Спинорный пучок

Геометрическая структура

В дифференциальной геометрии , если задана спиновая структура на -мерном ориентируемом римановом многообразии, то спинорное расслоение определяется как комплексное векторное расслоение, связанное с соответствующим главным расслоением спиновых фреймов над и спиновым представлением его структурной группы на пространстве спиноров . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n)\,}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$

Часть спинорного пучка называется спинорным полем . ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$

Формальное определение

Пусть — спинорная структура на римановом многообразии , то есть эквивариантный лифт ориентированного ортонормированного расслоения реперов относительно двойного накрытия специальной ортогональной группы спинорной группой . ${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$ ${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)}$

Спинорное расслоение определяется ^[1] как комплексное векторное расслоение , связанное со спиновой структурой посредством спинового представления , где обозначает группу унитарных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Спиновое представление является точным и унитарным представлением группы ^[2]. ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$ $${\displaystyle {\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,}$$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ ${\displaystyle \kappa \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,}$ ${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$ ${\displaystyle {\mathbf {W} }.\,}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n).}$

Смотрите также

• Клиффорд связка
• Комплект модулей Клиффорда
• Ортонормальный рамочный пучок
• Геометрия спина
• Спинор
• Спинорное представление

Примечания

1. Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1страница 53
2. Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1страницы 20 и 24

Дальнейшее чтение

• Лоусон, Х. Блейн ; Михельсон, Мари-Луиза (1989). Геометрия спина . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1

|