Адиабатическая теорема

Концепция квантовой механики

Адиабатическая теорема — это концепция квантовой механики . Ее первоначальная форма, предложенная Максом Борном и Владимиром Фоком (1928), была сформулирована следующим образом:

Физическая система остается в своем мгновенном собственном состоянии , если заданное возмущение действует на нее достаточно медленно и если между собственным значением и остальной частью спектра гамильтониана имеется зазор . ^[1]

Проще говоря, квантово-механическая система, подвергающаяся постепенно меняющимся внешним условиям, адаптирует свою функциональную форму, но при воздействии быстро меняющихся условий времени для адаптации функциональной формы недостаточно, поэтому пространственная плотность вероятности остается неизменной.

Адиабатический маятник

На Сольвеевской конференции 1911 года Эйнштейн прочитал лекцию о квантовой гипотезе, которая утверждает, что для атомных осцилляторов. После лекции Эйнштейна Хендрик Лоренц прокомментировал, что, классически, если простой маятник укорачивается, удерживая проволоку между двумя пальцами и скользя вниз, то, по-видимому, его энергия будет плавно меняться по мере укорачивания маятника. Это, по-видимому, показывает, что квантовая гипотеза недействительна для макроскопических систем, и если макроскопические системы не следуют квантовой гипотезе, то, как только макроскопическая система становится микроскопической, кажется, что квантовая гипотеза становится недействительной. Эйнштейн ответил, что хотя и энергия , и частота изменятся, их отношение все равно сохранится, тем самым спасая квантовую гипотезу. ^[2] ${\displaystyle E=nh\nu }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\frac {E}{\nu }}}$

Перед конференцией Эйнштейн только что прочитал статью Пауля Эренфеста об адиабатической гипотезе. ^[3] Мы знаем, что он ее прочитал, потому что он упомянул о ней в письме к Мишелю Бессо, написанном до конференции. ^{[4] [5]}

Диабатические и адиабатические процессы

В некоторый начальный момент времени квантово-механическая система имеет энергию, заданную гамильтонианом ; система находится в собственном состоянии с меткой . Изменение условий непрерывно изменяет гамильтониан, что приводит к конечному гамильтониану в некоторый более поздний момент времени . Система будет развиваться в соответствии с зависящим от времени уравнением Шредингера , чтобы достичь конечного состояния . Адиабатическая теорема утверждает, что изменение системы критически зависит от времени, в течение которого происходит изменение. ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t_{0})}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t_{0})}$ ${\displaystyle \psi (x,t_{0})}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t_{1})}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \psi (x,t_{1})}$ ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{0}}$

Для истинно адиабатического процесса нам требуется ; в этом случае конечное состояние будет собственным состоянием конечного гамильтониана с измененной конфигурацией: ${\displaystyle \tau \to \infty }$ ${\displaystyle \psi (x,t_{1})}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t_{1})}$

${\displaystyle |\psi (x,t_{1})|^{2}\neq |\psi (x,t_{0})|^{2}.}$

Степень, в которой данное изменение приближается к адиабатическому процессу, зависит как от энергетического разделения между и соседними состояниями, так и от отношения интервала к характерному временному масштабу эволюции для независимого от времени гамильтониана, , где — энергия . ${\displaystyle \psi (x,t_{0})}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \psi (x,t_{0})}$ ${\displaystyle \tau _{int}=2\pi \hbar /E_{0}}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle \psi (x,t_{0})}$

Наоборот, в пределе мы имеем бесконечно быстрый, или диабатический переход; конфигурация состояния остается неизменной: ${\displaystyle \tau \to 0}$

${\displaystyle |\psi (x,t_{1})|^{2}=|\psi (x,t_{0})|^{2}.}$

Так называемое «условие зазора», включенное в исходное определение Борна и Фока, приведенное выше, относится к требованию, чтобы спектр был дискретным и невырожденным , так что не было бы двусмысленности в упорядочении состояний (можно легко установить, какое собственное состояние соответствует ) . В 1999 году Дж. Э. Аврон и А. Элгарт переформулировали адиабатическую теорему, чтобы адаптировать ее к ситуациям без зазора. ^[7] ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t_{1})}$ ${\displaystyle \psi (t_{0})}$

Сравнение с адиабатическим понятием в термодинамике

Термин «адиабатический» традиционно используется в термодинамике для описания процессов без обмена теплом между системой и окружающей средой (см. адиабатический процесс ), точнее эти процессы обычно происходят быстрее, чем временные рамки теплообмена. (Например, волна давления является адиабатической по отношению к тепловой волне, которая не является адиабатической.) Адиабатический в контексте термодинамики часто используется как синоним быстрого процесса.

Определение классической и квантовой механики ^[8] вместо этого ближе к термодинамической концепции квазистатического процесса , то есть процесса, который почти всегда находится в равновесии (т. е. который медленнее, чем временные масштабы внутренних взаимодействий обмена энергией, а именно «нормальная» атмосферная тепловая волна является квазистатической, а волна давления — нет). Адиабатический в контексте механики часто используется как синоним медленного процесса.

В квантовом мире адиабатический означает, например, что временная шкала взаимодействия электронов и фотонов намного быстрее или почти мгновенна по сравнению со средней временной шкалой распространения электронов и фотонов. Поэтому мы можем моделировать взаимодействия как часть непрерывного распространения электронов и фотонов (т. е. состояния в равновесии) плюс квантовый скачок между состояниями (т. е. мгновенный).

Адиабатическая теорема в этом эвристическом контексте по существу говорит о том, что квантовых скачков желательно избегать, и система пытается сохранить состояние и квантовые числа. ^[9]

Квантово-механическое понятие адиабатики связано с адиабатическим инвариантом , оно часто использовалось в старой квантовой теории и не имеет прямого отношения к теплообмену.

Примеры систем

Простой маятник

В качестве примера рассмотрим маятник, колеблющийся в вертикальной плоскости. Если опора перемещается, режим колебания маятника изменится. Если опора перемещается достаточно медленно , движение маятника относительно опоры останется неизменным. Постепенное изменение внешних условий позволяет системе адаптироваться, так что она сохраняет свой первоначальный характер. Подробный классический пример доступен на странице Адиабатический инвариант и здесь. ^[10]

Квантовый гармонический осциллятор

Рисунок 1. Изменение плотности вероятности квантового гармонического осциллятора в основном состоянии из-за адиабатического увеличения жесткости пружины. ${\displaystyle |\psi (t)|^{2}}$

Классическая природа маятника исключает полное описание эффектов адиабатической теоремы. В качестве еще одного примера рассмотрим квантовый гармонический осциллятор при увеличении жесткости пружины . Классически это эквивалентно увеличению жесткости пружины; квантово-механически эффект представляет собой сужение кривой потенциальной энергии в гамильтониане системы . ${\displaystyle k}$

Если увеличивается адиабатически, то система в момент времени будет находиться в мгновенном собственном состоянии текущего гамильтониана , соответствующем начальному собственному состоянию . Для особого случая системы, такой как квантовый гармонический осциллятор, описываемый одним квантовым числом , это означает, что квантовое число останется неизменным. На рисунке 1 показано, как гармонический осциллятор, изначально находящийся в своем основном состоянии, , остается в основном состоянии по мере сжатия кривой потенциальной энергии; функциональная форма состояния адаптируется к медленно меняющимся условиям. ${\displaystyle k}$ ${\textstyle \left({\frac {dk}{dt}}\to 0\right)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(0)}$ ${\displaystyle n=0}$

При быстром увеличении жесткости пружины система подвергается диабатическому процессу , в котором у системы нет времени адаптировать свою функциональную форму к изменяющимся условиям. В то время как конечное состояние должно выглядеть идентично начальному состоянию для процесса, происходящего в течение исчезающего периода времени, нет собственного состояния нового гамильтониана, , которое напоминало бы начальное состояние. Конечное состояние состоит из линейной суперпозиции многих различных собственных состояний, сумма которых воспроизводит форму начального состояния. ${\textstyle \left({\frac {dk}{dt}}\to \infty \right)}$ ${\displaystyle \left(|\psi (t)|^{2}=|\psi (0)|^{2}\right)}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$

Избежано пересечения кривой

Рисунок 2. Избежанное пересечение энергетических уровней в двухуровневой системе, подверженной внешнему магнитному полю. Обратите внимание на энергии диабатических состояний и и собственные значения гамильтониана, дающие энергии собственных состояний и (адиабатических состояний). (На самом деле, и должны быть переключены на этой картинке.) ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |2\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{2}\rangle }$

Для более широко применимого примера рассмотрим 2- уровневый атом, подвергнутый воздействию внешнего магнитного поля . ^[11] Состояния, помеченные и использующие обозначение скобок , можно рассматривать как состояния атомного углового момента , каждое из которых имеет определенную геометрию. По причинам, которые станут ясны, эти состояния в дальнейшем будут называться диабатическими состояниями. Волновая функция системы может быть представлена ​​как линейная комбинация диабатических состояний: ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |2\rangle }$

${\displaystyle |\Psi \rangle =c_{1}(t)|1\rangle +c_{2}(t)|2\rangle .}$

При отсутствии поля энергетическое разделение диабатических состояний равно ; энергия состояния увеличивается с ростом магнитного поля (состояние поиска слабого поля), в то время как энергия состояния уменьшается с ростом магнитного поля (состояние поиска сильного поля). Предполагая, что зависимость от магнитного поля линейна, матрицу Гамильтона для системы с приложенным полем можно записать ${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |2\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\mu B(t)-\hbar \omega _{0}/2&a\\a^{*}&\hbar \omega _{0}/2-\mu B(t)\end{pmatrix}}}$

где — магнитный момент атома, который предполагается одинаковым для двух диабатических состояний, а — некоторая независимая от времени связь между двумя состояниями. Диагональные элементы — это энергии диабатических состояний ( и ), однако, поскольку — не диагональная матрица , ясно, что эти состояния не являются собственными состояниями из-за недиагональной константы связи. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E_{1}(t)}$ ${\displaystyle E_{2}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Собственные векторы матрицы являются собственными состояниями системы, которые мы обозначим и , с соответствующими собственными значениями ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle |\phi _{1}(t)\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{2}(t)\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}(t)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}\\[4pt]\varepsilon _{2}(t)&=+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Важно понимать, что собственные значения и являются единственными допустимыми выходными значениями для любого отдельного измерения энергии системы, тогда как диабатические энергии и соответствуют ожидаемым значениям энергии системы в диабатических состояниях и . ${\displaystyle \varepsilon _{1}(t)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}(t)}$ ${\displaystyle E_{1}(t)}$ ${\displaystyle E_{2}(t)}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |2\rangle }$

На рисунке 2 показана зависимость диабатической и адиабатической энергий от величины магнитного поля; обратите внимание, что для ненулевой связи собственные значения гамильтониана не могут быть вырожденными , и, таким образом, мы имеем избегаемое пересечение. Если атом изначально находится в состоянии в нулевом магнитном поле (на красной кривой, в крайнем левом положении), адиабатическое увеличение магнитного поля обеспечит сохранение системы в собственном состоянии гамильтониана на протяжении всего процесса (следует красной кривой). Диабатическое увеличение магнитного поля обеспечит следование системы по диабатическому пути (пунктирная синяя линия), так что система претерпит переход в состояние . Для конечных скоростей нарастания магнитного поля будет конечная вероятность нахождения системы в любом из двух собственных состояний. Ниже приведены подходы к расчету этих вероятностей. ${\displaystyle |\phi _{2}(t_{0})\rangle }$ ${\textstyle \left({\frac {dB}{dt}}\to 0\right)}$ ${\displaystyle |\phi _{2}(t)\rangle }$ ${\textstyle \left({\frac {dB}{dt}}\to \infty \right)}$ ${\displaystyle |\phi _{1}(t_{1})\rangle }$ ${\textstyle \left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}$

Эти результаты чрезвычайно важны в атомной и молекулярной физике для управления распределением энергетических состояний в популяции атомов или молекул.

Математическое утверждение

При медленно меняющемся гамильтониане с мгновенными собственными состояниями и соответствующими энергиями квантовая система переходит из начального состояния в конечное состояние , где коэффициенты претерпевают изменение фазы ${\displaystyle H(t)}$ ${\displaystyle |n(t)\rangle }$ ${\displaystyle E_{n}(t)}$ $${\displaystyle |\psi (0)\rangle =\sum _{n}c_{n}(0)|n(0)\rangle }$$ $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)|n(t)\rangle ,}$$ $${\displaystyle c_{n}(t)=c_{n}(0)e^{i\theta _{n}(t)}e^{i\gamma _{n}(t)}}$$

с динамической фазой $${\displaystyle \theta _{m}(t)=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{t}E_{m}(t')dt'}$$

и геометрическая фаза $${\displaystyle \gamma _{m}(t)=i\int _{0}^{t}\langle m(t')|{\dot {m}}(t')\rangle dt'.}$$

В частности, , поэтому, если система начинает в собственном состоянии , она остается в собственном состоянии в течение эволюции только с изменением фазы. ${\displaystyle |c_{n}(t)|^{2}=|c_{n}(0)|^{2}}$ ${\displaystyle H(0)}$ ${\displaystyle H(t)}$

Доказательства

Примеры приложений

Часто твердый кристалл моделируется как набор независимых валентных электронов, движущихся в среднем идеально периодическом потенциале, созданном жесткой решеткой ионов. С помощью адиабатической теоремы мы можем также включить вместо этого движение валентных электронов через кристалл и тепловое движение ионов, как в приближении Борна-Оппенгеймера . ^[17]

Это объясняет многие явления в области:

• термодинамика : Температурная зависимость удельной теплоемкости , тепловое расширение , плавление
• явления переноса : температурная зависимость электросопротивления проводников , температурная зависимость электропроводности в изоляторах , некоторые свойства низкотемпературной сверхпроводимости
• оптика : оптическое поглощение в инфракрасном диапазоне для ионных кристаллов , рассеяние Мандельштама-Бриллюэна , комбинационное рассеяние

Вывод условий для диабатического и адиабатического перехода

Теперь мы проведем более строгий анализ. ^[18] Используя обозначение скобок , вектор состояния системы в момент времени можно записать ${\displaystyle t}$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}^{A}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|\phi _{n}\rangle ,}$

где пространственная волновая функция, упомянутая ранее, является проекцией вектора состояния на собственные состояния оператора положения

${\displaystyle \psi (x,t)=\langle x|\psi (t)\rangle .}$

Поучительно рассмотреть предельные случаи, в которых очень большое (адиабатическое, или постепенное изменение) и очень малое (диабатическое, или внезапное изменение). ${\displaystyle \tau }$

Рассмотрим гамильтониан системы, претерпевающий непрерывное изменение от начального значения , в момент времени , до конечного значения , в момент времени , где . Эволюция системы может быть описана в картине Шредингера оператором эволюции во времени, определяемым интегральным уравнением ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{1}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{0}}$

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t'){\hat {U}}(t',t_{0})dt',}$

что эквивалентно уравнению Шредингера .

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {U}}(t,t_{0}),}$

вместе с начальным условием . Зная волновую функцию системы в , можно получить эволюцию системы до более позднего времени, используя ${\displaystyle {\hat {U}}(t_{0},t_{0})=1}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Задача определения адиабатичности данного процесса эквивалентна установлению зависимости от . ${\displaystyle {\hat {U}}(t_{1},t_{0})}$ ${\displaystyle \tau }$

Чтобы определить справедливость адиабатического приближения для данного процесса, можно вычислить вероятность нахождения системы в состоянии, отличном от того, в котором она начиналась. Используя обозначение скобок и определение , имеем: ${\displaystyle |0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle }$

${\displaystyle \zeta =\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle -\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0})|0\rangle \langle 0|{\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle .}$

Мы можем расширить ${\displaystyle {\hat {U}}(t_{1},t_{0})}$

${\displaystyle {\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1+{1 \over i\hbar }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt+{1 \over (i\hbar )^{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt'\int _{t_{0}}^{t'}dt''{\hat {H}}(t'){\hat {H}}(t'')+\cdots .}$

В пертурбативном пределе мы можем взять только первые два члена и подставить их в наше уравнение для , признавая, что ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {1 \over \tau }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt\equiv {\bar {H}}}$

— гамильтониан системы, усредненный по интервалу , имеем: ${\displaystyle t_{0}\to t_{1}}$

${\displaystyle \zeta =\langle 0|(1+{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})(1-{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})|0\rangle -\langle 0|(1+{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})|0\rangle \langle 0|(1-{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})|0\rangle .}$

После расширения ассортимента продукции и соответствующих отмен у нас осталось:

${\displaystyle \zeta ={\frac {\tau ^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(\langle 0|{\bar {H}}^{2}|0\rangle -\langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \right),}$

давая

${\displaystyle \zeta ={\frac {\tau ^{2}\Delta {\bar {H}}^{2}}{\hbar ^{2}}},}$

где — среднеквадратичное отклонение гамильтониана системы, усредненное по интересующему интервалу. ${\displaystyle \Delta {\bar {H}}}$

Внезапное приближение справедливо, когда (вероятность нахождения системы в состоянии, отличном от того, в котором она была запущена, стремится к нулю), таким образом, условие справедливости задается выражением ${\displaystyle \zeta \ll 1}$

${\displaystyle \tau \ll {\hbar \over \Delta {\bar {H}}},}$

что является утверждением временно-энергетической формы принципа неопределенности Гейзенберга .

Диабатический проход

В пределе мы имеем бесконечно быстрый, или диабатный переход: ${\displaystyle \tau \to 0}$

${\displaystyle \lim _{\tau \to 0}{\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1.}$

Функциональная форма системы остается неизменной:

${\displaystyle |\langle x|\psi (t_{1})\rangle |^{2}=\left|\langle x|\psi (t_{0})\rangle \right|^{2}.}$

Иногда это называют внезапным приближением. Действительность приближения для данного процесса можно охарактеризовать вероятностью того, что состояние системы останется неизменным:

${\displaystyle P_{D}=1-\zeta .}$

Адиабатический проход

В пределе мы имеем бесконечно медленный, или адиабатический переход. Система развивается, приспосабливая свою форму к изменяющимся условиям, ${\displaystyle \tau \to \infty }$

${\displaystyle |\langle x|\psi (t_{1})\rangle |^{2}\neq |\langle x|\psi (t_{0})\rangle |^{2}.}$

Если система изначально находится в собственном состоянии , то через некоторое время она перейдет в соответствующее собственное состояние . ${\displaystyle {\hat {H}}(t_{0})}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t_{1})}$

Это называется адиабатическим приближением. Справедливость приближения для данного процесса может быть определена из вероятности того, что конечное состояние системы отличается от начального состояния:

${\displaystyle P_{A}=\zeta .}$

Расчет вероятностей адиабатического прохождения

Формула Ландау–Зинера

В 1932 году аналитическое решение задачи вычисления вероятностей адиабатического перехода было опубликовано отдельно Львом Ландау и Кларенсом Зинером ^[19] для особого случая линейно изменяющегося возмущения, в котором изменяющийся во времени компонент не связывает соответствующие состояния (следовательно, связь в диабатической гамильтоновой матрице не зависит от времени).

Ключевым показателем качества в этом подходе является скорость Ландау-Зенера: где — переменная возмущения (электрическое или магнитное поле, длина молекулярной связи или любое другое возмущение системы), а и — энергии двух диабатических (перекрестных) состояний. Большое приводит к большой вероятности диабатического перехода и наоборот. $${\displaystyle v_{\text{LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}},}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle v_{\text{LZ}}}$

Используя формулу Ландау–Зенера, вероятность диабатического перехода определяется выражением ${\displaystyle P_{\rm {D}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\\\end{aligned}}}$$

Численный подход

Для перехода, включающего нелинейное изменение переменной возмущения или зависящую от времени связь между диабатическими состояниями, уравнения движения для динамики системы не могут быть решены аналитически. Вероятность диабатического перехода все еще может быть получена с использованием одного из широкого спектра алгоритмов численного решения для обыкновенных дифференциальных уравнений .

Уравнения, которые необходимо решить, можно получить из зависящего от времени уравнения Шредингера:

$${\displaystyle i\hbar {\dot {\underline {c}}}^{A}(t)=\mathbf {H} _{A}(t){\underline {c}}^{A}(t),}$$

где — вектор, содержащий амплитуды адиабатического состояния, — зависящий от времени адиабатический гамильтониан, ^[11] а точка над точкой представляет производную по времени. ${\displaystyle {\underline {c}}^{A}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{A}(t)}$

Сравнение начальных условий, используемых со значениями амплитуд состояний после перехода, может дать вероятность диабатического перехода. В частности, для системы с двумя состояниями: для системы, которая началась с . $${\displaystyle P_{D}=|c_{2}^{A}(t_{1})|^{2}}$$ ${\displaystyle |c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1}$

Смотрите также

• Формула Ландау–Зинера
• Фаза ягод
• Квантовое перемешивание, храповики и насосы
• Адиабатический квантовый двигатель
• Приближение Борна–Оппенгеймера
• Гипотеза термализации собственного состояния
• Адиабатический процесс

Ссылки

1. Борн, М. и Фок, Вирджиния (1928). «Beweis des Adiabatensatzes». Zeitschrift für Physik A. 51 (3–4): 165–180. Бибкод : 1928ZPhy...51..165B. дои : 10.1007/BF01343193. S2CID  122149514.
2. Институты Solvay, Брюссель, Международный совет телосложения; Сольвей, Эрнест; Ланжевен, Поль; Бройль, Морис де; Эйнштейн, Альберт (1912). La theorie du rayonnement et les quanta: взаимопонимание и дискуссии о воссоединении Tenue в Брюсселе, от 30 октября до 3 ноября 1911 года, под покровительством ME Solvay. Библиотека Университета Британской Колумбии. Париж, Франция: Готье-Виллар. п. 450.
3. ЭРЕНФЕСТ, П. (1911): «Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle?» Annalen der Physik 36, стр. 91–118. Перепечатано в KLEIN (1959), стр. 185–212.
4. "Письмо Мишель Бессо, 21 октября 1911 г., переведено в Томе 5: Швейцарские годы: переписка, 1902-1914 (дополнение к английскому переводу), стр. 215". einsteinpapers.press.princeton.edu . Получено 17 апреля 2024 г.
5. Laidler, Keith J. (1994-03-01). «Значение слова «адиабатический»». Canadian Journal of Chemistry . 72 (3): 936–938. doi :10.1139/v94-121. ISSN  0008-4042.
6. Като, Т. (1950). «Об адиабатической теореме квантовой механики». Журнал Физического общества Японии . 5 (6): 435–439. Bibcode : 1950JPSJ....5..435K. doi : 10.1143/JPSJ.5.435.
7. Avron, JE и Elgart, A. (1999). «Адиабатическая теорема без условия зазора». Сообщения по математической физике . 203 (2): 445–463. arXiv : math-ph/9805022 . Bibcode :1999CMaPh.203..445A. doi :10.1007/s002200050620. S2CID  14294926.
8. Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). "10". Введение в квантовую механику . Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
9. Цвибах, Бартон (весна 2018 г.). "L15.2 Классический адиабатический инвариант". MIT 8.06 Квантовая физика III. Архивировано из оригинала 21.12.2021.
10. Цвибах, Бартон (весна 2018 г.). «Классический аналог: осциллятор с медленно меняющейся частотой». MIT 8.06 Квантовая физика III. Архивировано из оригинала 21.12.2021.
11. Stenholm, Stig (1994). «Квантовая динамика простых систем». 44-я летняя школа по физике шотландских университетов : 267–313.
12. Sakurai, JJ; Napolitano, Jim (2020-09-17). Современная квантовая механика (3-е изд.). Cambridge University Press. Bibcode : 2020mqm..book.....S. doi : 10.1017/9781108587280. ISBN 978-1-108-58728-0.
13. Zwiebach, Barton (весна 2018 г.). "L16.1 Квантовая адиабатическая теорема, изложенная". MIT 8.06 Квантовая физика III. Архивировано из оригинала 21.12.2021.
14. «MIT 8.06 Квантовая физика III».
15. Берневиг, Б. Андрей; Хьюз, Тейлор Л. (2013). Топологические изоляторы и топологические сверхпроводники . Princeton university press. стр. Гл. 1.
16. Холдейн. «Нобелевская лекция» (PDF) .
17. Боттани, Карло Э. (2017–2018). Конспект лекций по физике твердого тела . С. 64–67.
18. Мессия, Альберт (1999). "XVII". Квантовая механика . Dover Publications. ISBN 0-486-40924-4.
19. Zener, C. (1932). «Неадиабатическое пересечение энергетических уровней». Труды Лондонского королевского общества, серия A. 137 ( 6): 692–702. Bibcode : 1932RSPSA.137..696Z. doi : 10.1098/rspa.1932.0165 . JSTOR  96038.