Связная система единиц — это система единиц измерения , используемая для выражения физических величин, которые определены таким образом, что уравнения, связывающие числовые величины, выраженные в единицах системы, имеют точно такую же форму, включая числовые коэффициенты, что и соответствующие уравнения, непосредственно связывающие величины. [1] [2] Это система, в которой каждая величина имеет уникальную единицу измерения или систему, в которой не используются коэффициенты пересчета . [3]
Связной производной единицей называется производная единица , которая для данной системы величин и для выбранного набора основных единиц является произведением степеней основных единиц с коэффициентом пропорциональности , равным единице. [1]
Если система величин имеет уравнения, связывающие величины, и связанная с ней система единиц имеет соответствующие базовые единицы, причем только одна единица для каждой базовой величины, то она является когерентной тогда и только тогда, когда каждая производная единица системы когерентна.
Концепция согласованности была разработана в середине девятнадцатого века, среди прочих, Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом и поддержана Британской научной ассоциацией . Первоначально эта концепция была применена к системе единиц сантиметр-грамм-секунда (CGS) в 1873 году и к системе единиц фут-фунт-секунда (FPS) в 1875 году . Международная система единиц (СИ) была разработана в 1960 году на основе принципа согласованности. .
В системе СИ производная единица м/с является последовательной производной единицей скорости, но км / ч не является последовательной производной единицей. Скорость определяется изменением расстояния, разделенным на изменение во времени. Производная единица м/с использует базовые единицы системы СИ. [1] Для получения производной единицы км/ч числовые коэффициенты соотносятся с базовыми единицами СИ:1000 м/км и3600 с/ч .
В системе СГС м/с не является производной единицей измерения. Численный коэффициент100 см/м необходимо для выражения м/с в системе СГС.
Самые ранние единицы измерения, изобретенные человечеством, не имели никакой связи друг с другом . По мере развития человеческого понимания философских концепций и организации общества , единицы измерения были стандартизированы – сначала отдельные единицы измерения имели одинаковое значение во всем сообществе , затем были даны разные единицы одной и той же величины (например, футы и дюймы). фиксированные отношения. За исключением Древнего Китая , где единицы емкости и массы были связаны с семенами красного проса , до эпохи Просвещения имеется мало свидетельств связи различных величин . [4]
История измерения длины восходит к ранним цивилизациям Ближнего Востока (10 000–8 000 гг. до н. э.). Археологам удалось восстановить единицы измерения, использовавшиеся в Месопотамии , Индии , еврейской культуре и многих других странах. Археологические и другие данные показывают, что во многих цивилизациях соотношения между различными единицами измерения одной и той же величины были скорректированы так, чтобы они были целыми числами. Во многих ранних культурах, таких как Древний Египет , не всегда использовались числа, кратные 2, 3 и 5: египетский царский локоть составлял 28 пальцев или 7 рук . [5] В 2150 году до нашей эры аккадский император Нарам-Син рационализировал вавилонскую систему измерения, приведя соотношения многих единиц измерения к кратным 2, 3 или 5, например , в шу- си ( палец ) и 30 шу-си в куше ( локте ). [6]
Несоизмеримые величины имеют разные физические размерности , а значит, их сложение или вычитание не имеет смысла . Например, добавление массы объекта к его объему не имеет физического смысла. Однако новые величины (и, как таковые, единицы) могут быть получены путем умножения и возведения в степень других единиц. Например, единицей силы в системе СИ является ньютон , который определяется как кг⋅м⋅с -2 . Поскольку когерентной производной единицей является единица, которая определяется посредством умножения и возведения в степень других единиц, но не умножается на какой-либо масштабный коэффициент, кроме 1, паскаль является когерентной единицей давления (определяемой как кг⋅м −1 ⋅с −2 ), но полоса (определяемая как100 000 кг⋅м −1 ⋅с −2 ) нет.
Обратите внимание, что согласованность данной единицы зависит от определения базовых единиц. Если стандартная единица длины изменится так, что она станет короче в раз100 000 , то столбец будет последовательной производной единицей. Однако связная единица остается связной (а некогерентная единица остается некогерентной), если базовые единицы переопределяются в терминах других единиц, при этом числовой коэффициент всегда равен единице.
Понятие связности было введено в метрическую систему лишь в третьей четверти девятнадцатого века; В своей первоначальной форме метрическая система была непоследовательной – в частности, литр составлял 0,001 м 3 , а ар (от которого мы получаем гектар ) – 100 м 2 . Однако предшественником концепции согласованности было то, что единицы массы и длины были связаны друг с другом через физические свойства воды, причем грамм был задуман как масса одного кубического сантиметра воды при температуре ее замерзания. [7]
Система СГС имела две единицы энергии: эрг , связанный с механикой , и калорию , связанную с тепловой энергией , поэтому только одна из них (эрг, эквивалентный г⋅см 2 /с 2 ) могла нести когерентную величину. отношение к базовым единицам. Напротив, когерентность была целью разработки СИ, в результате чего определялась только одна единица энергии – джоуль . [8]
Каждый вариант метрической системы имеет определенную степень согласованности: различные производные единицы напрямую связаны с базовыми единицами без необходимости использования промежуточных коэффициентов перевода. [1] Дополнительным критерием является то, что, например, в когерентной системе единицы силы , энергии и мощности выбираются так, чтобы уравнения
выполняются без введения постоянных факторов. Как только набор когерентных единиц будет определен, другие соотношения в физике, в которых используются эти единицы, автоматически станут истинными – уравнение массы-энергии Эйнштейна , E = mc 2 , не требует посторонних констант, когда выражается в когерентных единицах. [9]
Айзек Азимов писал: «В системе СГС единица силы описывается как сила, которая вызывает ускорение 1 см/сек 2 при массе 1 грамм. Таким образом, единица силы равна 1 см/сек 2 , умноженному на 1 грамм. " [10] Это независимые заявления. Первое — это определение; второй нет. Первое подразумевает, что константа пропорциональности в законе силы имеет величину, равную единице; второе подразумевает, что оно безразмерно. Азимов использует их обоих вместе, чтобы доказать, что это чистый номер один.
Вывод Азимова не единственно возможный. В системе, которая использует единицы измерения фут (фут) для длины, секунду (с) для времени, фунт (фунт) для массы и фунт-сила (фунт-сила) для силы, действует закон, связывающий силу ( F ) и массу ( м ). , а ускорение ( а ) равно F = 0,031081 мА . Поскольку константа пропорциональности здесь безразмерна и единицы в любом уравнении должны уравновешиваться без какого-либо числового коэффициента, кроме единицы, отсюда следует, что 1 фунт-сила = 1 фунт-фут/с 2 . Этот вывод кажется парадоксальным с точки зрения конкурирующих систем, согласно которым F = ma и 1 фунт-сила = 32,174 фунт-фут/с 2 . Хотя фунт-сила является когерентной производной единицей в этой системе согласно официальному определению, сама система не считается когерентной из-за присутствия константы пропорциональности в законе силы.
В варианте этой системы для константы пропорциональности применяется единица с 2 /фут. Это приводит к отождествлению фунта-силы с фунтом. Тогда фунт является одновременно базовой единицей массы и производной единицей силы. К константе пропорциональности можно применить любую единицу измерения. Если к нему применить единицу s 2 /фунт, то фут станет единицей силы. В четырехединичной системе ( английские инженерные единицы ) фунт и фунт-сила являются разными базовыми единицами, а константа пропорциональности имеет единицу измерения фунт-сила-с 2 /(фунт-фут). [11] [12]
Все эти системы взаимосвязаны. Одна из них — это система трех единиц (также называемая английскими инженерными единицами), в которой F = ma , в которой используются фунт и фунт-сила, одна из которых является базовой единицей, а другая — некогерентной производной единицей. Вместо явной константы пропорциональности в этой системе используются коэффициенты пересчета, полученные из соотношения 1 фунт-сила = 32,174 фунт-фут/с 2 . В численных расчетах она неотличима от четырехзначной системы, поскольку то, что в последней является константой пропорциональности, в первой является коэффициентом пересчета. Отношение числовых значений величин в законе силы равно { F } = 0,031081 { m } { a }, где фигурные скобки обозначают числовые значения входящих в них величин. В отличие от этой системы, в связной системе отношения между числовыми значениями величин такие же, как и отношения между самими величинами.
Следующий пример касается определений величин и единиц измерения. (Средняя) скорость ( v ) объекта определяется как количественное физическое свойство объекта, которое прямо пропорционально расстоянию ( d ), пройденному объектом, и обратно пропорционально времени ( t ) путешествия, т. е. v = kd / t , где k — константа, зависящая от используемых единиц измерения. Предположим, что метр (м) и секунда (с) являются основными единицами измерения; тогда километр (км) и час (ч) являются некогерентными производными единицами. Метр в секунду (м/с) определяется как скорость объекта, который проходит один метр за одну секунду, а километр в час (км/ч) определяется как скорость объекта, который проходит один километр за один час. Подставляя определения единиц в определяющее уравнение скорости, получаем: 1 миль в секунду = км /с и 1 км/ч = k км/ч = 1/3,6 км /с = 1/3,6 миль в секунду. Теперь выберите k = 1; тогда метр в секунду — это когерентная производная единица, а километр в час — некогерентная производная единица. Предположим, что мы решили использовать километр в час в качестве единицы скорости в системе. Тогда система становится некогерентной, и уравнение численного значения скорости принимает вид { v } = 3,6 { d }/{ t }. Когерентность можно восстановить, не меняя единиц измерения, выбрав k = 3,6; тогда километр в час — это когерентная производная единица, 1 км/ч = 1 м/с, а метр в секунду — некогерентная производная единица, 1 миля в секунду = 3,6 м/с.
Определение физической величины — это утверждение, которое определяет соотношение любых двух экземпляров величины. Указание значения любого постоянного коэффициента не является частью определения, поскольку оно не влияет на соотношение. Определение скорости, приведенное выше, удовлетворяет этому требованию, поскольку из него следует, что v 1 / v 2 = ( d 1 / d 2 )/( t 1 / t 2 ); таким образом, если определены отношения расстояний и времен, то также определено и отношение скоростей. Определение единицы физической величины — это утверждение, определяющее отношение любого экземпляра величины к единице. Это соотношение представляет собой числовое значение количества или количества единиц, содержащихся в количестве. Приведенное выше определение метра в секунду удовлетворяет этому требованию, поскольку оно вместе с определением скорости подразумевает, что v /mps = ( d /m)/( t /s); таким образом, если определены отношения расстояния и времени к их единицам, то также определено и отношение скорости к ее единицам. Определение само по себе недостаточно, поскольку оно определяет соотношение только в одном конкретном случае; его можно рассматривать как демонстрацию образца устройства.
Новую связную единицу нельзя определить, просто выражая ее алгебраически через уже определенные единицы. Таким образом, утверждение: «метр в секунду равен одному метру, разделенному на одну секунду», само по себе не является определением. Это не подразумевает, что определяется единица скорости, и если этот факт добавлен, он не определяет величину единицы, поскольку это зависит от системы единиц. Чтобы оно стало правильным определением, необходимо указать как величину, так и определяющее уравнение, включая значение любого постоянного коэффициента. Однако после того, как единица определена таким образом, она имеет величину, независимую от какой-либо системы единиц.
В этом списке перечислены последовательные отношения в различных системах единиц.
Ниже приводится список величин с соответствующими когерентными единицами СИ:
Ниже приводится список согласованной системы единиц сантиметр-грамм-секунда (CGS):
Ниже приводится список последовательной системы единиц фут-фунт-секунда (FPS):
{{citation}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )