В теории категорий , разделе математики , для данного морфизма f : X → Y и морфизма g : Z → Y поднятие или поднятие f до Z представляет собой морфизм h : X → Z такой, что f = g ∘ h . Мы говорим, что f действует через h .
Базовым примером топологии является подъем пути в одном топологическом пространстве до пути в покрывающем пространстве . [1] Например, рассмотрим отображение противоположных точек на сфере в одну и ту же точку, непрерывное отображение сферы, покрывающее проективную плоскость . Путь на проективной плоскости представляет собой непрерывное отображение единичного интервала [0,1]. Мы можем поднять такой путь до сферы, выбрав одну из двух точек сферы, отображающую первую точку пути, а затем сохранив непрерывность. В этом случае каждая из двух начальных точек создает уникальный путь на сфере — подъем пути в проективной плоскости. Таким образом, в категории топологических пространств с непрерывными отображениями как морфизмами имеем
Лифты повсюду; например, определение расслоений (см. Свойство гомотопического подъема ) и оценочные критерии отделимых и собственных отображений схем формулируются в терминах существования и (в последнем случае) единственности определенных лифтов.
В алгебраической топологии и гомологической алгебре тензорное произведение и функтор Hom сопряжены ; однако они не всегда могут соответствовать точной последовательности . Это приводит к определению функтора Ext и функтора Tor .
Обозначения логики предикатов первого порядка упрощаются, когда кванторы относят к установленным областям и диапазонам бинарных отношений . Гюнтер Шмидт и Майкл Винтер проиллюстрировали метод переноса традиционных логических выражений топологии в исчисление отношений в своей книге «Реляционная топология» . [2] Они стремятся «поднять концепции на реляционный уровень, сделав их свободными от точек и кванторов, тем самым освобождая их от стиля логики предикатов первого порядка и приближая к ясности алгебраических рассуждений».
Например, частичная функция M соответствует включению где обозначает тождественное отношение в диапазоне M. «Обозначение количественной оценки скрыто и остается глубоко включенным в типизацию реляционных операций (здесь транспонирование и композиция) и их правил».
Для карт окружности определение подъема до реальной линии немного отличается (обычное применение — вычисление числа вращения ). Для карты на окружности подъемом , , называется любое отображение на вещественной прямой, , для которого существует проекция (или карта покрытия ), такая, что . [3]
![{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \,&[0,1]\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (путь проективной плоскости)}}\\g\colon \ ,&S^{2}\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (карта покрытия)}}\\h\двоеточие \,&[0,1]\to S^{2}&& \ {\text{ (путь сферы)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94309ac4e26b4364471069b349c643e2d12234f8)
