Логическое соединение

Логическая связка И

Диаграмма Венна ${\displaystyle A\wedge B\land C}$

В логике , математике и лингвистике и ( ) — это истинно-функциональный оператор конъюнкции или логической конъюнкции . Логическая связка этого оператора обычно представляется как ^[1] ​​или или (префикс) или или ^[2] , что является наиболее современным и широко используемым. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \&}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \wedge }$

И для набора операндов истинно тогда и только тогда, когда все его операнды истинны, т. е. истинно тогда и только тогда, когда истинно и истинно. ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Операндом конъюнкции является конъюнкт .

Помимо логики, термин «соединение» также относится к аналогичным понятиям в других областях:

• В естественном языке обозначение таких выражений, как английский « и » ;
• В языках программирования — структура короткого замыкания и управления ;
• В теории множеств пересечение .
• В теории решеток — логическая конъюнкция ( наибольшая нижняя граница ).

Обозначения

И обычно обозначается инфиксным оператором: в математике и логике он обозначается (Unicode U+2227 ∧ LOGICAL AND ), ^[1] или ; в электронике, ; а в языках программирования — , , или . В префиксной записи логики Яна Лукасевича оператор - от польского koniunkcja . ^[3] ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \&}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \cdot }$&&&and ${\displaystyle K}$

Определение

Логическое соединение — это операция над двумя логическими значениями , обычно значениями двух высказываний , которая дает значение true тогда и только тогда (также известное как iff), оба ее операнда истинны. ^{[2] [1]}

Конъюнктивное тождество истинно, то есть операция И с выражением со значением true никогда не изменит значение выражения. В соответствии с концепцией « пустой истины» , когда конъюнкция определяется как оператор или функция произвольной арности , пустая конъюнкция (команда «И» над пустым набором операндов) часто определяется как имеющая истинный результат.

Таблица истинности

Объединение аргументов слева — Истинный бит s образует треугольник Серпинского .

Таблица истинности : [ ^1] [ ^2] ${\displaystyle A\land B}$

Определено другими операторами

В системах, где логическое соединение не является примитивом, его можно определить как ^[4]

${\displaystyle A\land B=\neg (A\to \neg B)}$

или

${\displaystyle A\land B=\neg (\neg A\lor \neg B).}$

Правила введения и исключения

Как правило, введение союза представляет собой классически допустимую и простую форму аргумента . Форма аргумента имеет две предпосылки: и . Интуитивно это позволяет сделать вывод об их соединении. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A}$,

${\displaystyle B}$.

Следовательно , А и Б.

или в записи логического оператора :

${\displaystyle A,}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

Вот пример аргумента, который соответствует введению союза формы :

Боб любит яблоки.

Боб любит апельсины.

Следовательно, Боб любит яблоки, а Боб любит апельсины.

Устранение союза – еще одна классически допустимая и простая форма аргументации . Интуитивно это позволяет сделать вывод из любого соединения любого элемента этого соединения.

${\displaystyle A}$и . ${\displaystyle B}$

Поэтому, . ${\displaystyle A}$

...или альтернативно,

${\displaystyle A}$и . ${\displaystyle B}$

Поэтому, . ${\displaystyle B}$

В записи логического оператора :

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

...или альтернативно,

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

Отрицание

Определение

Ложность союза доказывается путем установления либо или . С точки зрения объектного языка это звучит так: ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle \neg B}$

${\displaystyle \neg A\to \neg (A\land B)}$

Эту формулу можно рассматривать как частный случай

${\displaystyle (A\to C)\to ((A\land B)\to C)}$

когда является ложным предложением. ${\displaystyle C}$

Другие стратегии доказательства

Если подразумевается , то и то , и другое доказывает ложность союза: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg B}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A\to \neg {}B)\to \neg (A\land B)}$

Другими словами, ложность союза на самом деле можно доказать, просто зная об отношении его конъюнктов, и не обязательно об их истинностных значениях.

Эту формулу можно рассматривать как частный случай

${\displaystyle (A\to (B\to C))\to ((A\land B)\to C)}$

когда является ложным предложением. ${\displaystyle C}$

Любое из вышеперечисленных является конструктивно действительным доказательством от противного.

Характеристики

коммутативность : да

ассоциативность : да

дистрибутивность : с различными операциями, особенно с или

идемпотентность : да

монотонность : да

сохранение истины: да.
Когда все входные данные верны, выходные данные верны.

сохранение ложности: да.
Когда все входные данные ложны, выходные данные являются ложными.

Спектр Уолша : (1,-1,-1,1)

Нелинейность : 1 (функция изогнута )

Если использовать двоичные значения для истинного (1) и ложного (0), логическое соединение работает точно так же, как обычное арифметическое умножение .

Приложения в компьютерной технике

И логический вентиль

В компьютерном программировании высокого уровня и цифровой электронике логическое соединение обычно представляется инфиксным оператором, обычно в виде ключевого слова, такого как " AND", алгебраического умножения или символа амперсанда &(иногда удваивающегося, как в &&). Многие языки также предоставляют структуры управления коротким замыканием, соответствующие логическому соединению.

Логическое соединение часто используется для поразрядных операций, где 0соответствует false и 1true:

• 0 AND 0  "=  0"
• 0 AND 1  "=  0"
• 1 AND 0  "=  0"
• 1 AND 1  "=  1"

Эту операцию также можно применить к двум двоичным словам , рассматриваемым как битовые строки одинаковой длины, путем выполнения побитового И для каждой пары битов в соответствующих позициях. Например:

• 11000110 AND 10100011  "=  10000010"

Это можно использовать для выбора части битовой строки с помощью битовой маски . Например,  =  извлекает четвертый бит из 8-битной строки битов.10011101 AND 0000100000001000

В компьютерных сетях битовые маски используются для получения сетевого адреса подсети внутри существующей сети из заданного IP-адреса путем объединения IP-адреса и маски подсети с помощью операции AND .

Логическое соединение " AND" также используется в операциях SQL для формирования запросов к базе данных .

Соответствие Карри -Ховарда связывает логическое соединение с типами продуктов .

Теоретико-множественное соответствие

Принадлежность элемента множеству пересечений в теории множеств определяется в терминах логической конъюнкции: тогда и только тогда, когда . Благодаря этому соответствию теоретико-множественное пересечение разделяет некоторые свойства с логическим соединением, такие как ассоциативность , коммутативность и идемпотентность . ${\displaystyle x\in A\cap B}$ ${\displaystyle (x\in A)\wedge (x\in B)}$

Естественный язык

Как и другие понятия, формализованные в математической логике, логический союз и связан с грамматическим союзом и в естественных языках, но не то же самое.

Английское «и» имеет свойства, не выраженные логическим союзом. Например, «и» иногда подразумевает порядок, имеющий смысл «тогда». Например, фраза «Они поженились и у них родился ребенок» в обиходе означает, что брак предшествовал появлению ребенка.

Слово «и» также может означать разделение вещи на части, например: «Американский флаг — красный, белый и синий». Здесь не имеется в виду, что флаг одновременно красный, белый и синий, а скорее, что в нем есть часть каждого цвета.

Смотрите также

• И-инверторный граф
• И ворота
• Побитовое И
• Булева алгебра
• Логический соединительный запрос
• Логический домен
• Булева функция
• Логическая функция
• Устранение союза
• Союз (грамматика)
• Законы де Моргана
• Логика первого порядка
• Неравенства Фреше
• Список тем по булевой алгебре
• Логическая дизъюнкция
• Логический график
• Отрицание
• Операция
• Обозначение Пеано – Рассела
• Пропозициональное исчисление

Рекомендации

1. «2.2: Соединения и дизъюнкции». Математика LibreTexts . 13 августа 2019 г. Проверено 2 сентября 2020 г.
2. «Соединение, отрицание и дизъюнкция». Философия.lander.edu . Проверено 2 сентября 2020 г.
3. Юзеф Мария Боченский (1959), Краткое изложение математической логики , перевод Отто Берда из французского и немецкого изданий, Дордрехт, Южная Голландия: Д. Рейдель, passim.
4. Смит, Питер. «Типы системы доказательств» (PDF) . п. 4.

Внешние ссылки

• «Соединение», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Соединение
• «Таблица свойств и истинности предложений AND». Архивировано из оригинала 6 мая 2017 года.