В математике слабая эквивалентность — это понятие из теории гомотопии , которое в некотором смысле идентифицирует объекты, имеющие одинаковую «форму». Это понятие формализовано в аксиоматическом определении категории модели .
Модельная категория — это категория с классами морфизмов, называемых слабыми эквивалентностями, расслоениями и корасслоениями , удовлетворяющая нескольким аксиомам. Ассоциированная гомотопическая категория модельной категории имеет те же объекты, но морфизмы изменены для того, чтобы превратить слабые эквивалентности в изоморфизмы . Полезным наблюдением является то, что ассоциированная гомотопическая категория зависит только от слабых эквивалентностей, а не от расслоений и корасслоений.
Категории моделей были определены Квилленом как аксиоматизация гомотопической теории, которая применяется к топологическим пространствам , но также и ко многим другим категориям в алгебре и геометрии . Примером, с которого началась эта тема, является категория топологических пространств с расслоениями Серра в качестве расслоений и слабыми гомотопическими эквивалентностями в качестве слабых эквивалентностей (корасслоения для этой модельной структуры могут быть описаны как ретракции относительных клеточных комплексов X ⊆ Y [1] ). По определению непрерывное отображение f : X → Y пространств называется слабой гомотопической эквивалентностью, если индуцированная функция на множествах компонент пути
является биективным , и для каждой точки x в X и каждого n ≥ 1 индуцированный гомоморфизм
на гомотопических группах является биективным. (Для линейно связных X и Y первое условие выполняется автоматически, и достаточно сформулировать второе условие для одной точки x в X. )
Для односвязных топологических пространств X и Y отображение f : X → Y является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда индуцированный гомоморфизм f * : H n ( X , Z ) → H n ( Y , Z ) на сингулярных группах гомологий является биекцией для всех n . [2] Аналогично, для односвязных пространств X и Y отображение f : X → Y является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда гомоморфизм обратного протягивания f * : H n ( Y , Z ) → H n ( X , Z ) на сингулярных когомологиях является биекцией для всех n . [3]
Пример: Пусть X будет множеством натуральных чисел {0, 1, 2, ...}, а Y будет множеством {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, оба с топологией подпространства из действительной прямой . Определим f : X → Y , отображая 0 в 0 и n в 1/ n для положительных целых чисел n . Тогда f будет непрерывным и фактически слабой гомотопической эквивалентностью, но это не гомотопическая эквивалентность .
Гомотопическая категория топологических пространств (полученная путем обращения слабых гомотопических эквивалентностей) значительно упрощает категорию топологических пространств. Действительно, эта гомотопическая категория эквивалентна категории CW-комплексов с морфизмами, являющимися гомотопическими классами непрерывных отображений.
Также были рассмотрены многие другие модельные структуры в категории топологических пространств. Например, в модельной структуре Стрёма в топологических пространствах расслоения являются расслоениями Гуревича , а слабые эквивалентности являются гомотопическими эквивалентностями. [4]
Некоторые другие важные категории моделей включают цепные комплексы . Пусть A — абелева категория Гротендика , например, категория модулей над кольцом или категория пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Определим категорию C ( A ) с объектами — комплексами X объектов в A ,
и морфизмы цепных отображений . (Это эквивалентно рассмотрению «коцепных комплексов» объектов A , где нумерация записывается как
просто определив X i = X − i .)
Категория C ( A ) имеет модельную структуру, в которой корасслоения являются мономорфизмами , а слабые эквивалентности являются квазиизоморфизмами . [ 5] По определению, цепное отображение f : X → Y является квазиизоморфизмом, если индуцированный гомоморфизм
по гомологии является изоморфизмом для всех целых чисел n . (Здесь H n ( X ) — объект A , определяемый как ядро X n → X n −1 по модулю образа X n +1 → X n .) Полученная гомотопическая категория называется производной категорией D ( A ).
В любой модельной категории расслоение, которое также является слабой эквивалентностью, называется тривиальным ( или ацикличным ) расслоением . Корасслоение, которое также является слабой эквивалентностью, называется тривиальным (или ацикличным ) корасслоением .
