Устная арифметика

Головоломка по восстановлению уравнений, зашифрованных в слова

Вербальная арифметика , также известная как альфаметика , криптарифметика , криптарифмия или сложение слов , — это тип математической игры, состоящей из математического уравнения среди неизвестных чисел , цифры которого представлены буквами алфавита. Цель состоит в том, чтобы определить значение каждой буквы. Название может быть распространено на головоломки, в которых вместо букв используются неалфавитные символы.

Уравнение обычно является базовой арифметической операцией , такой как сложение , умножение или деление . Классический пример, опубликованный в июльском номере журнала Strand Magazine за 1924 год Генри Дьюдени ^[1] , выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}}$

Решение этой головоломки: O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 и S = ​​9.

Традиционно каждая буква должна представлять отдельную цифру, и (как обычная арифметическая запись) ведущая цифра многозначного числа не должна быть нулем. Хорошая головоломка должна иметь одно уникальное решение, а буквы должны составлять фразу (как в примере выше).

Устная арифметика может быть полезна как мотивация и источник упражнений при преподавании элементарной алгебры .

История

Криптарифмические головоломки довольно старые, и их изобретатель неизвестен. Пример 1864 года в The American Agriculturist ^[2] опровергает популярное мнение о том, что его изобрёл Сэм Лойд . Название «криптарифм» было придумано головоломковедом Миносом (псевдоним Саймона Ватрикуанта) в выпуске Sphinx за май 1931 года, бельгийского журнала развлекательной математики, и было переведено как «криптарифметика» Морисом Крайчиком в 1942 году. ^[3] В 1955 году Дж. А. Х. Хантер ввёл слово «алфавитный» для обозначения криптарифмов, таких как криптарифмы Дьюдени, буквы которых образуют осмысленные слова или фразы. ^[4]

Типы криптоарифмов

Головоломка Ричарда Фейнмана о делении скелета – каждая буква А представляет одну и ту же цифру, а каждая точка – любую цифру, не представленную буквой А ^[5]

Типы криптарифма включают алфавитное, цифровое и скелетное деление.

Алфавитный

Тип криптарифма, в котором набор слов записывается в виде длинной суммы сложения или какой-либо другой математической задачи. Цель состоит в том, чтобы заменить буквы алфавита десятичными цифрами, чтобы получить допустимую арифметическую сумму.

Цифровая

Криптографический метод, в котором цифры используются для представления других цифр.

Скелетный отдел

Длинное деление, в котором большинство или все цифры заменяются символами (обычно звездочками) для формирования криптоарифма.

Решение криптоарифмов

Решение криптоарифма вручную обычно включает в себя смесь выводов и исчерпывающих проверок возможностей. Например, следующая последовательность выводов решает головоломку Дьюдени SEND+MORE = MONEY выше (столбцы пронумерованы справа налево):

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}}$

1. Из столбца 5, M = 1, так как это единственный возможный перенос из суммы двух однозначных чисел в столбце 4.
2. Поскольку в столбце 5 есть перенос, O должно быть меньше или равно M (из столбца 4). Но O не может быть равно M, поэтому O меньше M. Следовательно, O = 0 .
3. Так как O на 1 меньше M, S равно 8 или 9 в зависимости от того, есть ли перенос в столбце 4. Но если бы был перенос в столбце 4 (полученный путем добавления столбца 3), N было бы меньше или равно O. Это невозможно, так как O = 0. Следовательно, в столбце 4 нет переноса и S = ​​9 .
4. Если бы не было переноса в столбце 3, то E = N, что невозможно. Поэтому есть перенос и N = E + 1.
5. Если бы в столбце 2 не было переноса, то (N + R) mod 10 = E, а N = E + 1, поэтому (E + 1 + R) mod 10 = E, что означает (1 + R) mod 10 = 0, поэтому R = 9. Но S = 9, поэтому в столбце 2 должен быть перенос, поэтому R = 8 .
6. Чтобы осуществить перенос в столбце 2, мы должны иметь D + E = 10 + Y.
7. Y не менее 2, поэтому D + E не менее 12.
8. Единственные две пары доступных чисел, сумма которых составляет не менее 12, — это (5,7) и (6,7), поэтому либо E = 7, либо D = 7.
9. Так как N = E + 1, то E не может быть равно 7, потому что тогда N = 8 = R, поэтому D = 7 .
10. E не может быть равно 6, потому что тогда N = 7 = D, поэтому E = 5 и N = 6 .
11. D + E = 12, поэтому Y = 2 .

Другой пример TO+GO=OUT (источник неизвестен):

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{T}}&{\text{O}}\\+&&{\text{G}}&{\text{O}}\\\hline =&{\text{O}}&{\text{U}}&{\text{T}}\\\end{matrix}}}$

1. Сумма двух наибольших двузначных чисел равна 99+99=198. Таким образом, O=1 и в столбце 3 есть перенос.
2. Так как столбец 1 находится справа от всех остальных столбцов, перенос в нем невозможен. Поэтому 1+1=T, а T=2 .
3. Так как столбец 1 был вычислен на последнем шаге, известно, что в столбце 2 нет переноса. Но также известно, что в столбце 3 на первом шаге есть перенос. Следовательно, 2+G≥10. Если G равно 9, U будет равно 1, но это невозможно, так как O также равно 1. Поэтому возможно только G=8 , а при 2+8=10+U, U=0 .

Использование модульной арифметики часто помогает. Например, использование арифметики mod-10 позволяет обрабатывать столбцы задачи на сложение как одновременные уравнения , в то время как использование арифметики mod-2 позволяет делать выводы на основе четности переменных.

В информатике криптоарифмы дают хорошие примеры для иллюстрации метода грубой силы и алгоритмов, которые генерируют все перестановки m выборов из n возможностей. Например, головоломку Дьюдени выше можно решить, проверив все назначения восьми значений среди цифр от 0 до 9 восьми буквам S,E,N,D,M,O,R,Y, что дает 1 814 400 возможностей. Они также дают хорошие примеры для парадигмы обратного отслеживания при проектировании алгоритмов .

Другая информация

При обобщении на произвольные основания задача определения того, имеет ли криптоарифм решение, является NP-полной . ^[6] (Обобщение необходимо для результата по сложности, поскольку в десятичной системе существует только 10! возможных назначений цифр буквам, и их можно проверить с помощью головоломки за линейное время.)

Алфавитные головоломки можно комбинировать с другими числовыми головоломками, такими как судоку и какуро, чтобы создавать зашифрованные судоку и какуро .

Самая длинная азбука

В 1983 году Антон Павлис построил алфавитную систему с 41 слагаемым:

ТАК МНОГО+МУЖЧИН+КАЖЕТСЯ+ГОВОРЯТ+ЭТО+

ОНИ+СКОРО+ПОСТАРАЮТСЯ+ОСТАТЬСЯ+ДОМА+

ТАК+КАК+БЫ+ВИДЕТЬ+ИЛИ+УСЛЫШАТЬ+ТО+ЖЕ+ОДНО+

МУЖЧИНА+ПЫТАЙСЯ+ВСТРЕТИТЬ+КОМАНДУ+НА+

ЛУНА+КАК+ОН+ИМЕЕТ+У+ДРУГОГО+ДЕСЯТИ

=ТЕСТЫ

(Ответ: МНОГИЕ ДРУГИЕ=2764195083.) ^[7]

Смотрите также

• Диофантово уравнение
• Математические головоломки
• Перестановка
• Пазлы
• Sideways Arithmetic From Wayside School - Книга, сюжет которой вращается вокруг этих головоломок.
• Криптограмма

Ссылки

1. HE Dudeney , в Strand Magazine, т. 68 (июль 1924 г.), стр. 97 и 214.
2. "№ 109 Математическая головоломка". American Agriculturist . Том 23, № 12. Декабрь 1864. С. 349.
3. Морис Крайчик , Математические развлечения (1953), стр. 79-80.
4. Дж. А. Х. Хантер, в Toronto Globe and Mail (27 октября 1955 г.), стр. 27.
5. Фейнман, Ричард П. (август 2008). Совершенно разумные отклонения от проторенной дорожки: письма Ричарда П. Фейнмана. Базовые книги. ISBN 9780786722426.
6. Дэвид Эппштейн (1987). «О NP-полноте криптарифмов» (PDF) . SIGACT News . 18 (3): 38–40. doi :10.1145/24658.24662. S2CID  2814715.
7. Павлис, Антон. "Crux Mathematicorum" (PDF) . Канадское математическое общество . стр. 115 . Получено 14 декабря 2016 г. .

• Мартин Гарднер , Математика, магия и тайна . Дувр (1956)
• В журнале «Занимательная математика» была постоянная колонка по алфавиту.
• Джек ван дер Эльсен, Alphametics . Маастрихт (1998)
• Кахан С., Нужно решить несколько задач: Полная книга по алфавиту, Baywood Publishing, (1978)
• Брук М. Сто пятьдесят головоломок в криптоарифметике. Нью-Йорк: Довер, (1963)
• Хитеш Тикамчанд Джайн, Азбука криптарифметики/алфавита. Индия (2017)

Внешние ссылки

• Решение с использованием кода Matlab и руководства
• Криптарифмы в Cut-the-Knot
• Вайсштейн, Эрик В. «Алфавитный». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Криптарифметика». MathWorld .
• Алфавит и крипторифмы

Решатели алфавитных задач

• Решатель алфавитных задач!
• Решатель головоломок Alphametics
• Приложение Android для решения задач Crypt Arithmatic
• Алфавитный решатель, написанный на Python
• Онлайн-инструмент для создания и решения алфавитных и криптографических задач.
• Онлайн-инструмент для решения, создания, хранения и извлечения буквенных обозначений — более 4000 английских буквенных обозначений доступны с решениями.