Пространственная кривая, обвивающаяся вокруг линии
Спираль ( / ˈ h iː l ɪ k s / ; мн. спирали ) — это форма, похожая на штопор . Это тип гладкой пространственной кривой с касательными линиями , расположенными под постоянным углом к фиксированной оси. Спирали играют важную роль в биологии , поскольку молекула ДНК формируется в виде двух переплетенных спиралей , а многие белки имеют спиральные подструктуры, известные как альфа-спирали . Слово спираль происходит от греческого слова ἕλιξ , «скрученный, изогнутый». [1]
«Заполненная» спираль – например, «спиральный» (спиральный) пандус – представляет собой поверхность, называемую геликоидом . [2]
Свойства и типы
Шаг спирали — это высота одного полного витка спирали , измеренная параллельно оси спирали.
Двойная спираль состоит из двух (обычно конгруэнтных ) спиралей с одной и той же осью, различающихся перемещением вдоль оси. [3]
Круговая спираль (то есть спираль с постоянным радиусом) имеет постоянную кривизну ленты и постоянное кручение .
Коническая спираль , также известная как коническая спираль , может быть определена как спираль на конической поверхности, причем расстояние до вершины является экспоненциальной функцией угла, указывающего направление от оси.
Кривая называется общей спиралью или цилиндрической спиралью [4] , если ее касательная составляет постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Кривая является общей спиралью тогда и только тогда, когда отношение кривизны к кручению постоянно. [5]
Кривая называется наклонной спиралью , если ее главная нормаль образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. [6] Его можно построить, применив преобразование к движущейся системе отсчета общей спирали. [7]
Спирали могут быть как правосторонними, так и левосторонними. При луче зрения вдоль оси спирали, если завинчивающее движение по часовой стрелке отодвигает спираль от наблюдателя, то это называется правосторонней спиралью; если к наблюдателю, то это левая спираль. Направленность (или хиральность ) — это свойство спирали, а не перспективы: правостороннюю спираль нельзя повернуть так, чтобы она выглядела как левосторонняя, если ее не посмотреть в зеркало, и наоборот.
По мере увеличения параметра t точка ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) описывает правую спираль с шагом 2 π (или наклоном 1) и радиусом 1 вокруг оси z , в правая система координат.
Круговая спираль радиуса a и наклонаа/б(или шаг 2 πb ) описывается следующей параметризацией:
Другой способ математического построения спирали — построить график комплексной функции e xi как функции действительного числа x (см. формулу Эйлера ). Значение x , а также действительная и мнимая части значения функции придают этому графику три действительных измерения.
За исключением вращений , перемещений и изменений масштаба, все правые спирали эквивалентны спирали, определенной выше. Эквивалентную левую спираль можно построить несколькими способами, самый простой из которых — отрицание любого из компонентов x , y или z .
Длина дуги, кривизна и кручение
Круговая спираль радиуса a и наклонаа/б(или шаг 2 πb ), выраженный в декартовых координатах как
Некоторые кривые, встречающиеся в природе, состоят из множества спиралей разной направленности, соединенных между собой переходами, известными как перверсии усиков .
Большинство аппаратных винтовых резьб имеют правую спираль. Альфа-спираль в биологии, а также формы ДНК A и B также являются правосторонними спиралями. Z -форма ДНК является левосторонней.
В авиации геометрический шаг — это расстояние, на которое элемент винта самолета продвинулся бы за один оборот, если бы он двигался по спирали, имеющей угол, равный углу между хордой элемента и плоскостью, перпендикулярной оси винта; см. также: угол тангажа (авиационный) .
^ О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961, стр. 72.
^ О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961, стр. 74.
^ Изумия, С. и Такеучи, Н. (2004) Новые специальные кривые и развертывающиеся поверхности. Turk J Math. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine , 28:153–163.
^ Меннингер, Т. (2013), Явная параметризация аппарата Френе наклонной спирали . arXiv:1302.3175. Архивировано 5 февраля 2018 г. в Wayback Machine .