Спиновое стекло

Неупорядоченное магнитное состояние

Схематическое изображение случайной спиновой структуры спинового стекла (вверху) и упорядоченной структуры ферромагнетика ( внизу).

Магнитный беспорядок спинового стекла по сравнению с ферромагнетиком аналогичен разупорядочению положения стекла (слева) по сравнению с кварцем (справа).

В физике конденсированного состояния спиновое стекло представляет собой магнитное состояние, характеризующееся случайностью, помимо кооперативного поведения при замораживании спинов при температуре, называемой «температурой замерзания» T _f . ^[1] В ферромагнитных твердых телах магнитные спины атомов компонентов ориентированы в одном направлении. Спиновое стекло в отличие от ферромагнетика определяется как « неупорядоченное » магнитное состояние, в котором спины ориентированы случайным образом или без регулярного узора, а связи также случайны. ^[1]

Термин «стекло» происходит от аналогии между магнитным беспорядком в спиновом стекле и позиционным беспорядком обычного химического стекла , например оконного стекла. В оконном стекле или любом аморфном твердом теле структура атомных связей крайне нерегулярна; напротив, кристалл имеет однородный рисунок атомных связей. В ферромагнитных твердых телах все магнитные спины ориентированы в одном направлении; это аналогично решетчатой ​​структуре кристалла .

Отдельные атомные связи в спиновом стекле представляют собой смесь примерно равного числа ферромагнитных связей (где соседи имеют одинаковую ориентацию) и антиферромагнитных связей (где соседи имеют совершенно противоположную ориентацию: северный и южный полюса перевернуты на 180 градусов). Эти узоры совмещенных и смещенных атомных магнитов создают так называемые фрустрированные взаимодействия  — искажения геометрии атомных связей по сравнению с тем, что можно было бы увидеть в обычном, полностью выровненном твердом теле. Они также могут создавать ситуации, когда более чем одно геометрическое расположение атомов стабильно.

Спиновые стекла и сложные внутренние структуры, возникающие внутри них, называются « метастабильными », потому что они «застревают» в стабильных конфигурациях, отличных от конфигурации с самой низкой энергией (которая была бы ориентированной и ферромагнитной). Математическая сложность этих структур трудна, но плодотворна для изучения экспериментально или с помощью моделирования ; с приложениями к физике, химии, материаловедению и искусственным нейронным сетям в информатике.

Магнитное поведение

Именно зависимость от времени отличает спиновые стекла от других магнитных систем.

Выше температуры спинового стеклования T _c ^{[примечание 1]} спиновое стекло демонстрирует типичное магнитное поведение (например, парамагнетизм ) .

Если приложить магнитное поле при охлаждении образца до температуры перехода, намагниченность образца увеличивается, как описано законом Кюри . При достижении T _c образец становится спиновым стеклом, и дальнейшее охлаждение приводит к незначительному изменению намагниченности. Это называется намагниченностью , охлажденной полем .

Когда внешнее магнитное поле удаляется, намагниченность спинового стекла быстро падает до более низкого значения, известного как остаточная намагниченность.

Затем намагниченность медленно убывает по мере приближения к нулю (или некоторой небольшой доле первоначального значения – это остается неизвестным ). Этот затухание не является экспоненциальным , и ни одна простая функция не может адекватно описать кривую зависимости намагниченности от времени. ^[2] Этот медленный распад характерен для спиновых стекол. Экспериментальные измерения длительностью порядка нескольких дней показали постоянные изменения выше уровня шума приборов. ^[2]

Спиновые стекла отличаются от ферромагнетиков тем, что после снятия внешнего магнитного поля с ферромагнитного вещества намагниченность неопределенно долго остается на остаточном значении. Парамагнетики отличаются от спиновых стекол тем, что после снятия внешнего магнитного поля намагниченность быстро падает до нуля без остаточной намагниченности. Распад быстрый и экспоненциальный. ^{[ нужна цитата ]}

Если образец охлаждается ниже T _c в отсутствие внешнего магнитного поля и прикладывается магнитное поле после перехода в фазу спинового стекла, происходит быстрый начальный рост до значения, называемого намагниченностью, охлажденной в нулевом поле . Затем происходит медленный дрейф вверх в сторону намагниченности, охлажденной полем.

Удивительно, но сумма двух сложных функций времени (охлажденной в нулевом поле и остаточной намагниченности) является константой, а именно величиной, охлажденной полем, и, таким образом, обе имеют одинаковые функциональные формы во времени, ^[3] , по крайней мере, в предел очень малых внешних полей.

Модель Эдвардса – Андерсона

Это похоже на модель Изинга . В этой модели мы располагаем спины на -мерной решетке только с взаимодействиями ближайших соседей. Эту модель можно решить точно для критических температур, и наблюдается существование стеклообразной фазы при низких температурах. ^[4] Гамильтониан для этой спиновой системы определяется выражением: ${\displaystyle d}$

${\displaystyle H=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j},}$

где относится к матрице спина Паули для половинного спина частицы в точке решетки , а сумма по относится к суммированию по соседним точкам решетки и . Отрицательное значение обозначает взаимодействие спинов антиферромагнитного типа в точках и . Сумма пробегает все позиции ближайших соседей на решетке любой размерности. Переменные , представляющие магнитную природу спин-спиновых взаимодействий, называются переменными связи или связи. ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \langle ij\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{ij}}$

Чтобы определить статистическую сумму для этой системы, необходимо усреднить свободную энергию где , по всем возможным значениям . Распределение значений принимается гауссовым со средним и дисперсией : ${\displaystyle f\left[J_{ij}\right]=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\mathcal {Z}}\left[J_{ij}\right]}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left[J_{ij}\right]=\operatorname {Tr} _{S}\left(e^{-\beta H}\right)}$ ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J^{2}}$

${\displaystyle P(J_{ij})={\sqrt {\frac {N}{2\pi J^{2}}}}\exp \left\{-{\frac {N}{2J^{2}}}\left(J_{ij}-{\frac {J_{0}}{N}}\right)^{2}\right\}.}$

При определении свободной энергии методом реплик обнаруживается, что ниже определенной температуры существует новая магнитная фаза, называемая фазой спинового стекла (или стеклообразной фазой) системы, которая характеризуется исчезающей намагниченностью наряду с неисчезающим значением. двухточечной корреляционной функции между спинами в одной и той же точке решетки, но в двух разных репликах: ${\displaystyle m=0}$

${\displaystyle q=\sum _{i=1}^{N}S_{i}^{\alpha }S_{i}^{\beta }\neq 0,}$

где индексы реплик. Таким образом, параметр порядка для фазового перехода из ферромагнетика в спиновое стекло равен , а для фазового перехода из парамагнетика в спиновое стекло снова равен . Следовательно, новый набор параметров порядка, описывающий три магнитные фазы, состоит из обоих и . ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

В предположении симметрии реплик свободная энергия среднего поля определяется выражением: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta f={}-{\frac {\beta ^{2}J^{2}}{4}}(1-q)^{2}+{\frac {\beta J_{0}m^{2}}{2}}-\int \exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right)\log \left(2\cosh \left(\beta Jz+\beta J_{0}m\right)\right)\,\mathrm {d} z.\end{aligned}}}$

Модель Шеррингтона – Киркпатрика

Помимо необычных экспериментальных свойств, спиновые стекла являются предметом обширных теоретических и вычислительных исследований. Значительная часть ранних теоретических работ по спиновым стеклам была связана с формой теории среднего поля , основанной на наборе копий статистической суммы системы.

Важная, точно решаемая модель спинового стекла была представлена ​​Дэвидом Шеррингтоном и Скоттом Киркпатриком в 1975 году. Это модель Изинга с фрустрированными ферро- и антиферромагнитными связями на большом расстоянии. Оно соответствует приближению среднего поля спиновых стекол, описывающему медленную динамику намагниченности и сложное неэргодическое состояние равновесия.

В отличие от модели Эдвардса-Андерсона (ЭА), в системе, хотя и рассматриваются только двухспиновые взаимодействия, диапазон каждого взаимодействия может быть потенциально бесконечным (порядка размера решетки). Таким образом, мы видим, что любые два спина могут быть связаны ферромагнитной или антиферромагнитной связью, и их распределение задается точно так же, как и в случае модели Эдвардса–Андерсона. Гамильтониан для модели SK очень похож на модель EA:

${\displaystyle H=-\sum _{i<j}J_{ij}S_{i}S_{j}}$

где имеют те же значения, что и в модели советника. Равновесное решение модели после некоторых первоначальных попыток Шеррингтона, Киркпатрика и других было найдено Джорджио Паризи в 1979 году с помощью метода реплик. Последующие работы по интерпретации решения Паризи — М. Мезара , Г. Паризи, М. А. Вирасоро и многих других — выявили сложную природу стеклообразной низкотемпературной фазы, характеризующейся нарушением эргодичности, ультраметричностью и несамоусреднённостью. Дальнейшие разработки привели к созданию метода резонаторов , который позволил изучать низкотемпературную фазу без реплик. Строгое доказательство решения Паризи было предоставлено в работе Франческо Герра и Мишеля Талагранда . ^[5] ${\displaystyle J_{ij},S_{i},S_{j}}$

Формализм теории среднего поля реплик также применялся при изучении нейронных сетей , где он позволял рассчитывать такие свойства, как емкость памяти простых архитектур нейронных сетей, без необходимости разработки или разработки алгоритма обучения (например, обратного распространения ошибки ). реализовано. ^[6]

Более реалистичные модели спинового стекла с короткодействующими фрустрированными взаимодействиями и беспорядком, такие как модель Гаусса, в которой связи между соседними спинами подчиняются гауссовскому распределению , также широко изучались, особенно с использованием моделирования Монте-Карло . Эти модели отображают фазы спинового стекла, окаймленные резкими фазовыми переходами .

Помимо своей актуальности в физике конденсированного состояния, теория спинового стекла приобрела ярко выраженный междисциплинарный характер с приложениями к теории нейронных сетей , информатике, теоретической биологии, эконофизике и т. д.

Модель бесконечного радиуса действия

Это также называется «моделью p-спина». ^[7] Модель бесконечного радиуса действия является обобщением модели Шеррингтона-Киркпатрика, в которой мы рассматриваем не только два спиновых взаимодействия, но и -спиновые взаимодействия, где и – общее число спинов. В отличие от модели Эдвардса–Андерсона, аналогичной модели СК, диапазон взаимодействия по-прежнему бесконечен. Гамильтониан для этой модели описывается следующим образом: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\leq N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle H=-\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}}J_{i_{1}\dots i_{r}}S_{i_{1}}\cdots S_{i_{r}}}$

где имеют те же значения, что и в модели советника. Предел этой модели известен как модель случайной энергии . В этом пределе можно видеть, что вероятность существования спинового стекла в определенном состоянии зависит только от энергии этого состояния, а не от отдельных спиновых конфигураций в нем. Обычно для решения этой модели предполагается гауссово распределение магнитных связей по решетке. Ожидается, что любое другое распределение даст тот же результат, как следствие центральной предельной теоремы . Функция распределения Гаусса со средним значением и дисперсией задается как: ${\displaystyle J_{i_{1}\dots i_{r}},S_{i_{1}},\dots ,S_{i_{r}}}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle {\frac {J_{0}}{N}}}$ ${\displaystyle {\frac {J^{2}}{N}}}$

${\displaystyle P\left(J_{i_{1}\cdots i_{r}}\right)={\sqrt {\frac {N^{r-1}}{J^{2}\pi r!}}}\exp \left\{-{\frac {N^{r-1}}{J^{2}r!}}\left(J_{i_{1}\cdots i_{r}}-{\frac {J_{0}r!}{2N^{r-1}}}\right)\right\}}$

Параметры порядка для этой системы задаются намагниченностью и двухточечной спиновой корреляцией между спинами в одном и том же месте в двух разных репликах, которые такие же, как и для модели SK. Эту модель бесконечного диапазона можно явно решить для свободной энергии ^[4] с точки зрения и в предположении симметрии реплики, а также нарушения симметрии 1-реплики. ^[4] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta f={}&{\frac {1}{4}}\beta ^{2}J^{2}q^{r}-{\frac {1}{2}}r\beta ^{2}J^{2}q^{r}-{\frac {1}{4}}\beta ^{2}J^{2}+{\frac {1}{2}}\beta J_{0}rm^{r}+{\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}}}r\beta ^{2}J^{2}q^{r-1}+{}\\&\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}z^{2}\right)\log \left(2\cosh \left(\beta Jz{\sqrt {{\frac {1}{2}}rq^{r-1}}}+{\frac {1}{2}}\beta J_{0}rm^{r-1}\right)\right)\,\mathrm {d} z\end{aligned}}}$

Неэргодическое поведение и приложения

Термодинамическая система является эргодической , когда при наличии любого (равновесного) экземпляра системы она в конечном итоге посещает любое другое возможное (равновесное) состояние (с той же энергией). Одной из характеристик систем спинового стекла является то, что ниже температуры замерзания экземпляры попадают в «неэргодический» набор состояний: система может колебаться между несколькими состояниями, но не может переходить в другие состояния с эквивалентной энергией. Интуитивно можно сказать, что система не может выйти из глубоких минимумов иерархически неупорядоченного энергетического ландшафта ; расстояния между минимумами задаются ультраметрикой с высокими энергетическими барьерами между минимумами. ^{[примечание 2]} Коэффициент участия подсчитывает количество состояний, доступных из данного экземпляра, то есть количество состояний, которые участвуют в основном состоянии . Эргодический аспект спинового стекла сыграл важную роль в присуждении половины Нобелевской премии по физике 2021 года Джорджо Паризи . ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle T_{\text{f}}}$

Для физических систем, таких как разбавленный марганец в меди, температура замерзания обычно составляет всего 30 Кельвинов (-240 ° C), и поэтому магнетизм спинового стекла практически не имеет применения в повседневной жизни. Однако неэргодические состояния и суровые энергетические ландшафты весьма полезны для понимания поведения некоторых нейронных сетей , включая сети Хопфилда , а также многих проблем оптимизации информатики и генетики .

Самоиндуцированное спиновое стекло

В 2020 году исследователи-физики из Университета Радбауд и Университета Упсалы объявили, что наблюдали поведение, известное как самоиндуцированное спиновое стекло, в атомной структуре неодима. Один из исследователей объяснил: «...мы являемся специалистами в области сканирующей туннельной микроскопии . Она позволяет нам видеть структуру отдельных атомов, и мы можем определить северный и южный полюса атомов. Благодаря этому прогрессу в высокоточной визуализации , мы смогли обнаружить поведение неодима, потому что смогли разрешить невероятно малые изменения в магнитной структуре». Неодим ведет себя сложным магнитным образом, чего раньше не наблюдалось в элементах таблицы Менделеева. ^{[11] [12]}

История поля

Подробный отчет об истории спиновых стекол с начала 1960-х до конца 1980-х годов можно найти в серии популярных статей Филипа Андерсона в журнале Physics Today . ^{[13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]}

Смотрите также

• Аморфный магнит
• Антиферромагнитное взаимодействие
• Полостной метод
• Кристальная структура
• Геометрическое разочарование
• Ориентационное стекло
• Фаза перехода
• Подавленный беспорядок
• Модель случайной энергии
• Трюк с репликой
• Вращение льда

Примечания

1. идентично так называемой «температуре замерзания». ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle T_{\text{f}}.}$
2. Иерархический беспорядок энергетического ландшафта можно словесно охарактеризовать одним предложением: в этом ландшафте есть «(случайные) долины внутри еще более глубоких (случайных) долин внутри еще более глубоких (случайных) долин, ... и т. д.»

Рекомендации

1. Мидош, JA (1993). Спиновые очки: экспериментальное введение . Лондон, Вашингтон, округ Колумбия: Тейлор и Фрэнсис. п. 3. ISBN 0748400389. 9780748400386 .
2. Джой, Пенсильвания; Кумар, П.С. Анил; Дата, СК (7 октября 1998 г.). «Взаимосвязь между восприимчивостью некоторых упорядоченных магнитных систем с охлаждением в поле и без поля». J. Phys.: Condens. Иметь значение . 10 (48): 11049–11054. Бибкод : 1998JPCM...1011049J. дои : 10.1088/0953-8984/10/48/024. S2CID  250734239.
3. Нордблад, П.; Лундгрен, Л.; Сандлунд, Л. (февраль 1986 г.). «Связь между релаксацией нулевого поля при охлаждении и термоостаточной намагниченностью в спиновых стеклах». Журнал магнетизма и магнитных материалов . 54–57 (1): 185–186. Бибкод : 1986JMMM...54..185N. дои : 10.1016/0304-8853(86)90543-3.
4. Нишимори, Хидетоши (2001). Статистическая физика спиновых стекол и обработка информации: Введение . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 243. ИСБН 9780198509400.
5. Мишель Талагранд, Модели среднего поля для спиновых очков, том I: основные примеры (2010)
6. Гарднер, Э; Деридда, Б. (7 января 1988 г.). «Оптимальные свойства хранения моделей нейронных сетей» (PDF) . Дж. Физ. А. _ 21 (1): 271. Бибкод : 1988JPhA...21..271G. дои : 10.1088/0305-4470/21/1/031.
7. Мезар, Марк; Монтанари, Андреа (2009). Информация, физика и вычисления . Тексты для выпускников Оксфорда. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-857083-7.
8. Геддес, Линда (05.10.2021). «Трио учёных получили Нобелевскую премию по физике за работу в области климата». Хранитель . Проверено 23 декабря 2023 г.
9. «Нобелевская премия по физике 2021 года — история популярной науки» (PDF) . Проверено 23 декабря 2023 г.
10. «Научная основа Нобелевской премии по физике 2021 года» (PDF) . Нобелевский комитет по физике . 5 октября 2021 г. Проверено 3 ноября 2023 г.
11. Умут Камбер; Андерс Бергман; Андреас Эйх; Диана Юшан; Мануэль Штайнбрехер; Надин Гауптманн; Ларс Нордстрем; Михаил Иванович Кацнельсон; Дэниел Вегнер; Олле Эрикссон; Александр Алексеевич Хаджетурян (29 мая 2020 г.). «Самоиндуцированное состояние спинового стекла в элементарном и кристаллическом неодиме». Наука . Том. 368, нет. 6494. дои :10.1126/science.aay6757 . Проверено 29 мая 2020 г.
12. Университет Радбауд в Неймегене (28 мая 2020 г.). «Обнаружено новое« вихревое »состояние материи: самоиндуцированное спиновое стекло» . Проверено 29 мая 2020 г.
13. Филип В. Андерсон (1988). «Спиновое стекло I: спасение закона масштабирования» (PDF) . Физика сегодня . 41 (1): 9–11. Бибкод : 1988PhT....41a...9A. дои : 10.1063/1.2811268.
14. Филип В. Андерсон (1988). «Спиновое стекло II: существует ли фазовый переход?» (PDF) . Физика сегодня . 41 (3): 9. Бибкод : 1988PhT....41c...9A. дои : 10.1063/1.2811336.
15. Филип В. Андерсон (1988). «Spin Glass III: Теория поднимает голову» (PDF) . Физика сегодня . 41 (6): 9–11. Бибкод : 1988PhT....41f...9A. дои : 10.1063/1.2811440.
16. Филип В. Андерсон (1988). «Spin Glass IV: Проблески неприятностей» (PDF) . Физика сегодня . 41 (9): 9–11. Бибкод : 1988PhT....41i...9A. дои : 10.1063/1.881135.
17. Филип В. Андерсон (1989). «Spin Glass V: Реальная сила, проявленная» (PDF) . Физика сегодня . 42 (7): 9–11. Бибкод :1989ФТ....42г...9А. дои : 10.1063/1.2811073.
18. Филип В. Андерсон (1989). «Спиновое стекло VI: Спиновое стекло как рог изобилия» (PDF) . Физика сегодня . 42 (9): 9–11. Бибкод : 1989PhT....42i...9A. дои : 10.1063/1.2811137.
19. Филип В. Андерсон (1990). «Спиновое стекло VII: Спиновое стекло как парадигма» (PDF) . Физика сегодня . 43 (3): 9–11. Бибкод : 1990PhT....43c...9A. дои : 10.1063/1.2810479.

Литература

• Эдвардс, Сан-Франциско; Андерсон, П.В. (1975), «Теория спиновых стекол», Journal of Physics F: Metal Physics , 5 (5): 965–974, Бибкод : 1975JPhF....5..965E, doi : 10.1088/0305-4608 /05.05.017. ЩитКвадратная капча
• Шеррингтон, Дэвид; Киркпатрик, Скотт (1975), «Разрешимая модель спинового стекла», Physical Review Letters , 35 (26): 1792–1796, Бибкод : 1975PhRvL..35.1792S, doi : 10.1103/PhysRevLett.35.1792. Резюме Papercore http://papercore.org/Sherrington1975
• Нордблад, П.; Лундгрен, Л.; Сандлунд, Л. (1986), «Связь между релаксацией охлаждения в нулевом поле и термоостаточной намагниченностью в спиновых стеклах», Journal of Magnetism and Magnetic Materials , 54 : 185–186, Bibcode : 1986JMMM...54.. 185Н, дои :10.1016/0304-8853(86)90543-3.
• Биндер, К .; Янг, AP (1986), «Спиновые очки: экспериментальные факты, теоретические концепции и открытые вопросы», Reviews of Modern Physics , 58 (4): 801–976, Бибкод : 1986RvMP...58..801B, doi : 10.1103 /RevModPhys.58.801.
• Брингельсон, Джозеф Д.; Волинс, Питер Г. (1987), «Спиновые стекла и статистическая механика сворачивания белков», Proceedings of the National Academy of Sciences , 84 (21): 7524–7528, Bibcode : 1987PNAS...84.7524B, doi : 10.1073 /pnas.84.21.7524 , PMC  299331 , PMID  3478708.
• Фишер, К.Х.; Герц, Дж. А. (1991), Спиновые очки , издательство Кембриджского университета.
• Мезар, Марк; Паризи, Джорджо ; Вирасоро, Мигель Анхель (1987), Теория спинового стекла и не только , Сингапур: World Scientific, ISBN 978-9971-5-0115-0.
• Мидош, JA (1995), Spin Glasses , Тейлор и Фрэнсис.
• Паризи, Г. (1980), «Параметр порядка для спиновых стекол: функция в интервале 0–1» (PDF) , J. Phys. А: Математика. Gen. , 13 (3): 1101–1112, Бибкод : 1980JPhA...13.1101P, doi : 10.1088/0305-4470/13/3/042Резюме Papercore http://papercore.org/Parisi1980.
• Талагранд, Мишель (2000), «Нарушение симметрии реплик и экспоненциальные неравенства для модели Шеррингтона-Киркпатрика», Annals of Probability , 28 (3): 1018–1062, doi : 10.1214/aop/1019160325 , JSTOR  2652978.
• Герра, Ф.; Тонинелли, Флорида (2002), «Термодинамический предел в моделях спинового стекла среднего поля», Communications in Mathematical Physics , 230 (1): 71–79, arXiv : cond-mat/0204280 , Bibcode : 2002CMaPh.230...71G , doi : 10.1007/s00220-002-0699-y, S2CID  16833848
• Аминов Т.Г.; Новоторцев В.Н. (2014), «Спиновые стекла в твердых растворах на основе Cu _0,5 Fe _0,5 Cr ₂ S _{4 »,} Неорганические материалы , 50 (13): 1343–00, doi : 10.1134/s0020168514130020, ISSN  0020-1685, S2CID  96777069

Внешние ссылки

• Краткое изложение оригинальной статьи Шеррингтона и Киркпатрика на бумаге. Архивировано 22 августа 2016 г. в Wayback Machine.
• Статистика частотности термина «Спиновое стекло» на arxiv.org