Спин-1/2

Тип вещества

Отдельная точка в пространстве может вращаться непрерывно, не запутываясь. Обратите внимание, что после вращения на 360° спираль переворачивается между ориентациями по часовой стрелке и против часовой стрелки. Она возвращается к своей первоначальной конфигурации после вращения на полные 720°.

В квантовой механике спин является внутренним свойством всех элементарных частиц . Все известные фермионы , частицы, составляющие обычную материю, имеют спин ⁠ 1 / 2 ⁠ . ^{[1] [2] [3]} Число спина описывает, сколько симметричных граней имеет частица за один полный оборот; спин ⁠ 1 / 2 ⁠ означает, что частица должна повернуться на два полных оборота (на 720°), прежде чем она будет иметь ту же конфигурацию, что и в начале.

Частицы, имеющие чистый спин ⁠ 1 / 2 ⁠, включают протон , нейтрон , электрон , нейтрино и кварки . Динамика объектов со спином ⁠ 1 / 2 ⁠ не может быть точно описана с помощью классической физики ; они являются одними из простейших систем, для описания которых требуется квантовая механика . Таким образом, изучение поведения систем со спином ⁠ 1 / 2 ⁠ составляет центральную часть квантовой механики .

Эксперимент Штерна–Герлаха

Необходимость введения полуцелого спина экспериментально восходит к результатам эксперимента Штерна-Герлаха . Пучок атомов пропускается через сильное неоднородное магнитное поле, которое затем разделяется на N частей в зависимости от собственного углового момента атомов. Было обнаружено, что для атомов серебра пучок разделяется на две части — поэтому основное состояние не может быть целым числом, потому что даже если бы собственный угловой момент атомов был наименьшим (ненулевым) возможным целым числом, 1, пучок был бы разделен на 3 части, соответствующие атомам с L _z  = −1, +1 и 0, причем 0 — это просто значение, которое, как известно, находится между −1 и +1, а также само по себе является целым числом и, таким образом, допустимым квантованным числом спина в этом случае. Существование этого гипотетического «дополнительного шага» между двумя поляризованными квантовыми состояниями потребовало бы третьего квантового состояния; третьего пучка, который не наблюдается в эксперименте. Вывод состоял в том, что атомы серебра имеют собственный угловой момент ⁠ 1 / 2 ⁠ . ^[1]

Общие свойства

Эвристическое описание конусов углового момента спина для частицы со спином ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Все объекты со спином 1/2 являются фермионами ( факт , объясняемый теоремой о спиновой статистике ) и удовлетворяют принципу исключения Паули . Частицы со спином 1/2 могут иметь постоянный магнитный момент вдоль направления своего спина, и этот магнитный момент приводит к электромагнитным взаимодействиям, зависящим от спина. Одним из таких эффектов, который сыграл важную роль в открытии спина, является эффект Зеемана — расщепление спектральной линии на несколько компонент в присутствии статического магнитного поля.

В отличие от более сложных квантово-механических систем, спин частицы со спином ⁠ 1 / 2 ⁠ может быть выражен как линейная комбинация всего двух собственных состояний , или собственных спиноров . Они традиционно обозначаются как спин вверх и спин вниз. Из-за этого квантово-механические операторы спина могут быть представлены в виде простых матриц 2 × 2. Эти матрицы называются матрицами Паули .

Операторы рождения и уничтожения могут быть построены для объектов со спином 1/2 ; они подчиняются тем же коммутационным соотношениям, что и другие операторы углового момента .

Связь с принципом неопределенности

Одним из следствий обобщенного принципа неопределенности является то, что операторы проекции спина (которые измеряют спин вдоль заданного направления, например, x , y или z ) не могут быть измерены одновременно. Физически это означает, что ось, вокруг которой вращается частица, определена неточно. Измерение z -компоненты спина уничтожает любую информацию о x- и y -компонентах, которая могла быть получена ранее.

Математическое описание

Частица со спином ⁠ 1 / 2 ⁠ характеризуется квантовым числом углового момента для спина s ⁠ 1 / 2 ⁠ . В решениях уравнения Шредингера угловой момент квантуется в соответствии с этим числом, так что полный спиновый угловой момент

${\displaystyle S={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\ \hbar ={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\hbar .}$

Однако наблюдаемая тонкая структура , когда электрон наблюдается вдоль одной оси, например оси z , квантуется в терминах магнитного квантового числа , которое можно рассматривать как квантование векторной компоненты этого полного углового момента, которая может иметь только значения ± ⁠ 1 / 2 ⁠ ħ .

Обратите внимание, что эти значения углового момента являются функциями только приведенной постоянной Планка (углового момента любого фотона ) и не зависят от массы или заряда. ^[4]

Комплексная фаза

Математически квантово-механический спин не описывается вектором, как в классическом угловом моменте. Он описывается комплекснозначным вектором с двумя компонентами, называемым спинором . Существуют тонкие различия между поведением спиноров и векторов при поворотах координат , вытекающие из поведения векторного пространства над комплексным полем.

Когда спинор поворачивается на 360° (один полный оборот), он трансформируется в свое отрицательное значение, а затем после дальнейшего поворота на 360° он снова трансформируется в свое исходное значение. Это происходит потому, что в квантовой теории состояние частицы или системы представлено комплексной амплитудой вероятности ( волновой функцией ) ψ , и когда система измеряется, вероятность нахождения системы в состоянии ψ равна | ψ | ² = ψ * ψ , абсолютному квадрату (квадрату абсолютного значения ) амплитуды. В математических терминах квантовое гильбертово пространство несет проективное представление группы вращения SO(3).

Предположим, что вращающийся детектор измеряет частицу, в которой вероятности обнаружения некоторого состояния зависят от вращения детектора. Когда система вращается на 360°, наблюдаемый выход и физика остаются такими же, как и изначально, но амплитуды изменяются для частицы со спином ⁠ 1 / 2 ⁠ на коэффициент −1 или сдвиг фазы на половину 360°. Когда вероятности вычисляются, −1 возводится в квадрат, (−1) ² = 1 , поэтому предсказанная физика такая же, как и в исходном положении. Кроме того, в частице со спином ⁠ 1 / 2 ⁠ есть только два состояния спина, и амплитуды для обоих изменяются на один и тот же коэффициент −1, поэтому эффекты интерференции идентичны, в отличие от случая с более высокими спинами. Комплексные амплитуды вероятности являются чем-то вроде теоретической конструкции, которую нельзя наблюдать напрямую.

Если амплитуды вероятности вращаются на ту же величину, что и детектор, то они изменились бы в −1 раз, когда оборудование было повернуто на 180°, что при возведении в квадрат предсказывало бы тот же выход, что и в начале, но эксперименты показывают, что это неверно. Если детектор вращается на 180°, результат со спином- ⁠ 1 / 2 ⁠ частиц может отличаться от того, что было бы без вращения, поэтому фактор половины необходим, чтобы предсказания теории соответствовали экспериментам.

С точки зрения более прямых доказательств, физические эффекты разницы между вращением спин -⁠ 1 / 2 ⁠ частицы на 360° по сравнению с 720° были экспериментально обнаружены в классических экспериментах ^[5] в нейтронной интерферометрии. В частности, если пучок спин- ⁠ 1 / 2 ⁠ частиц с ориентацией спина расщепляется, и только один из пучков вращается вокруг оси своего направления движения, а затем рекомбинируется с исходным пучком, наблюдаются различные эффекты интерференции в зависимости от угла поворота. В случае вращения на 360° наблюдаются эффекты отмены, тогда как в случае вращения на 720° пучки взаимно усиливают друг друга. ^[5]

Нерелятивистская квантовая механика

Квантовое состояние частицы со спином ⁠ 1 / 2 ⁠ можно описать двухкомпонентным комплексным вектором, называемым спинором . Наблюдаемые состояния частицы затем определяются операторами спина S _x , S _y и S _z , а также оператором полного спина  S .

Наблюдаемые

Когда спиноры используются для описания квантовых состояний, три спиновых оператора ( S _x , S _y , S _z , ) можно описать матрицами 2 × 2, называемыми матрицами Паули, собственные значения которых равны ± ⁠ ħ / 2 ⁠ .

Например, оператор проекции спина S _z влияет на измерение спина в направлении z .

${\displaystyle S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

Два собственных значения S _z , ± ⁠ ħ / 2 ⁠ , тогда соответствуют следующим собственным спинорам:

${\displaystyle \chi _{+}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle =|{\uparrow }\rangle =|0\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle =|{\downarrow }\rangle =|1\rangle .}$

Эти векторы образуют полную основу для гильбертова пространства, описывающего частицу со спином ⁠ 1 / 2 ⁠ . Таким образом, линейные комбинации этих двух состояний могут представлять все возможные состояния спина, в том числе в направлениях x и y .

Операторы лестницы :

${\displaystyle S_{+}=\hbar {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},S_{-}=\hbar {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$

Так как S _± = S _x ± i S _y , ^[6] следует, что S _x = ⁠ 1 / 2 ⁠ ( S ₊ + S ₋ ) и S _y = ⁠ 1 / 2 i ⁠ ( S ₊ − S ₋ ) . Таким образом:

${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}}$

Их нормализованные собственные спиноры можно найти обычным способом. Для S _x они равны:

${\displaystyle \chi _{+}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

Для S _y они равны:

${\displaystyle \chi _{+}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

Релятивистская квантовая механика

В то время как нерелятивистская квантовая механика определяет спин ⁠ 1 / 2 ⁠ с 2 измерениями в гильбертовом пространстве с динамикой, которая описывается в 3-мерном пространстве и времени, релятивистская квантовая механика определяет спин с 4 измерениями в гильбертовом пространстве и динамикой, описываемой 4-мерным пространством-временем. ^{[ необходима ссылка ]}

Наблюдаемые

Вследствие четырехмерной природы пространства-времени в теории относительности релятивистская квантовая механика использует матрицы 4×4 для описания спиновых операторов и наблюдаемых величин. ^{[ необходима цитата ]}

История

Когда физик Поль Дирак попытался модифицировать уравнение Шредингера так, чтобы оно соответствовало теории относительности Эйнштейна , он обнаружил, что это возможно только путем включения матриц в полученное уравнение Дирака , подразумевая, что волна должна иметь несколько компонентов, приводящих к спину. ^[7]

Вращение спинора 4π было экспериментально подтверждено с помощью нейтронной интерферометрии в 1974 году Хельмутом Раухом и его коллегами ^[8] после того, как оно было предложено Якиром Аароновым и Леонардом Сасскиндом в 1967 году ^[9].

Смотрите также

• Проективное представление

Примечания

1. Резник, Р.; Эйсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.
2. Аткинс, П. У. (1974). Quanta: Справочник концепций . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
3. Пелег, Ю.; Пнини, Р.; Заарур, Э.; Хехт, Э. (2010). Квантовая механика (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-071-62358-2.
4. Nave, CR (2005). «Спин электрона». Университет штата Джорджия .
5. Rauch, Helmut; Werner, Samuel A. (2015). Нейтронная интерферометрия: уроки экспериментальной квантовой механики, корпускулярно-волновой дуализм и запутанность . США: Oxford University Press.
6. Гриффитс, Дэвид Дж. (2018). Введение в квантовую механику. Даррелл Ф. Шрётер (3-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-18963-8. OCLC  1030447903.
7. Макмахон, Д. (2008). Квантовая теория поля . США: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
8. Раух, Х.; Цайлингер, А.; Бадурек, Г.; Уилфинг, А.; Баусписс, В.; Бонс, У. (октябрь 1975 г.). «Проверка когерентного спинорного вращения фермионов». Буквы по физике А. 54 (6): 425–427. дои : 10.1016/0375-9601(75)90798-7. ISSN  0375-9601.
9. Ааронов, Якир; Сасскинд, Леонард (1967-06-25). "Наблюдаемость изменения знака спиноров при поворотах на $2\ensuremath{\pi}$". Physical Review . 158 (5): 1237–1238. doi :10.1103/PhysRev.158.1237.

Дальнейшее чтение

• Фейнман, Ричард (1963). "Том III, Глава 6. Спин One-Half". Лекции Фейнмана по физике . Калтех .
• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Spin-½ на Wikimedia Commons