Теорема Шаля (кинематика)

Каждое жесткое движение — это винтовое перемещение.

Винтовая ось . Теорема Моцци–Шаля гласит, что каждое евклидово движение представляет собой винтовое перемещение вдоль некоторой винтовой оси.

В кинематике теорема Шаля или теорема Моцци–Шаля гласит , что наиболее общее смещение твёрдого тела может быть получено путём перемещения вдоль линии (называемой его винтовой осью или осью Моцци ), за которым следует (или которому предшествует) вращение вокруг оси, параллельной этой линии. ^{[1] [2] [3]} Такая композиция перемещения и вращения называется винтовым перемещением .

История

Доказательство того, что пространственное смещение можно разложить на вращение и скольжение вокруг и вдоль линии, приписывается астроному и математику Джулио Моцци (1763), на самом деле винтовая ось традиционно называется asse di Mozzi в Италии. Однако большинство учебников ссылаются на последующую похожую работу Мишеля Шаля, датированную 1830 годом. ^[4] Несколько других современников М. Шаля получили те же или похожие результаты примерно в то же время, включая Дж. Джорджини, Коши, Пуансо, Пуассона и Родригеса. Отчет о доказательстве 1763 года Джулио Моцци и часть его истории можно найти здесь. ^{[5] [6]}

Доказательство

Моцци рассматривает твердое тело, которое сначала совершает вращение вокруг оси, проходящей через центр масс, а затем совершает перемещение смещения D в произвольном направлении. Любое жесткое движение может быть выполнено таким образом благодаря теореме Эйлера о существовании оси вращения. Смещение D центра масс может быть разложено на составляющие, параллельную и перпендикулярную оси. Перпендикулярная (и параллельная) составляющая действует на все точки твердого тела, но Моцци показывает, что для некоторых точек предыдущее вращение действовало точно с противоположным смещением, поэтому эти точки переносятся параллельно оси вращения. Эти точки лежат на оси Моцци, через которую жесткое движение может быть выполнено посредством винтового движения.

Другое элементарное доказательство теоремы Моцци–Шаля было дано Э. Т. Уиттакером в 1904 году . ^[7] Предположим, что A нужно преобразовать в B. Уиттакер предлагает выбрать линию AK параллельно оси данного вращения, а K — основание перпендикуляра из B. Соответствующее смещение винта происходит вокруг оси, параллельной AK , так что K перемещается в B. Метод соответствует изометрии евклидовой плоскости , где композицию вращения и переноса можно заменить вращением вокруг соответствующего центра . В терминах Уиттакера, «вращение вокруг любой оси эквивалентно вращению на тот же угол вокруг любой оси, параллельной ей, вместе с простым переносом в направлении, перпендикулярном оси».

Расчет

Вычисление коммутирующего переноса и вращения из винтового движения может быть выполнено с использованием 3DPGA ( ), геометрической алгебры трехмерного евклидова пространства. ^[8] Он имеет три евклидовых базисных вектора , удовлетворяющих представлению ортогональных плоскостей через начало координат, и один грассмановский базисный вектор, удовлетворяющий представлению плоскости на бесконечности. Любая плоскость, удаленная от начала координат, может быть затем сформирована как линейная комбинация , которая нормализована таким образом, что . Поскольку отражения могут быть представлены плоскостью, в которой происходит отражение, произведение двух плоскостей и является двуотражением . Результатом является вращение вокруг их линии пересечения , которая также может лежать на плоскости на бесконечности, когда два отражения параллельны, и в этом случае двуотражение является переносом. ${\displaystyle \mathbb {R} _{3,0,1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{0}^{2}=0}$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{3}a^{i}\mathbf {e} _{i}-\delta \mathbf {e} _{0}}$$ ${\displaystyle a^{2}=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\wedge b}$ ${\displaystyle ab}$

Винтовое движение является произведением четырех неколлинеарных отражений, и, таким образом , . Но согласно теореме Моцци-Шаля винтовое движение можно разложить на коммутирующее перемещение, где — ось перемещения, удовлетворяющая , и вращение , где — ось вращения, удовлетворяющая . Две бивекторные линии и ортогональны и коммутируют. Чтобы найти и из , мы просто выписываем и рассматриваем результат постепеновно: Поскольку часть квадранта и , непосредственно оказывается равной ^[9] и, таким образом , Таким образом, для данного винтового движения коммутирующее перемещение и вращение можно найти с помощью двух формул выше, после чего линии и оказываются пропорциональными и соответственно. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=abcd}$ $${\displaystyle T=e^{\alpha B_{1}}=1+\alpha B_{1}}$$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$ $${\displaystyle R=e^{\beta B_{2}}=\cos(\beta )+B_{2}\sin(\beta )}$$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}^{2}=-1}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=TR\\&=e^{\alpha B_{1}}e^{\beta B_{2}}\\&=\underbrace {\cos \beta } _{\text{scalar}}+\underbrace {\sin \beta B_{2}+\alpha \cos \beta B_{1}} _{\text{bivector}}+\underbrace {\alpha \sin \beta B_{1}B_{2}} _{\text{quadvector}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \langle S\rangle _{4}=\langle T\rangle _{2}\langle R\rangle _{2}}$ ${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T=1+{\frac {\langle S\rangle _{4}}{\langle S\rangle _{2}}}}$$ $${\displaystyle R=ST^{-1}=T^{-1}S={\frac {S}{T}}}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle \langle T\rangle _{2}}$ ${\displaystyle \langle R\rangle _{2}}$

Другие измерения и поля

Теорема Картана –Дьедонне выражает аналогичную идею в измерениях, отличных от трех.

Ссылки

1. Кумар, В. "MEAM 520 notes: The Theorems of Euler and Chasles" (PDF) . Университет Пенсильвании. Архивировано из оригинала (PDF) 19 июня 2018 г. . Получено 6 августа 2014 г. .
2. Heard, William B. (2006). Механика твердого тела . Wiley. стр. 42. ISBN 3-527-40620-4.
3. Джозеф, Тоби (2020). «Альтернативное доказательство теоремы вращения Эйлера». The Mathematical Intelligencer . 42 (4): 44–49. arXiv : 2008.05378 . doi : 10.1007/s00283-020-09991-z. ISSN  0343-6993. S2CID  221103695.
4. Часлз, М. (1830). «Примечание к общим свойствам системы двух корпусов, похожих на вход». Bulletin des Sciences Mathématiques, Astronomiques, Physiques et Chemiques (на французском языке). 14 : 321–326.
5. Моцци, Джулио (1763). Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi (на итальянском языке). Неаполь: Стамперия ди Донато Кампо.
6. Чеккарелли, Марко (2000). «Ось винта, определенная Джулио Моцци в 1763 году и ранние исследования геликоидального движения». Теория механизмов и машин . 35 (6): 761–770. doi :10.1016/S0094-114X(99)00046-4.
7. ET Whittaker (1904) ET Whittaker . Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел . стр. 4.
8. Ганн, Чарльз (19 декабря 2011 г.). Геометрия, кинематика и механика твердого тела в геометрии Кэли-Клейна (магистерская диссертация). Технический университет Берлина, Технический университет Берлина, Ульрих Пинкалл. doi : 10.14279/DEPOSITONCE-3058.
9. Рульфс, Мартин; Де Кенинк, Стивен. «Градуированные группы симметрии: плоские и простые».

Дальнейшее чтение

• Бенджамин Пирс (1872) Система аналитической механики, III. Совместные движения вращения и поступательного движения, особенно § 32 и § 39, David van Nostrand & Company, ссылка из интернет-архива