Категория матриц

Основное определение и свойства категории матриц

В математике категория матриц , часто обозначаемая как , — это категория , объектами которой являются натуральные числа , а морфизмами — матрицы , композиция которых задается умножением матриц . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathbf {Mat} }$

Строительство

Пусть будет вещественной матрицей , т.е. матрицей со строками и столбцами. Имея матрицу , мы можем образовать матричное умножение или только когда , и в этом случае результирующая матрица имеет размерность . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p\times q}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle B\circ A}$ ${\displaystyle q=n}$ ${\displaystyle p\times m}$

Другими словами, мы можем умножать только матрицы и , когда количество строк совпадает с количеством столбцов . Можно отслеживать этот факт, объявляя матрицу типом , и аналогично матрицу типом . Таким образом, когда две стрелки имеют совпадающие источник и цель, , и, следовательно, могут быть объединены в стрелку типа . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle m\to n}$ ${\displaystyle p\times q}$ ${\displaystyle q\to p}$ ${\displaystyle q=n}$ ${\displaystyle m\to n\to p}$ ${\displaystyle m\to p}$

Это точно отражено в математической концепции категории , где стрелки, или морфизмы , являются матрицами, и они могут быть составлены только тогда, когда их домен и кодомен совместимы (подобно тому, что происходит с функциями ). Подробно, категория строится следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$

• В качестве объектов используются натуральные числа ;

• Для чисел и морфизм представляет собой матрицу , т.е. матрицу со строками и столбцами; ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\to n}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

• Идентичный морфизм в каждом объекте задается единичной матрицей ; ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

• Композиция морфизмов и (т.е. матриц и ) задается умножением матриц . ${\displaystyle A:m\to n}$ ${\displaystyle B:n\to p}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle p\times n}$

В более общем смысле можно определить категорию матриц над фиксированным полем , например, полем комплексных чисел . ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {F} }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

Характеристики

• Категория матриц эквивалентна категории конечномерных вещественных векторных пространств и линейных отображений . Об этом свидетельствует функтор , отображающий число в векторное пространство , а матрицу в соответствующее линейное отображение . ^{[3] [2]} Возможная интерпретация этого факта заключается в том, что как математические теории абстрактные конечномерные векторные пространства и конкретные матрицы имеют одинаковую выразительную силу. ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

• В более общем смысле категория матриц эквивалентна категории конечномерных векторных пространств над полем и - линейных отображений . [ ^3] ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {F} }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

• Линейная строковая операция на матрице может быть эквивалентно получена путем применения той же операции к единичной матрице , а затем умножения полученной матрицы на . В частности, элементарные строковые операции соответствуют элементарным матрицам . Этот факт можно рассматривать как пример леммы Йонеды для категории матриц. ^{[4] [5]} ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

• Операция транспонирования делает категорию матриц категорией крестиков . То же самое можно сказать и о сопряженном транспонировании в случае комплексных чисел .

Отдельные подкатегории

• Для каждого фиксированного морфизмы являются матрицами и образуют моноид , канонически изоморфный моноиду линейных эндоморфизмов . В частности, обратимые матрицы образуют группу . То же самое можно сказать и о общем поле . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\to n}$ ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

• Стохастическая матрица — это действительная матрица неотрицательных записей, такая, что сумма каждого столбца равна единице. Стохастические матрицы включают тождество и замкнуты относительно композиции, и поэтому они образуют подкатегорию . [ 6 ^] ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$

Цитаты

1. Риль (2016), стр. 4–5
2. Перроне (2024), стр. 99–100.
3. Riehl (2016), стр. 30
4. Риль (2016), стр. 60–61.
5. Перроне (2024), стр. 119–120.
6. Перроне (2024), стр. 302–303.

Ссылки

• Риль, Эмили (2016). Теория категорий в контексте. Дувр. ISBN 9780486809038.

• Перроне, Паоло (2024). Начальная теория категорий. World Scientific. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1.

Внешние ссылки

• Лемма Йонеды в категории матриц, обучающее видео.