Величина (математика)

Свойство, определяющее сравнение и упорядочивание

В математике величина или размер математического объекта — это свойство, которое определяет, является ли объект больше или меньше других объектов того же типа . Более формально, величина объекта — это отображаемый результат упорядочения ( или ранжирования) класса объектов , к которому он принадлежит. Величина как концепция возникла в Древней Греции и применялась как мера расстояния от одного объекта к другому. Для чисел абсолютное значение числа обычно применяется как мера единиц между числом и нулем.

В векторных пространствах евклидова норма — это мера величины, используемая для определения расстояния между двумя точками пространства. В физике величину можно определить как количество или расстояние. Порядок величины обычно определяется как единица расстояния между одним числом и числовыми знаками другого в десятичной шкале.

История

Древние греки различали несколько типов величины, ^[1] в том числе:

• Положительные дроби
• Сегменты линий (отсортированы по длине )
• Плоские фигуры (упорядочены по площади )
• Твердые вещества (отсортированы по объему )
• Углы (в порядке угловой величины)

Они доказали, что первые две не могут быть одинаковыми или даже изоморфными системами величин. ^[2] Они не считали отрицательные величины значимыми, и величина до сих пор в основном используется в контекстах, в которых ноль является либо наименьшим размером, либо меньше всех возможных размеров.

Числа

Величину любого числа обычно называют его абсолютным значением или модулем , обозначаемым . ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$

Вещественные числа

Абсолютное значение действительного числа r определяется следующим образом: ^[4]

${\displaystyle \left|r\right|=r,{\text{ if }}r{\text{ ≥ }}0}$

${\displaystyle \left|r\right|=-r,{\text{ if }}r<0.}$

Абсолютное значение также можно рассматривать как расстояние числа от нуля на прямой числовой линии . Например, абсолютное значение как 70, так и -70 равно 70.

Комплексные числа

Комплексное число z можно рассматривать как положение точки P в двумерном пространстве , называемом комплексной плоскостью . Абсолютное значение (или модуль ) z можно рассматривать как расстояние P от начала этого пространства. Формула для абсолютного значения z = a + bi аналогична формуле для евклидовой нормы вектора в двумерном евклидовом пространстве : ^[5]

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

где действительные числа a и b представляют собой действительную и мнимую часть z соответственно. Например, модуль −3 + 4 i равен . Альтернативно, величина комплексного числа z может быть определена как квадратный корень из произведения самого себя и его комплексно-сопряженного числа , , где для любого комплексного числа его комплексно-сопряженное число равно . ${\displaystyle {\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle z=a+bi}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

(где ). ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Векторные пространства

Евклидово векторное пространство

Евклидов вектор представляет положение точки P в евклидовом пространстве . Геометрически его можно описать как стрелку от начала пространства (хвост вектора) к этой точке (кончик вектора). Математически вектор x в n -мерном евклидовом пространстве можно определить как упорядоченный список из n действительных чисел ( декартовы координаты P ): x = [ _x1 , _x2 , _... , xn ] . Его величина или длина , обозначаемая , ^[6] чаще всего определяется как его евклидова норма (или евклидова длина): ^[7] ${\displaystyle \|x\|}$

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Например, в трехмерном пространстве величина [3, 4, 12] равна 13, потому что это эквивалентно квадратному корню из скалярного произведения вектора с самим собой: ${\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}={\sqrt {169}}=13.}$

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.}$

Евклидова норма вектора — это всего лишь частный случай евклидова расстояния : расстояние между его хвостом и кончиком. Два аналогичных обозначения используются для евклидовой нормы вектора x :

1. ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|,}$
2. ${\displaystyle \left|\mathbf {x} \right|.}$

Недостатком второго обозначения является то, что его можно использовать и для обозначения абсолютного значения скаляров и определителей матриц , что вносит элемент неоднозначности .

Нормированные векторные пространства

По определению все евклидовы векторы имеют величину (см. выше). Однако вектор в абстрактном векторном пространстве не обладает величиной.

Векторное пространство , наделенное нормой , такое как евклидово пространство, называется нормированным векторным пространством . ^[8] Нормой вектора v в нормированном векторном пространстве можно считать величину v .

Псевдоевклидово пространство

В псевдоевклидовом пространстве величина вектора — это значение квадратичной формы этого вектора.

Логарифмические величины

При сравнении величин часто используют логарифмическую шкалу . Примеры включают громкость звука ( измеряется в децибелах ), яркость звезды и шкалу Рихтера интенсивности землетрясения . Логарифмические величины могут быть отрицательными. В естественных науках логарифмическую величину обычно называют уровнем .

Порядок величины

Порядки величины обозначают разницу в числовых величинах, обычно измерениях, в 10 раз, то есть разницу в одну цифру в расположении десятичной точки.

Другие математические меры

Неформально мера обладает свойством быть монотонной в том смысле, что если подмножество меры меньше или равно мере Более того, мера пустого множества должна быть равна 0. Простым примером является объем (насколько большой объект занимает пространство) как мера. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

В математике понятие меры — это обобщение и формализация геометрических мер ( длины , площади , объёма ) и других распространенных понятий, таких как величина, масса и вероятность событий. Эти, казалось бы, разные концепции имеют много общего и часто могут рассматриваться вместе в едином математическом контексте. Меры являются основополагающими в теории вероятностей и теории интегрирования , и их можно обобщить, приняв отрицательные значения , как в случае с электрическим зарядом . Далеко идущие обобщения меры (такие как спектральные меры и проекционнозначные меры ) широко используются в квантовой физике и физике в целом.

Интуиция, лежащая в основе этой концепции, восходит к Древней Греции , когда Архимед пытался вычислить площадь круга . Но только в конце 19 — начале 20 веков теория меры стала разделом математики. Основы современной теории меры были заложены в работах Эмиля Бореля , Анри Лебега , Николая Лузина , Иоганна Радона , Константина Каратеодори и Мориса Фреше и других.

Смотрите также

• Чувство числа
• Векторные обозначения
• Установить размер

Рекомендации

1. Хит, Томас Смд. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
2. Блох, Итан Д. (2011), Действительные числа и реальный анализ, Springer, стр. 52, ISBN 9780387721774– через Google Книги . Идея несоизмеримых пар длин отрезков была открыта в Древней Греции.
3. «Определение величины (Иллюстрированный математический словарь)» . mathsisfun.com . Проверено 23 августа 2020 г.
4. Мендельсон, Эллиотт (2008). Схема начального исчисления Шаума . МакГроу-Хилл Профессионал. п. 2. ISBN 978-0-07-148754-2.
5. Альфорс, Ларс В. (1953). Комплексный анализ . Токио: Макгроу Хилл Когакуша.
6. Никамп, Дуэйн. «Величина векторного определения». Математическое понимание . Проверено 23 августа 2020 г.
7. Говард Антон; Крис Роррес (12 апреля 2010 г.). Элементарная линейная алгебра: версия для приложений. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-43205-1– через Google Книги .
8. Голан, Джонатан С. (январь 2007 г.), Линейная алгебра, которую должен знать начинающий аспирант (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5