Пара (механики)

В физике пара сил — это система сил с результирующим (или чистым или суммарным) моментом силы, но без результирующей силы. ^[1]

Более описательный термин — пара сил или чистый момент . Его эффект заключается в придании углового момента , но не линейного импульса . В динамике твердого тела пары сил являются свободными векторами , то есть их воздействие на тело не зависит от точки приложения.

Результирующий момент пары является частным случаем момента. Пара обладает тем свойством, что она не зависит от точки отсчета.

Простая пара

Определение

Пара сил — это пара сил, равных по величине, противоположно направленных и смещенных на перпендикулярное расстояние или момент.

Простейший вид пары состоит из двух равных и противоположных сил , линии действия которых не совпадают. Это называется «простой парой». ^[1] Силы имеют вращающий эффект или момент, называемый крутящим моментом, относительно оси, которая нормальна (перпендикулярна) к плоскости сил. Единицей СИ для крутящего момента пары является ньютон-метр .

Если две силы равны $F$ и $- F$ , то величина крутящего момента определяется по следующей формуле: где $\tau =Fd$

$\tau$ это момент пары
$F$ — величина силы
$d$ — перпендикулярное расстояние (момент) между двумя параллельными силами

Величина крутящего момента равна $F • d$ , с направлением крутящего момента, заданным единичным вектором , который перпендикулярен плоскости, содержащей две силы, и положительным, являющимся парой против часовой стрелки. Когда $d$ $берется$ как вектор между точками действия сил, то крутящий момент является векторным произведением d и $F$ , т.е. ${\hat {e}}$ $\mathbf {\tau } =|\mathbf {d} \times \mathbf {F} |.$

Независимость от точки отсчета

Момент силы определяется только относительно определенной точки $P$ (говорят, что это «момент относительно $P$ »), и, в общем случае, когда $P$ изменяется, момент изменяется. Однако момент (крутящий момент) пары не зависит от точки отсчета $P$ : любая точка даст тот же самый момент. ^[1] Другими словами, пара, в отличие от любых более общих моментов, является «свободным вектором». (Этот факт называется теоремой Вариньона о втором моменте .) ^[2]

Доказательство этого утверждения следующее: предположим, что имеется набор векторов силы $F 1 , F$ $2$ $и$ т . $д$ ., которые образуют пару с векторами положения (вокруг некоторого начала координат $P$ ), $r$ $1$ , $r$ $2$ и т. д. соответственно. Момент относительно $P$ равен

M=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots

Теперь выберем новую точку отсчета $P'$ , которая отличается от $P$ на вектор $r$ . Новый момент равен

M'=(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{2}+\cdots

Теперь распределительное свойство векторного произведения подразумевает

M'=\left(\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots \right)+\mathbf {r} \times \left(\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots \right).

Однако определение пары сил означает, что

\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots =0.

Поэтому,

M'=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots =M

Это доказывает, что момент не зависит от точки отсчета, что является доказательством того, что пара является свободным вектором.

Силы и пары

Сила F, приложенная к твердому телу на расстоянии d от центра масс, имеет тот же эффект, что и та же сила, приложенная непосредственно к центру масс и паре Cℓ = Fd . Пара создает угловое ускорение твердого тела под прямым углом к плоскости пары. ^[3] Сила в центре масс ускоряет тело в направлении силы без изменения ориентации. Общие теоремы таковы: ^[3]

Одну силу, действующую в любой точке O′ твердого тела, можно заменить равной и параллельной силой F, действующей в любой заданной точке O , и парой сил, параллельных F , момент которых равен M = Fd , где d — расстояние между O и O′ . И наоборот, пару и силу в плоскости пары можно заменить одной силой, соответствующим образом расположенной.

Любую пару можно заменить другой в той же плоскости, того же направления и момента, имеющей любую желаемую силу или любое желаемое плечо. ^[3]

Приложения

Пары очень важны в инженерии и физических науках. Вот несколько примеров:

Силы, прилагаемые рукой к отвертке
Силы, оказываемые кончиком отвертки на головку винта
Силы сопротивления, действующие на вращающийся пропеллер
Силы, действующие на электрический диполь в однородном электрическом поле
Система управления реакцией на космическом корабле
Усилие, прикладываемое руками к рулевому колесу
«Качающиеся пары» — это регулярный дисбаланс, вызывающий вибрацию.

Смотрите также

Ссылки

^ abc Динамика, теория и приложения Т. Р. Кейна и Д. А. Левинсона, 1985, стр. 90-99: Бесплатная загрузка
^ Инженерная механика: Равновесие , авторы C. Hartsuijker, JW Welleman, стр. 64 Ссылка на веб-сайт
^ abc Огастес Джей Дюбуа (1902). Механика машиностроения, том 1. Wiley. стр. 186.

HF Girvin (1938) Прикладная механика , §28 Пары, стр. 33,4, Скрантон, Пенсильвания: Международная компания по изучению учебников.