Матрица-компаньон

Квадратная матрица, построенная из монического полинома

В линейной алгебре матрица Фробениуса для монического многочлена представляет собой квадратную матрицу, определяемую как $${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$$

$${\displaystyle C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

Некоторые авторы используют транспонирование этой матрицы, что более удобно для некоторых целей, таких как линейные рекуррентные соотношения (см. ниже). ${\displaystyle C(p)^{T}}$

${\displaystyle C(p)}$определяется из коэффициентов , в то время как характеристический многочлен и минимальный многочлен равны . [ ^1] В этом смысле матрица и многочлен являются «товарищами». ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle p(x)}$

Сходство с сопутствующей матрицей

Любая матрица A с элементами в поле F имеет характеристический многочлен , который в свою очередь имеет сопутствующую матрицу . Эти матрицы связаны следующим образом. ${\displaystyle p(x)=\det(xI-A)}$ ${\displaystyle C(p)}$

Следующие утверждения эквивалентны:

• A подобен над F матрице , т.е. A может быть сопряжена со своей сопутствующей матрицей с помощью матриц из GL _n ( F ) ; ${\displaystyle C(p)}$
• характеристический многочлен совпадает с минимальным многочленом A , т.е. минимальный многочлен имеет степень n ; ${\displaystyle p(x)}$
• линейное отображение образует циклический -модуль , имеющий базис вида ; или, что эквивалентно, -модули . ${\displaystyle A:F^{n}\to F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F[A]}$ ${\displaystyle \{v,Av,\ldots ,A^{n-1}v\}}$ ${\displaystyle F^{n}\cong F[X]/(p(x))}$ ${\displaystyle F[A]}$

Если вышеизложенное выполняется, то говорят, что А не является уничижительным .

Не каждая квадратная матрица похожа на матрицу-компаньон, но каждая квадратная матрица похожа на блочно-диагональную матрицу, составленную из матриц-компаньонов. Если мы также потребуем , чтобы многочлен каждого диагонального блока делил следующий, они однозначно определяются A , и это дает рациональную каноническую форму A .

Диагонализуемость

Корни характеристического многочлена являются собственными значениями . Если имеется n различных собственных значений , то диагонализируется как , где D — диагональная матрица, а V — матрица Вандермонда, соответствующая λ : Действительно, простое вычисление показывает, что транспонирование имеет собственные векторы с , что следует из . Таким образом, его диагонализирующее изменение базисной матрицы равно , то есть , и взятие транспонирования обеих сторон дает . ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$ $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&\lambda _{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}\end{bmatrix}},\qquad V={\begin{bmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{1}^{n}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{2}^{n}\\[-1em]\vdots &\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}^{n}\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle C(p)^{T}}$ ${\displaystyle v_{i}=(1,\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{i}^{n-1})}$ ${\displaystyle C(p)^{T}\!(v_{i})=\lambda _{i}v_{i}}$ ${\displaystyle p(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}+\lambda _{i}^{n}=0}$ ${\displaystyle V^{T}=[v_{1}^{T}\ldots v_{n}^{T}]}$ ${\displaystyle C(p)^{T}=V^{T}D\,(V^{T})^{-1}}$ ${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$

Собственные векторы можно прочитать из уравнения : они являются векторами-столбцами обратной матрицы Вандермонда . Эта матрица известна явно, давая собственные векторы , с координатами, равными коэффициентам полиномов Лагранжа Альтернативно, масштабированные собственные векторы имеют более простые коэффициенты. ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle C(p)(w_{i})=\lambda _{i}w_{i}}$ ${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$ ${\displaystyle V^{-1}=[w_{1}^{T}\cdots w_{n}^{T}]}$ ${\displaystyle w_{i}=(L_{0i},\ldots ,L_{(n-1)i})}$ $${\displaystyle L_{i}(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}x^{n-1}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}={\frac {p(x)}{(x-\lambda _{i})\,p'(\lambda _{i})}}.}$$ ${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=p'\!(\lambda _{i})\,w_{i}}$

Если имеет несколько корней, то не диагонализуемо. Вместо этого каноническая форма Жордана содержит один диагональный блок для каждого отдельного корня, блок m × m с на диагонали, если корень имеет кратность m . ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Линейные рекурсивные последовательности

Линейная рекурсивная последовательность, определенная с помощью для, имеет характеристический многочлен , транспонированная матрица-компаньон которого генерирует последовательность: Вектор является собственным вектором этой матрицы, где собственное значение является корнем . Установка начальных значений последовательности, равных этому вектору, дает геометрическую последовательность , которая удовлетворяет рекуррентности. В случае n различных собственных значений произвольное решение может быть записано как линейная комбинация таких геометрических решений, а собственные значения наибольшей комплексной нормы дают асимптотическое приближение . ${\displaystyle a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}\cdots -c_{n-1}a_{k+n-1}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$ ${\displaystyle C(p)^{T}}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\\a_{k+n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle v=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a_{k}=\lambda ^{k}}$ ${\displaystyle a_{k}}$

От линейной системы ОДУ к линейной системе ОДУ первого порядка

Аналогично приведенному выше случаю линейных рекурсий рассмотрим однородное линейное ОДУ порядка n для скалярной функции : Его можно эквивалентно описать как связанную систему однородных линейных ОДУ порядка 1 для векторной функции : где — транспонированная сопутствующая матрица для характеристического полинома. Здесь коэффициенты также могут быть функциями, а не только константами. ${\displaystyle y=y(t)}$ $${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=0.}$$ ${\displaystyle z(t)=(y(t),y'(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))}$ $${\displaystyle z'=C(p)^{T}z}$$ ${\displaystyle C(p)^{T}}$ $${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}.}$$ ${\displaystyle c_{i}=c_{i}(t)}$

Если диагонализуемо, то диагонализирующее изменение базиса преобразует его в разъединенную систему, эквивалентную одному скалярному однородному линейному ОДУ первого порядка в каждой координате. ${\displaystyle C(p)^{T}}$

Неоднородное уравнение эквивалентно системе: с членом неоднородности . $${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=f(t)}$$ $${\displaystyle z'=C(p)^{T}z+F(t)}$$ ${\displaystyle F(t)=(0,\ldots ,0,f(t))}$

Опять же, диагонализирующее изменение базиса преобразует это в развязанную систему скалярных неоднородных линейных ОДУ первого порядка.

Матрица циклического сдвига

В случае , когда собственные значения являются комплексными корнями из единицы , сопутствующая матрица и ее транспонированная матрица сводятся к матрице циклического сдвига Сильвестра , циркулянтной матрице . ${\displaystyle p(x)=x^{n}-1}$

Карта умножения на простом расширении поля

Рассмотрим многочлен с коэффициентами в поле , и предположим, что является неприводимым в кольце многочленов . Тогда присоединение корня из дает расширение поля , которое также является векторным пространством над со стандартным базисом . Тогда отображение -линейного умножения ${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle K=F(\lambda )\cong F[x]/(p(x))}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1}\}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle m_{\lambda }:K\to K}$ определяется ${\displaystyle m_{\lambda }(\alpha )=\lambda \alpha }$

имеет матрицу n × n относительно стандартного базиса. Так как и , это сопутствующая матрица для : Предполагая, что это расширение сепарабельно (например, если имеет характеристику ноль или является конечным полем ), имеет различные корни с , так что и имеет поле расщепления . Теперь не диагонализуемо над ; вместо этого мы должны расширить его до -линейного отображения на , векторного пространства над со стандартным базисом , содержащего векторы . Расширенное отображение определяется как . ${\displaystyle [m_{\lambda }]}$ ${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{i})=\lambda ^{i+1}}$ ${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{n-1})=\lambda ^{n}=-c_{0}-\cdots -c_{n-1}\lambda ^{n-1}}$ ${\displaystyle p(x)}$ $${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p).}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda }$ $${\displaystyle p(x)=(x-\lambda _{1})\cdots (x-\lambda _{n}),}$$ ${\displaystyle L=F(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle m_{\lambda }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{n}\cong L\otimes _{F}K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{1{\otimes }1,\,1{\otimes }\lambda ,\,1{\otimes }\lambda ^{2},\ldots ,1{\otimes }\lambda ^{n-1}\}}$ ${\displaystyle w=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})=\beta _{1}{\otimes }1+\cdots +\beta _{n}{\otimes }\lambda ^{n-1}}$ ${\displaystyle m_{\lambda }(\beta \otimes \alpha )=\beta \otimes (\lambda \alpha )}$

Матрица не меняется, но, как и выше, ее можно диагонализировать матрицами с элементами в : для диагональной матрицы и матрицы Вандермонда V , соответствующей . Явная формула для собственных векторов (масштабированных векторов-столбцов обратной матрицы Вандермонда ) может быть записана как: где — коэффициенты масштабированного полинома Лагранжа ${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)=V^{-1}\!DV,}$$ ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in L}$ ${\displaystyle V^{-1}}$ $${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=\beta _{0i}{\otimes }1+\beta _{1i}{\otimes }\lambda +\cdots +\beta _{(n-1)i}{\otimes }\lambda ^{n-1}=\prod _{j\neq i}(1{\otimes }\lambda -\lambda _{j}{\otimes }1)}$$ ${\displaystyle \beta _{ij}\in L}$ $${\displaystyle {\frac {p(x)}{x-\lambda _{i}}}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})=\beta _{0i}+\beta _{1i}x+\cdots +\beta _{(n-1)i}x^{n-1}.}$$

Смотрите также

• Эндоморфизм Фробениуса
• Теорема Кэли–Гамильтона
• Подпространство Крылова

Примечания

1. Хорн, Роджер А.; Чарльз Р. Джонсон (1985). Матричный анализ. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. С. 146–147. ISBN  0-521-30586-1. Получено 10.02.2010 .