории колец и гомологической алгебре глобальная размерность (или глобальная гомологическая размерность ; иногда просто называемая гомологической размерностью ) кольца A , обозначаемая gl dim A , — это неотрицательное целое число или бесконечность, которая является гомологическим инвариантом кольца. Она определяется как супремум множества проективных размерностей всех A - модулей . Глобальная размерность — важное техническое понятие в теории размерности нётеровых колец . По теореме Жана-Пьера Серра глобальная размерность может быть использована для характеристики в классе коммутативных нётеровых локальных колец тех колец, которые являются регулярными . Их глобальная размерность совпадает с размерностью Крулля , определение которой является модульно-теоретическим.

Когда кольцо A некоммутативно , изначально приходится рассматривать две версии этого понятия: правую глобальную размерность, которая возникает из рассмотрения правых A -модулей , и левую глобальную размерность, которая возникает из рассмотрения левых A -модулей . Для произвольного кольца A правая и левая глобальные размерности могут различаться. Однако, если A - нётерово кольцо, обе эти размерности оказываются равными слабой глобальной размерности , определение которой симметрично слева-справа. Поэтому для некоммутативных нётеровых колец эти две версии совпадают, и одна из них оправданно говорит о глобальной размерности. ^[1]

Примеры

• Пусть A  =  K [ x ₁ ,..., x _n ] — кольцо многочленов от n переменных над полем K . Тогда глобальная размерность A равна n . Это утверждение восходит к основополагающей работе Дэвида Гильберта о гомологических свойствах многочленных колец; см. теорему Гильберта о сизигиях . В более общем смысле, если R — нётерово кольцо конечной глобальной размерности k и A  =  R [x] — кольцо многочленов от одной переменной над R , то глобальная размерность A равна k  + 1.

• Кольцо имеет глобальную размерность нулевую тогда и только тогда, когда оно полупростое .

• Глобальная размерность кольца A меньше или равна единице тогда и только тогда, когда A наследственно . В частности, коммутативная область главных идеалов , которая не является полем, имеет глобальную размерность один. Например, имеет глобальную размерность один. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Первая алгебра Вейля A ₁ представляет собой некоммутативную нётерову область глобальной размерности один.

• Если кольцо право-нётерово, то правое глобальное измерение совпадает со слабым глобальным измерением и не превышает левого глобального измерения. В частности, если кольцо право-нётерово и лево-нётерово, то левое и правое глобальные измерения и слабое глобальное измерение все одинаковы.
• Кольцо треугольных матриц имеет правую глобальную размерность 1, слабую глобальную размерность 1, но левую глобальную размерность 2. Оно является правым нётеровым, но не левым нётеровым. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$

Альтернативные характеристики

Правое глобальное измерение кольца A можно альтернативно определить как:

• супремум множества проективных размерностей всех циклических правых A -модулей;
• супремум множества проективных размерностей всех конечных правых A -модулей;
• супремум инъективных размерностей всех правых A -модулей;
• когда A — коммутативное нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом m , проективная размерность поля вычетов A / m .

Левое глобальное измерение A имеет аналогичные характеристики, полученные путем замены «правого» на «левого» в приведенном выше списке.

Серр доказал , что коммутативное нётерово локальное кольцо A является регулярным тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность, и в этом случае глобальная размерность совпадает с размерностью Крулля кольца A. Эта теорема открыла дверь к применению гомологических методов к коммутативной алгебре.

Ссылки

1. Ауслендер, Морис (1955). «О размерности модулей и алгебр. III. Глобальная размерность». Nagoya Math J. 9 : 67–77.

• Эйзенбуд, Дэвид (1999), Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию , Graduate Texts in Mathematics, т. 150 (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8.
• Капланский, Ирвинг (1972), Поля и кольца , Чикагские лекции по математике (2-е изд.), Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-42451-0, ЗБЛ  1001.16500
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6.
• Макконнелл, Дж. К.; Робсон, Дж. К.; Смолл, Лэнс В. (2001), Пересмотренное (ред.), Некоммутативные нётеровы кольца , Graduate Studies in Mathematics , т. 30, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2169-5.