Эрмитовский сопряженный

Сопряженное транспонирование оператора в бесконечных измерениях

В математике , особенно в теории операторов , каждый линейный оператор в пространстве внутреннего произведения определяет эрмитовский присоединенный (или сопряженный ) оператор в этом пространстве в соответствии с правилом ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,}$

где - скалярный продукт векторного пространства . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Сопряженное также можно назвать эрмитовым сопряженным или просто эрмитовым ^[1] в честь Чарльза Эрмита . В таких областях, как физика , его часто обозначают буквой A ^† , особенно когда он используется вместе с обозначением скобок в квантовой механике . В конечных размерностях , где операторы могут быть представлены матрицами , эрмитово сопряженное задается сопряженным транспонированием (также известным как эрмитово транспонирование).

Приведенное выше определение сопряженного оператора дословно распространяется на ограниченные линейные операторы в гильбертовых пространствах . Определение было расширено и теперь включает неограниченные плотно определенные операторы, область определения которых топологически плотна , но не обязательно равна: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$

Неформальное определение

Рассмотрим линейное отображение гильбертовых пространств . Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что сопряженный оператор — это линейный оператор (в большинстве случаев однозначно определенный), удовлетворяющий условиям ${\displaystyle A:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle A^{*}:H_{2}\to H_{1}}$

${\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},}$

где — скалярное произведение в гильбертовом пространстве , линейное по первой координате и сопряженное линейное по второй координате. Обратите внимание на особый случай, когда оба гильбертовых пространства идентичны и являются оператором в этом гильбертовом пространстве. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle A}$

Когда кто-то обменивает внутренний продукт на дуальную пару , можно определить сопряженный, также называемый транспонированием , оператора , где - банаховы пространства с соответствующими нормами . Здесь (опять же без учета каких-либо технических подробностей) его сопряженный оператор определяется как ${\displaystyle A:E\to F}$ ${\displaystyle E,F}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}}$ ${\displaystyle A^{*}:F^{*}\to E^{*}}$

${\displaystyle A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),}$

Т.е., для . ${\displaystyle \left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)}$ ${\displaystyle f\in F^{*},u\in E}$

Приведенное выше определение в контексте гильбертова пространства на самом деле является просто применением случая банахового пространства, когда кто-то отождествляет гильбертово пространство с его двойственным. Тогда вполне естественно, что мы также можем получить сопряженный оператор , где – гильбертово пространство, а – банахово пространство. Двойственный тогда определяется как с таким, что ${\displaystyle A:H\to E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}$ ${\displaystyle A^{*}f=h_{f}}$

${\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).}$

Определение неограниченных операторов между банаховыми пространствами

Пусть – банаховы пространства . Предположим и , и предположим, что это (возможно, неограниченный) линейный оператор, который плотно определен (т. е. плотен в ). Тогда его сопряженный оператор определяется следующим образом. Домен ${\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)}$ ${\displaystyle A:D(A)\to F}$ ${\displaystyle D(A)\subset E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}.}$

Теперь для произвольного, но фиксированного значения мы устанавливаем с помощью . По выбору и определению f является (равномерно) непрерывным при . Тогда по теореме Хана-Банаха или, альтернативно, посредством расширения по непрерывности, это дает расширение , называемое , определенное на всех . Эта формальность необходима для того, чтобы позже получить ее в качестве оператора вместо. Обратите также внимание, что это не означает, что расширение может быть расширено на все элементы , но расширение работает только для определенных элементов . ${\displaystyle g\in D(A^{*})}$ ${\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(u)=g(Au)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D(A^{*})}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle |f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}$ ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g\in D\left(A^{*}\right)}$

Теперь мы можем определить сопряженное как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}.\end{aligned}}}$

Таким образом, фундаментальная определяющая идентичность

${\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)}$для ${\displaystyle u\in D(A).}$

Определение ограниченных операторов в гильбертовых пространствах

Предположим, что H — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением . Рассмотрим непрерывный линейный оператор A  : H → H (для линейных операторов непрерывность эквивалентна ограниченности оператора ). Тогда сопряженным к A является непрерывный линейный оператор A ^∗  : H → H , удовлетворяющий условию ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.}$

Существование и единственность этого оператора следует из теоремы о представлении Рисса . ^[2]

Это можно рассматривать как обобщение присоединенной матрицы к квадратной матрице, которая обладает аналогичным свойством и включает стандартный комплексный скалярный продукт.

Характеристики

Непосредственно очевидны следующие свойства эрмитова сопряженного ограниченного оператора : ^[2]

1. Инволютивность : A ^∗∗ = A
2. Если A обратим, то обратим и A ^∗ , причём ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
3. Сопряженная линейность :
   • ( А + B ) ^{* знак} равно А ^* + B ^*
   • ( λA ) ^∗ = λ A ^∗ , где λ обозначает комплексно-сопряженное комплексное число λ
4. « Антидистрибутивность »: ( AB ) ^* = B ^* A ^*

Если мы определим операторную норму A как

${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}$

затем

${\displaystyle \left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.}$^[2]

Более того,

${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.}$^[2]

Говорят, что норма, удовлетворяющая этому условию, ведет себя как «наибольшая величина», экстраполируя случай самосопряженных операторов.

Множество ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве H вместе с присоединенной операцией и операторной нормой образуют прототип C*-алгебры .

Сопряженный к плотно определенным неограниченным операторам между гильбертовыми пространствами

Определение

Пусть скалярное произведение линейно по первому аргументу. Плотно определенный оператор A из комплексного гильбертова пространства H в себя — это линейный оператор, область определения D (A) которого является плотным линейным подпространством H и чьи значения лежат в H. ^[3] По определению, областью D ( A ^∗ ) сопряженного с ним A ^∗ называется множество всех y ∈ H , для которых существует z ∈ H , удовлетворяющий условиям ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A).}$

В силу плотности и теоремы о представлении Рисса , однозначно определено и по определению ^[4] ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A^{*}y=z.}$

Свойства 1.–5. придерживайтесь соответствующих положений о доменах и кодоменах . ^{[ необходимо пояснение ]} Например, последнее свойство теперь гласит, что ( AB ) ^∗ является расширением B ^∗ A ^∗ , если A , B и AB — плотно определенные операторы. ^[5]

кер A * =(im A) ⊥

Для каждого линейный функционал тождественно равен нулю, а значит, ${\displaystyle y\in \ker A^{*},}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$ ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.}$

И наоборот, предположение, согласно которому функционал равен тождественному нулю. Поскольку функционал очевидно ограничен, определение гарантирует, что Тот факт, что для каждого показывает, что данное является плотным. ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle }$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle y\in D(A^{*}).}$ ${\displaystyle x\in D(A),}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0}$ ${\displaystyle A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},}$ ${\displaystyle D(A)}$

Это свойство показывает, что это топологически замкнутое подпространство, даже если это не так. ${\displaystyle \operatorname {ker} A^{*}}$ ${\displaystyle D(A^{*})}$

Геометрическая интерпретация

Если и являются гильбертовыми пространствами, то это гильбертово пространство со скалярным произведением ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}}$

${\displaystyle {\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},}$

где и ${\displaystyle a,c\in H_{1}}$ ${\displaystyle b,d\in H_{2}.}$

Пусть – симплектическое отображение , т.е. тогда граф ${\displaystyle J\colon H\oplus H\to H\oplus H}$ ${\displaystyle J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).}$

${\displaystyle G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H}$

of является ортогональным дополнением ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle JG(A):}$

${\displaystyle G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.}$

Утверждение следует из эквивалентностей

${\displaystyle {\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,}$

и

${\displaystyle {\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.}$

Следствия

А ^* закрыто

Оператор замкнут , если график топологически замкнут в. График сопряженного оператора является ортогональным дополнением подпространства и, следовательно, замкнут. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle H\oplus H.}$ ${\displaystyle G(A^{*})}$ ${\displaystyle A^{*}}$

A ^* плотно определен ⇔ A замыкаемо

Оператор называется замыкаемым , если топологическое замыкание графика является графиком функции. Поскольку это (замкнутое) линейное подпространство, слово «функция» можно заменить на «линейный оператор». По той же причине замыкается тогда и только тогда, когда, если только ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle v=0.}$

Сопряженное соединение плотно определено тогда и только тогда, когда оно замыкаемо. Это следует из того, что для каждого ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v\in H,}$

${\displaystyle v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),}$

что, в свою очередь, доказывается следующей цепочкой эквивалентностей:

${\displaystyle {\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}}$

А ^** = А ^кл

Замыканием оператора называется оператор, график которого равен, если этот график представляет функцию. Как и выше, слово «функция» может быть заменено на «оператор». Кроме того, это означает, что ${\displaystyle A^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A^{**}=A^{\text{cl}},}$ ${\displaystyle G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).}$

Чтобы доказать это, заметим, что т.е. для каждого Действительно, ${\displaystyle J^{*}=-J,}$ ${\displaystyle \langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},}$ ${\displaystyle x,y\in H\oplus H.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}}$

В частности, для любого подпространства тогда и только тогда , когда Таким образом и Подстановкой получается ${\displaystyle y\in H\oplus H}$ ${\displaystyle V\subseteq H\oplus H,}$ ${\displaystyle y\in (JV)^{\perp }}$ ${\displaystyle Jy\in V^{\perp }.}$ ${\displaystyle J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }}$ ${\displaystyle [J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.}$ ${\displaystyle V=G(A),}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).}$

А ^* = (А ^кл ) ^*

Для закрывающегося оператора это означает, что Действительно, ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},}$ ${\displaystyle G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).}$

${\displaystyle G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).}$

Контрпример, когда сопряженное не определено плотно

Пусть где – линейная мера. Выберите измеримую, ограниченную, неидентично нулевую функцию и нажмите «Определить». ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ ${\displaystyle \varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.}$

${\displaystyle A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.}$

Отсюда следует, что подпространство содержит все функции с компактным носителем. Поскольку плотно определено. Для каждого и ${\displaystyle D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi \in D(A)}$ ${\displaystyle \psi \in D(A^{*}),}$

${\displaystyle \langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .}$

Таким образом, определение сопряженного оператора требует, чтобы Поскольку это возможно только в том случае, если По этой причине, Следовательно, он не определен плотно и равен тождественному нулю на В результате, он не является замыкаемым и не имеет второго сопряженного оператора. ${\displaystyle A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.}$ ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ ${\displaystyle \langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.}$ ${\displaystyle D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle D(A^{*}).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{**}.}$

Эрмитовы операторы

Ограниченный оператор A :  H → H называется эрмитовым или самосопряженным , если

${\displaystyle A=A^{*}}$

что эквивалентно

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.}$^[6]

В некотором смысле эти операторы играют роль действительных чисел (будучи равными своему «комплексно-сопряжённому») и образуют вещественное векторное пространство . Они служат моделью вещественных наблюдаемых в квантовой механике . Подробное описание см. в статье о самосопряженных операторах .

Сопряженные к сопряженно-линейным операторам

Для сопряженно-линейного оператора определение сопряженного необходимо скорректировать, чтобы компенсировать комплексное сопряжение. Сопряженным оператором сопряженно-линейному оператору A в комплексном гильбертовом пространстве H является сопряженно-линейный оператор A ^∗  : H → H со свойством:

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.}$

Другие сопряжения

Уравнение

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }$

формально аналогично определяющим свойствам пар сопряженных функторов в теории категорий , и именно отсюда сопряженные функторы получили свое название.

Смотрите также

• Математические концепции
  • Эрмитовский оператор
  • Норма (математика)
  • Транспонирование линейных карт
  • Сопряженное транспонирование
• Физические приложения
  • Оператор (физика)
  • †-алгебра

Рекомендации

1. Миллер, Дэвид AB (2008). Квантовая механика для ученых и инженеров . Издательство Кембриджского университета. стр. 262, 280.
2. Reed & Simon 2003, стр. 186–187; Рудин 1991, §12.9
3. Подробности см . в разделе «Неограниченный оператор» .
4. Рид и Саймон 2003, с. 252; Рудин 1991, §13.1
5. Рудин 1991, Thm 13.2.
6. Рид и Саймон 2003, стр. 187; Рудин 1991, §12.11

• Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных (первое издание), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (2003), Функциональный анализ , Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.