Средневзвешенное арифметическое

Статистическая сумма

Средневзвешенное арифметическое значение похоже на обычное среднее арифметическое (наиболее распространенный тип среднего ), за исключением того, что вместо того, чтобы каждая из точек данных вносила равный вклад в окончательное среднее значение, некоторые точки данных вносят больший вклад, чем другие. Понятие взвешенного среднего играет роль в описательной статистике , а также встречается в более общей форме в некоторых других областях математики.

Если все веса равны, то средневзвешенное значение совпадает со средним арифметическим . Хотя взвешенные средние обычно ведут себя аналогично средним арифметическим, у них есть несколько противоречивых свойств, как это отражено, например, в парадоксе Симпсона .

Примеры

Базовый пример

Даны два школьных класса  —  один с 20 учениками, другой с 30 учениками  —  и тестовые оценки в каждом классе следующие:

Утреннее занятие = {62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98}

Дневное занятие = {81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99}

Среднее значение для утреннего класса составляет 80, а среднее значение для дневного класса — 90. Невзвешенное среднее двух средних — 85. Однако это не учитывает разницу в количестве учеников в каждом классе (20 против 30); следовательно, значение 85 не отражает средний балл ученика (независимо от класса). Среднюю оценку ученика можно получить, усреднив все оценки без учета классов (сложить все оценки и разделить на общее количество учеников):

$${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {4300}{50}}=86.}$$

Или это может быть достигнуто путем взвешивания средних значений класса по количеству учащихся в каждом классе. Большому классу придается больший «вес»:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {(20\times 80)+(30\times 90)}{20+30}}=86.}$

Таким образом, средневзвешенное значение позволяет найти среднюю оценку учащегося, не зная баллов каждого учащегося. Необходимы только средства класса и количество учеников в каждом классе.

Пример выпуклой комбинации

Поскольку важны только относительные веса, любое средневзвешенное значение можно выразить с помощью коэффициентов, сумма которых равна единице. Такая линейная комбинация называется выпуклой комбинацией .

Используя предыдущий пример, мы получили бы следующие веса:

${\displaystyle {\frac {20}{20+30}}=0.4}$

${\displaystyle {\frac {30}{20+30}}=0.6}$

Затем примените веса следующим образом:

${\displaystyle {\bar {x}}=(0.4\times 80)+(0.6\times 90)=86.}$

Математическое определение

Формально средневзвешенное значение непустого конечного кортежа данных с соответствующими неотрицательными весами равно ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle \left(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\right)}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

который расширяется до:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}.}$

Таким образом, элементы данных с высоким весом вносят больший вклад в средневзвешенное значение, чем элементы с низким весом. Чтобы уравнение работало, веса не могут быть отрицательными ^[a] . Некоторые могут быть нулевыми, но не все (поскольку деление на ноль не допускается).

Формулы упрощаются, когда веса нормализуются так, что их сумма равна 1, т.е. Для таких нормализованных весов средневзвешенное значение эквивалентно: ${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'}=1}$

${\displaystyle {\bar {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'x_{i}}}$.

Всегда можно нормализовать веса, выполнив следующее преобразование исходных весов:

${\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}}$.

Обычное среднее значение — это частный случай взвешенного среднего значения, когда все данные имеют одинаковый вес. ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}$

Если элементы данных являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с дисперсией , стандартная ошибка взвешенного среднего , может быть показана посредством распространения неопределенности как: ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$

${\textstyle \sigma _{\bar {x}}=\sigma {\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'^{2}}}}$

Веса, определяемые дисперсией

Для средневзвешенного списка данных, для которых каждый элемент потенциально происходит из другого распределения вероятностей с известной дисперсией , и все они имеют одно и то же среднее значение, один из возможных вариантов весов определяется обратной величиной дисперсии: ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}.}$

Средневзвешенное значение в этом случае равно:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left({\dfrac {x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}}\right)}{\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}\cdot w_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

а стандартная ошибка средневзвешенного значения (с весами обратной дисперсии) равна:

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{-2}}}}={\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}},}$

Обратите внимание, что это сводится к тому, когда все . Это частный случай общей формулы из предыдущего раздела: ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sigma _{0}^{2}/n}$ ${\displaystyle \sigma _{i}=\sigma _{0}}$

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}\sigma _{i}^{2}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\sigma _{i}^{-4}\sigma _{i}^{2}}}{\left(\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{-2}\right)^{2}}}.}$

Уравнения, приведенные выше, можно объединить, чтобы получить:

${\displaystyle {\bar {x}}=\sigma _{\bar {x}}^{2}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}}.}$

Значение этого выбора заключается в том, что это взвешенное среднее значение является оценкой максимального правдоподобия среднего значения распределений вероятностей в предположении, что они независимы и обычно распределяются с одним и тем же средним значением.

Статистические свойства

Ожидание

Взвешенное выборочное среднее само по себе является случайной величиной. Его ожидаемое значение и стандартное отклонение связаны с ожидаемыми значениями и стандартными отклонениями наблюдений следующим образом. Для простоты мы предполагаем нормализованные веса (веса, сумма которых равна единице). ${\displaystyle {\bar {x}}}$

Если наблюдения имеют ожидаемые значения

$${\displaystyle E(x_{i})={\mu _{i}},}$$

$${\displaystyle E({\bar {x}})=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'\mu _{i}}.}$$

${\displaystyle \mu _{i}=\mu }$

$${\displaystyle E({\bar {x}})=\mu .}$$

Дисперсия

Простой случай с идентификатором

Если рассматривать веса как константы и иметь выборку из n наблюдений некоррелированных случайных величин , все с одинаковой дисперсией и математическим ожиданием (как в случае с iid случайными величинами), тогда дисперсию взвешенного среднего можно оценить как умножение невзвешенной дисперсии по эффекту плана Киша (см. доказательство ):

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\bar {y}}_{w})={\hat {\sigma }}_{y}^{2}{\frac {\overline {w^{2}}}{{\bar {w}}^{2}}}}$

С , , и ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}}$ ${\displaystyle {\bar {w}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {w^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{n}}}$

Однако эта оценка довольно ограничена из-за сильного предположения о наблюдениях y . Это привело к разработке альтернативных, более общих оценок.

Перспектива выборки опроса

С точки зрения модели мы заинтересованы в оценке дисперсии взвешенного среднего значения, когда разные значения не являются случайными величинами. Альтернативный взгляд на эту проблему заключается в произвольной схеме выборки данных, в которой единицы выбираются с неравной вероятностью (с заменой). ^{[1] : 306} ${\displaystyle y_{i}}$

В методологии исследования среднее значение совокупности некоторой интересующей величины y рассчитывается путем оценки суммы y по всем элементам совокупности ( Y или иногда T ) и деления ее на размер популяции – либо известный ( ) или расчетное ( ). В этом контексте каждое значение y считается постоянным, а изменчивость возникает в результате процедуры выбора. Это в отличие от подходов, основанных на модели, в которых случайность часто описывается значениями y. Процедура выборки опроса дает серию значений индикатора Бернулли ( ), которым присваивается 1, если какое-то наблюдение i присутствует в выборке, и 0, если оно не было выбрано. Это может произойти при фиксированном размере выборки или выборке разного размера (например, выборка Пуассона ). Вероятность выбора некоторого элемента при данной выборке обозначается как , а вероятность выбора при одном розыгрыше равна (если N очень велико, а каждый из них очень мал). Для следующего вывода мы будем предполагать, что вероятность выбора каждого элемента полностью представлена ​​этими вероятностями. ^{[2] : 42, 43, 51} То есть: выбор какого-либо элемента не повлияет на вероятность получения другого элемента (это не относится к таким вещам, как дизайн кластерной выборки ). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {N}}}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle P(I_{i}=1\mid {\text{Some sample of size }}n)=\pi _{i}}$ ${\displaystyle P(I_{i}=1|{\text{one sample draw}})=p_{i}\approx {\frac {\pi _{i}}{n}}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Поскольку каждый элемент ( ) фиксирован, а случайность зависит от того, включен он в выборку или нет ( ), мы часто говорим об умножении двух, что является случайной величиной. Чтобы избежать путаницы в следующем разделе, давайте называть этот термин: . Со следующим ожиданием: ; и дисперсия: . ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle y'_{i}=y_{i}I_{i}}$ ${\displaystyle E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}}$ ${\displaystyle V[y'_{i}]=y_{i}^{2}V[I_{i}]=y_{i}^{2}\pi _{i}(1-\pi _{i})}$

Когда каждый элемент выборки увеличивается на величину, обратную вероятности его выбора, это называется -расширенными значениями y , т.е.: . Связанная величина — это -расширенные значения y : . ^{[2] : 42, 43, 51, 52} Как и выше, мы можем добавить галочку при умножении на индикаторную функцию. Т.е.: ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\frac {y_{i}}{p_{i}}}=n{\check {y}}_{i}}$ ${\displaystyle {\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}}$

В этом подходе, основанном на дизайне , веса, используемые в числителе взвешенного среднего, получаются путем взятия обратной вероятности выбора (т. е. коэффициента инфляции). Т.е.: . ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}}$

Отклонение взвешенной суммы ( оценка pwr для итогов)

Если известен размер популяции N, мы можем оценить среднее значение популяции, используя . ${\displaystyle {\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}}$

Если схема выборки приводит к фиксированному размеру выборки n (например, при выборке в pps ), то дисперсия этой оценки равна:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}\right)={\frac {1}{N^{2}}}{\frac {n}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}-{\overline {wy}}\right)^{2}}$

Доказательство

Общую формулу можно разработать следующим образом:

${\displaystyle {\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}}{N}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}.}$

Общая численность населения обозначается как и может быть оценена с помощью (несмещенной) оценки Хорвица – Томпсона , также называемой -оценкой. Эту оценку можно оценить с помощью оценки pwr (т. е.: оценки, расширенной с заменой, или оценки «вероятности с заменой»). С учетом приведенных выше обозначений это: . ^{[2] : 51} ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}y_{i}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}$

Предполагаемая дисперсия PWR -оценщика определяется следующим образом: ^{[2] : 52}

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {Y}}_{pwr})={\frac {n}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}-{\overline {wy}}\right)^{2}}$$

где . ${\displaystyle {\overline {wy}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}y_{i}}{n}}}$

Приведенная выше формула была взята из Sarndal et al. (1992) (также представлено в Cochran 1977), но было написано по-другому. ^{[2] : 52  [1] : 307 (11,35)} Слева показано, как была записана дисперсия, а справа — как мы разработали взвешенную версию:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} ({\hat {Y}}_{\text{pwr}})&={\frac {1}{n}}{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {y_{i}}{p_{i}}}-{\hat {Y}}_{pwr}\right)^{2}\\&={\frac {1}{n}}{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {n}{n}}{\frac {y_{i}}{p_{i}}}-{\frac {n}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}\right)^{2}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(n{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}-n{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{n}}\right)^{2}\\&={\frac {n^{2}}{n}}{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}-{\overline {wy}}\right)^{2}\\&={\frac {n}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}-{\overline {wy}}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

И мы добрались до формулы сверху.

Альтернативный термин, обозначающий случайный размер выборки (как в случае с выборкой Пуассона ), представлен в Sarndal et al. (1992) как: ^{[2] : 182}

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{pwr (known }}N{\text{)}}})={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\check {\Delta }}_{ij}{\check {y}}_{i}{\check {y}}_{j}\right)}$$

С . Кроме того, где вероятность выбора как i, так и j. ^{[2] : 36} И , и для i=j: . ^{[2] : 43} ${\displaystyle {\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}$ ${\displaystyle C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}}$ ${\displaystyle \pi _{ij}}$ ${\displaystyle {\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}}$ ${\displaystyle {\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}}$

Если вероятности выбора некоррелированы (т.е.: ) и если предположить, что вероятность каждого элемента очень мала, то: ${\displaystyle \forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0}$

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{pwr (known }}N{\text{)}}})={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}\right)^{2}}$

Доказательство

Мы предполагаем, что и то ${\displaystyle (1-\pi _{i})\approx 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} ({\hat {Y}}_{{\text{pwr (known }}N{\text{)}}})&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\check {\Delta }}_{ij}{\check {y}}_{i}{\check {y}}_{j}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left({\check {\Delta }}_{ii}{\check {y}}_{i}{\check {y}}_{i}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left((1-\pi _{i}){\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Дисперсия средневзвешенного значения ( π -оценка для среднего отношения )

В предыдущем разделе речь шла об оценке среднего значения численности населения как отношения предполагаемой общей численности населения ( ) к известному размеру популяции ( ), и в этом контексте оценивалась дисперсия. Другим распространенным случаем является то, что сам размер популяции ( ) неизвестен и оценивается с использованием выборки (т. е.: ). Оценку можно описать как сумму весов. Итак, когда мы получим . В приведенных выше обозначениях параметр, который нас интересует, — это отношение сумм s и 1s. Т.е.: . Мы можем оценить это, используя нашу выборку с: . Когда мы перешли от использования N к использованию n, мы фактически знаем, что все переменные индикатора получают 1, поэтому мы могли бы просто написать: . Это будет оценка для конкретных значений y и w, но статистические свойства появляются при включении индикаторной переменной . ^{[2] : 162, 163, 176} ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}}$ ${\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}}$ ${\displaystyle {\hat {R}}={\hat {\bar {Y}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}I_{i}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}I_{i}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}'_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}1'_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}={\bar {y}}_{w}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}}$

Это называется оценкой отношения , и она приблизительно несмещена для R . ^{[2] : 182}

В этом случае изменчивость отношения зависит от изменчивости случайных величин как в числителе, так и в знаменателе, а также от их корреляции. Поскольку не существует закрытой аналитической формы для расчета этой дисперсии, для приближенной оценки используются различные методы. В первую очередь линеаризация первого порядка рядов Тейлора , асимптотика и бутстрап/складной нож. ^{[2] : 172} Метод линеаризации Тейлора может привести к недооценке дисперсии для небольших размеров выборки в целом, но это зависит от сложности статистики. Для средневзвешенного значения предполагается, что приблизительная дисперсия будет относительно точной даже для средних размеров выборки. ^{[2] : 176} Для случая, когда выборка имеет случайный размер выборки (как в выборке Пуассона ), это выглядит следующим образом: ^{[2] : 182}

${\displaystyle {\widehat {V({\bar {y}}_{w})}}={\frac {1}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}(y_{i}-{\bar {y}}_{w})^{2}}$.

Если , то использование или даст ту же самую оценку, поскольку умножение на некоторый коэффициент приведет к той же самой оценке. Это также означает, что если мы масштабируем сумму весов так, чтобы она была равна известному заранее размеру популяции N , расчет дисперсии будет выглядеть так же. Когда все веса равны друг другу, эта формула сводится к стандартной несмещенной оценке дисперсии. ${\displaystyle \pi _{i}\approx p_{i}n}$ ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}}$ ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}}$ ${\displaystyle w_{i}}$

Доказательство

Линеаризация Тейлора утверждает, что для общей оценки отношения двух сумм ( ) они могут быть расширены вокруг истинного значения R и дать: ^{[2] : 178} ${\displaystyle {\hat {R}}={\frac {\hat {Y}}{\hat {Z}}}}$

$${\displaystyle {\hat {R}}={\frac {\hat {Y}}{\hat {Z}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}z'_{i}}}\approx R+{\frac {1}{Z}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}-R{\frac {z'_{i}}{\pi _{i}}}\right)}$$

А дисперсию можно аппроксимировать следующим образом: ^{[2] : 178, 179.}

$${\displaystyle {\widehat {V({\hat {R}})}}={\frac {1}{{\hat {Z}}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\check {\Delta }}_{ij}{\frac {y_{i}-{\hat {R}}z_{i}}{\pi _{i}}}{\frac {y_{j}-{\hat {R}}z_{j}}{\pi _{j}}}\right)={\frac {1}{{\hat {Z}}^{2}}}\left[{\widehat {V({\hat {Y}})}}+{\hat {R}}{\widehat {V({\hat {Z}})}}-2{\hat {R}}{\hat {C}}({\hat {Y}},{\hat {Z}})\right]}$$

.

Этот термин представляет собой расчетную ковариацию между расчетной суммой Y и расчетной суммой Z. Поскольку это ковариация двух сумм случайных величин , она будет включать множество комбинаций ковариаций, которые будут зависеть от индикаторных переменных. Если вероятность выбора некоррелирована (т.е.: ), этот термин все равно будет включать суммирование n ковариаций для каждого элемента i между и . Это помогает проиллюстрировать, что эта формула учитывает влияние корреляции между y и z на дисперсию оценок отношения. ${\displaystyle {\hat {C}}({\hat {Y}},{\hat {Z}})}$ ${\displaystyle \forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0}$ ${\displaystyle y'_{i}=I_{i}y_{i}}$ ${\displaystyle z'_{i}=I_{i}z_{i}}$

При определении вышеизложенного становится: ^{[2] : 182} ${\displaystyle z_{i}=1}$

$${\displaystyle {\widehat {V({\hat {R}})}}={\widehat {V({\bar {y}}_{w})}}={\frac {1}{{\hat {N}}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\check {\Delta }}_{ij}{\frac {y_{i}-{\bar {y}}_{w}}{\pi _{i}}}{\frac {y_{j}-{\bar {y}}_{w}}{\pi _{j}}}\right).}$$

Если вероятности выбора некоррелированы (т.е.: ) и если предположить, что вероятность каждого элемента очень мала (т.е.: ), то вышеизложенное сводится к следующему: ${\displaystyle \forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0}$ ${\displaystyle (1-\pi _{i})\approx 1}$

$${\displaystyle {\widehat {V({\bar {y}}_{w})}}={\frac {1}{{\hat {N}}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left((1-\pi _{i}){\frac {y_{i}-{\bar {y}}_{w}}{\pi _{i}}}\right)^{2}={\frac {1}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}(y_{i}-{\bar {y}}_{w})^{2}.}$$

Аналогичное воссоздание доказательства (с некоторыми ошибками в конце) было предоставлено Томасом Ламли при перекрестной проверке. ^[3]

У нас есть (по крайней мере) две версии дисперсии для взвешенного среднего: одна с известной и одна с неизвестной оценкой размера популяции. Не существует однозначно лучшего подхода, но в литературе представлено несколько аргументов в пользу использования версии с оценкой численности населения (даже если размер популяции известен). ^{[2] : 188} Например: если все значения y постоянны, оценщик с неизвестной численностью населения даст правильный результат, в то время как оценщик с известной численностью населения будет иметь некоторую изменчивость. Кроме того, когда размер выборки сам по себе случайный (например, при выборке Пуассона ), версия с неизвестным средним значением генеральной совокупности считается более стабильной. Наконец, если доля выборки отрицательно коррелирует со значениями (т. е. меньшая вероятность выборки большого наблюдения), то версия с неизвестным размером популяции немного компенсирует это.

Для тривиального случая, когда все веса равны 1, приведенная выше формула аналогична обычной формуле для дисперсии среднего значения (но обратите внимание, что она использует оценку максимального правдоподобия для дисперсии вместо несмещенной дисперсии. Т.е.: разделив его на n вместо (n-1)).

Проверка начальной загрузки

Было показано Гатцем и др. (1995), что по сравнению с методами начальной загрузки следующее (оценка дисперсии среднего отношения с использованием линеаризации ряда Тейлора ) является разумной оценкой квадрата стандартной ошибки среднего значения (при использовании в контексте измерения химических компонентов) : ^{[4] : 1186}

${\displaystyle {\widehat {\sigma _{{\bar {x}}_{w}}^{2}}}={\frac {n}{(n-1)(n{\bar {w}})^{2}}}\left[\sum (w_{i}x_{i}-{\bar {w}}{\bar {x}}_{w})^{2}-2{\bar {x}}_{w}\sum (w_{i}-{\bar {w}})(w_{i}x_{i}-{\bar {w}}{\bar {x}}_{w})+{\bar {x}}_{w}^{2}\sum (w_{i}-{\bar {w}})^{2}\right]}$

где . Дальнейшее упрощение приводит к ${\displaystyle {\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}}$

${\displaystyle {\widehat {\sigma _{\bar {x}}^{2}}}={\frac {n}{(n-1)(n{\bar {w}})^{2}}}\sum w_{i}^{2}(x_{i}-{\bar {x}}_{w})^{2}}$

Гатц и др. отметим, что приведенная выше формулировка была опубликована Endlich et al. (1988) при рассмотрении взвешенного среднего как комбинации взвешенной общей оценки, разделенной на оценку размера популяции, ^[5] на основе формулировки, опубликованной Кокраном (1977), как приближение к среднему отношению. Однако Эндлих и др. похоже, не опубликовали этот вывод в своей статье (хотя они и упоминают, что использовали его), а книга Кокрана включает немного другую формулировку. ^{[1] : 155} Тем не менее, это почти идентично формулировкам, описанным в предыдущих разделах.

Оценщики на основе репликации

Поскольку не существует закрытой аналитической формы для дисперсии средневзвешенного значения, в литературе было предложено полагаться на такие методы репликации, как «Складной нож» и « Бутстреппинг» . ^{[1] : 321}

Другие примечания

Для некоррелированных наблюдений с дисперсиями дисперсия взвешенного выборочного среднего равна ^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}\sigma _{i}^{2}}}$

квадратный корень которого можно назвать стандартной ошибкой средневзвешенного значения (общий случай) . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$

Следовательно, если все наблюдения имеют одинаковую дисперсию, взвешенное выборочное среднее будет иметь дисперсию ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\sigma _{0}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sigma _{0}^{2}\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}},}$

где . Дисперсия достигает максимального значения, когда все веса, кроме одного, равны нулю. Его минимальное значение находится, когда все веса равны (т. е. невзвешенное среднее), и в этом случае мы имеем , т. е. оно вырождается в стандартную ошибку среднего , возведенную в квадрат. ${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$ ${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$ ${\textstyle \sigma _{\bar {x}}=\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}$

Поскольку всегда можно преобразовать ненормализованные веса в нормализованные веса, все формулы в этом разделе можно адаптировать к ненормализованным весам, заменив все . ${\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}$

Связанные понятия

Взвешенная выборочная дисперсия

Обычно при расчете среднего значения важно знать дисперсию и стандартное отклонение этого среднего значения. При использовании средневзвешенного значения дисперсия взвешенной выборки отличается от дисперсии невзвешенной выборки. ${\displaystyle \mu ^{*}}$

Смещенная взвешенная выборочная дисперсия определяется аналогично нормальной смещенной выборочной дисперсии : ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\sigma }}^{2}\ &={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{N}}\\{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}\end{aligned}}}$

где для нормированных весов. Если веса являются частотными весами (и, следовательно, являются случайными переменными), можно показать ^{[ нужна цитация ]} , что является оценкой максимального правдоподобия для iid гауссовских наблюдений. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Для небольших выборок принято использовать несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности. В обычных невзвешенных выборках N в знаменателе (соответствующем размеру выборки) изменяется на N  - 1 (см. поправку Бесселя ). В случае взвешенной настройки фактически существуют две разные несмещенные оценки: одна для случая весов частоты , а другая для случая весов надежности .

Частотные веса

Если веса являются частотными весами (где вес равен количеству вхождений), то несмещенная оценка имеет вид:

${\displaystyle s^{2}\ ={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}-1}}}$

Это эффективно применяет поправку Бесселя для частотных весов.

Например, если значения взяты из одного и того же распределения, то мы можем рассматривать этот набор как невзвешенную выборку или как взвешенную выборку с соответствующими весами , и в любом случае мы получим один и тот же результат. ${\displaystyle \{2,2,4,5,5,5\}}$ ${\displaystyle \{2,4,5\}}$ ${\displaystyle \{2,1,3\}}$

Если весовые коэффициенты нормированы на 1, то правильное выражение после поправки Бесселя будет выглядеть так: ${\displaystyle \{w_{i}\}}$

${\displaystyle s^{2}\ ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}-1}}\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}$

где общее количество выборок равно (не ). В любом случае информация об общем количестве выборок необходима для получения несмещенной поправки, даже если она имеет иное значение, чем частотный вес. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle w_{i}}$

Оценка может быть несмещенной только в том случае, если веса не стандартизированы и не нормализованы . Эти процессы изменяют среднее значение и дисперсию данных и, таким образом, приводят к потере базовой ставки (подсчета населения, который является требованием для поправки Бесселя).

Надежность

Если вместо этого веса неслучайны ( веса надежности ^{[ необходимо определение ]} ), мы можем определить поправочный коэффициент, чтобы получить несмещенную оценку. Предполагая, что каждая случайная величина выбрана из одного и того же распределения со средней и фактической дисперсией , учитывая наши ожидания, ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma _{\text{actual}}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [{\hat {\sigma }}^{2}]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}\operatorname {E} [(x_{i}-\mu )^{2}]}{N}}\\&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]-{\frac {1}{N}}\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]\\&=\left({\frac {N-1}{N}}\right)\sigma _{\text{actual}}^{2}\\\operatorname {E} [{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}\operatorname {E} [(x_{i}-\mu ^{*})^{2}]}{V_{1}}}\\&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]\\&=\left(1-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\right)\sigma _{\text{actual}}^{2}\end{aligned}}}$

где и . Следовательно, смещение в нашей оценке аналогично смещению в невзвешенной оценке (также обратите внимание, что это эффективный размер выборки ). Это означает, что для устранения смещения нашей оценки нам необходимо предварительно разделить на , гарантируя, что ожидаемое значение оцененной дисперсии равно фактической дисперсии выборочного распределения. ${\displaystyle V_{1}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}}$ ${\displaystyle V_{2}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \left(1-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\frac {N-1}{N}}\right)}$ ${\displaystyle \ V_{1}^{2}/V_{2}=N_{eff}}$ ${\displaystyle 1-\left(V_{2}/V_{1}^{2}\right)}$

Окончательная несмещенная оценка выборочной дисперсии:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {w} }^{2}\ &={\frac {{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}}{1-(V_{2}/V_{1}^{2})}}\\[4pt]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-\mu ^{*})^{2}}{V_{1}-(V_{2}/V_{1})}},\end{aligned}}}$^[6]

где . ${\displaystyle \operatorname {E} [s_{\mathrm {w} }^{2}]=\sigma _{\text{actual}}^{2}}$

Степени свободы взвешенной несмещенной выборочной дисперсии соответственно изменяются от N  - 1 до 0.

Стандартное отклонение — это просто квадратный корень из приведенной выше дисперсии.

В качестве примечания были описаны другие подходы для расчета взвешенной выборочной дисперсии. ^[7]

Взвешенная выборочная ковариация

Во взвешенной выборке каждому вектору-строке (каждому набору отдельных наблюдений по каждой из K случайных величин) присваивается вес . ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle w_{i}\geq 0}$

Тогда взвешенный средний вектор определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} }$

${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\mathbf {x} _{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}.}$

А взвешенная ковариационная матрица определяется следующим образом: ^[8]

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}}}.}$

Подобно взвешенной выборочной дисперсии, существуют две разные несмещенные оценки в зависимости от типа весов.

Частотные веса

Если веса являются частотными весами , несмещенная взвешенная оценка ковариационной матрицы с поправкой Бесселя определяется следующим образом: ^[8] ${\displaystyle \textstyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}-1}}.}$

Эта оценка может быть несмещенной только в том случае, если веса не стандартизированы и не нормализованы . Эти процессы изменяют среднее значение и дисперсию данных и, таким образом, приводят к потере базовой ставки (подсчета населения, который является требованием для поправки Бесселя).

Надежность

В случае весов надежности веса нормализуются :

${\displaystyle V_{1}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$

(Если это не так, разделите веса на их сумму, чтобы нормализовать их перед расчетом : ${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}}$

Тогда взвешенный средний вектор можно упростить до ${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} }$

${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} =\sum _{i=1}^{N}w_{i}\mathbf {x} _{i}.}$

а несмещенная взвешенная оценка ковариационной матрицы равна: ^[9] ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C} &={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{\left(\sum _{i=1}^{N}w_{i}\right)^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)\\&={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}-(V_{2}/V_{1})}}.\end{aligned}}}$

Рассуждение здесь такое же, как и в предыдущем разделе.

Поскольку мы предполагаем, что веса нормализованы, это сводится к: ${\displaystyle V_{1}=1}$

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{1-V_{2}}}.}$

Если все веса одинаковы, т. е. , то средневзвешенное значение и ковариация уменьшаются до невзвешенного выборочного среднего значения и ковариации, указанных выше. ${\displaystyle w_{i}/V_{1}=1/N}$

Векторные оценки

Вышеизложенное легко обобщается на случай взятия среднего значения векторных оценок. Например, оценки положения на плоскости могут иметь меньшую достоверность в одном направлении, чем в другом. Как и в скалярном случае, средневзвешенное значение нескольких оценок может обеспечить оценку максимального правдоподобия . Мы просто заменяем дисперсию ковариационной матрицей и обратную арифметику обратной матрицей ( обе обозначаются одинаково, через верхние индексы); тогда весовая матрица будет выглядеть следующим образом: ^[10] ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {W} _{i}=\mathbf {C} _{i}^{-1}.}$$

Средневзвешенное значение в этом случае равно:

$${\displaystyle {\bar {\mathbf {x} }}=\mathbf {C} _{\bar {\mathbf {x} }}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {W} _{i}\mathbf {x} _{i}\right),}$$

произведения матрицы на векторкоммутативным

$${\displaystyle \mathbf {C} _{\bar {\mathbf {x} }}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {W} _{i}\right)^{-1},}$$

Например, рассмотрим средневзвешенное значение точки [1 0] с высокой дисперсией второго компонента и [0 1] с высокой дисперсией первого компонента. Затем

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}:={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}^{\top },\qquad \mathbf {C} _{1}:={\begin{bmatrix}1&0\\0&100\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}:={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}^{\top },\qquad \mathbf {C} _{2}:={\begin{bmatrix}100&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

тогда средневзвешенное значение равно:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&=\left(\mathbf {C} _{1}^{-1}+\mathbf {C} _{2}^{-1}\right)^{-1}\left(\mathbf {C} _{1}^{-1}\mathbf {x} _{1}+\mathbf {C} _{2}^{-1}\mathbf {x} _{2}\right)\\[5pt]&={\begin{bmatrix}0.9901&0\\0&0.9901\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.9901\\0.9901\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

что имеет смысл: оценка [1 0] «совместима» во втором компоненте, а оценка [0 1] соответствует первому компоненту, поэтому средневзвешенное значение равно почти [1 1].

Учет корреляций

В общем случае предположим, что , - ковариационная матрица, связывающая величины , - общее среднее значение, подлежащее оценке, и - матрица плана, равная вектору единиц (длины ). Теорема Гаусса -Маркова утверждает, что оценка среднего значения с минимальной дисперсией определяется формулой: ${\displaystyle \mathbf {X} =[x_{1},\dots ,x_{n}]^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle [1,\dots ,1]^{T}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=(\mathbf {J} ^{T}\mathbf {W} \mathbf {J} )^{-1},}$

и

${\displaystyle {\bar {x}}=\sigma _{\bar {x}}^{2}(\mathbf {J} ^{T}\mathbf {W} \mathbf {X} ),}$

где:

${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {C} ^{-1}.}$

Уменьшение силы взаимодействия

Рассмотрим временные ряды независимой переменной и зависимой переменной с выборками наблюдений в дискретные моменты времени . Во многих распространенных ситуациях ценность времени зависит не только от его прошлых значений, но и от его прошлых значений. Обычно сила этой зависимости уменьшается с увеличением разделения наблюдений во времени. Чтобы смоделировать эту ситуацию, можно заменить независимую переменную ее скользящим средним для размера окна . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle z_{k}=\sum _{i=1}^{m}w_{i}x_{k+1-i}.}$

Экспоненциально уменьшающийся вес

В сценарии, описанном в предыдущем разделе, чаще всего уменьшение силы взаимодействия подчиняется отрицательному экспоненциальному закону. Если наблюдения производятся в равноотстоящие моменты времени, то экспоненциальное уменьшение эквивалентно уменьшению на постоянную долю на каждом временном шаге. Установив, мы можем определить нормализованные веса по ${\displaystyle 0<\Delta <1}$ ${\displaystyle w=1-\Delta }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle w_{i}={\frac {w^{i-1}}{V_{1}}},}$

где – сумма ненормализованных весов. В этом случае просто ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle V_{1}=\sum _{i=1}^{m}{w^{i-1}}={\frac {1-w^{m}}{1-w}},}$

приближается к большим значениям . ${\displaystyle V_{1}=1/(1-w)}$ ${\displaystyle m}$

Константа затухания должна соответствовать фактическому уменьшению силы взаимодействия. Если это невозможно определить из теоретических соображений, то для правильного выбора полезны следующие свойства экспоненциально убывающих весов: на шаге вес примерно равен , площадь хвоста - значение , площадь головы . Хвостовая область на шаге составляет . Если в первую очередь важны самые близкие наблюдения, а влияние остальных наблюдений можно смело игнорировать, тогда выбирайте такой вариант, чтобы область хвоста была достаточно маленькой. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle (1-w)^{-1}}$ ${\displaystyle {e^{-1}}(1-w)=0.39(1-w)}$ ${\displaystyle e^{-1}}$ ${\displaystyle {1-e^{-1}}=0.61}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \leq {e^{-n(1-w)}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$

Взвешенные средние функции

Понятие средневзвешенного значения можно распространить на функции. ^[11] Взвешенные средние функции играют важную роль в системах взвешенного дифференциального и интегрального исчисления. ^[12]

Корректировка чрезмерной или недостаточной дисперсии

Взвешенные средние обычно используются для нахождения средневзвешенного значения исторических данных, а не теоретически сгенерированных данных. В этом случае будет некоторая ошибка в дисперсии каждой точки данных. Обычно экспериментальные ошибки могут быть недооценены из-за того, что экспериментатор не принимает во внимание все источники ошибок при расчете дисперсии каждой точки данных. В этом случае дисперсию средневзвешенного значения необходимо скорректировать, чтобы учесть тот факт, что она слишком велика. Исправление, которое необходимо внести, ${\displaystyle \chi ^{2}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\bar {x}}^{2}=\sigma _{\bar {x}}^{2}\chi _{\nu }^{2}}$

где приведенный хи-квадрат : ${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}}$

${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}={\frac {1}{(n-1)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{\sigma _{i}^{2}}};}$

Квадратный корень можно назвать стандартной ошибкой средневзвешенного значения (веса дисперсии, скорректированный масштаб) . ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\bar {x}}}$

Когда все дисперсии данных равны, они компенсируются взвешенной средней дисперсией, которая снова сводится к стандартной ошибке среднего (в квадрате), , сформулированной в терминах выборочного стандартного отклонения (в квадрате), ${\displaystyle \sigma _{i}=\sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sigma ^{2}/n}$

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}.}$

Смотрите также

• Средний
• Главная тенденция
• Иметь в виду
• Среднеквадратичное отклонение
• Сводные статистические данные
• Весовая функция
• Средневзвешенная стоимость капитала
• Средневзвешенное геометрическое
• Взвешенное гармоническое среднее
• Взвешенные наименьшие квадраты
• Взвешенная медиана
• Взвешенное скользящее среднее
• Взвешенная сумма переменных
• Взвешивание
• Стандартная ошибка оценки доли при использовании взвешенных данных
• Оценщик соотношения

Примечания

1. Технически, отрицательные значения могут использоваться, если все значения равны нулю или являются отрицательными. Однако это не выполняет никакой функции, поскольку веса работают как абсолютные значения .

Рекомендации

1. Cochran, WG (1977). Методы отбора проб (3-е изд.). Нэшвилл, Теннесси: Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-16240-7
2. Карл-Эрик Сарндал; Бенгт Свенсон; Ян Ретман (1992). Выборка опроса с помощью модели . ISBN 978-0-387-97528-3.
3. Томас Ламли (https://stats.stackexchange.com/users/249135/thomas-lumley), Как оценить (приблизительную) дисперсию взвешенного среднего значения?, URL (версия: 08.06.2021): https: //stats.stackexchange.com/q/525770
4. Гатц, Дональд Ф.; Смит, Лютер (июнь 1995 г.). «Стандартная ошибка средневзвешенной концентрации — I. Начальная загрузка по сравнению с другими методами». Атмосферная среда . 29 (11): 1185–1193. Бибкод : 1995AtmEn..29.1185G. дои : 10.1016/1352-2310(94)00210-C.- ссылка в пдф
5. Эндлих, РМ; Эймон, BP; Ферек, Р.Дж.; Вальдес, AD; Максвелл, К. (1 декабря 1988 г.). «Статистический анализ измерений химического состава осадков на востоке Соединенных Штатов. Часть I: Сезонные и региональные закономерности и корреляции». Журнал прикладной метеорологии и климатологии . 27 (12): 1322–1333. doi : 10.1175/1520-0450(1988)027<1322:SAOPCM>2.0.CO;2 .
6. «Научная библиотека GNU - Справочное руководство: Взвешенные выборки» . Gnu.org . Проверено 22 декабря 2017 г.
7. «Взвешенная стандартная ошибка и ее влияние на проверку значимости (WinCross против Quantum и SPSS), доктор Альберт Мадански» (PDF) . Аналитическая группа.com . Проверено 22 декабря 2017 г.
8. Прайс, Джордж Р. (апрель 1972 г.). «Расширение математики ковариационного выбора» (PDF) . Анналы генетики человека . 35 (4): 485–490. doi :10.1111/j.1469-1809.1957.tb01874.x. PMID  5073694. S2CID  37828617.
9. Марк Галасси, Джим Дэвис, Джеймс Тейлер, Брайан Гоф, Джерард Юнгман, Майкл Бут и Фабрис Росси. Научная библиотека GNU — Справочное руководство, версия 1.15, 2011 г. Раздел. 21.7 Взвешенные выборки
10. Джеймс, Фредерик (2006). Статистические методы в экспериментальной физике (2-е изд.). Сингапур: World Scientific. п. 324. ИСБН 981-270-527-9.
11. GH Hardy, JE Littlewood и G. Pólya. Неравенства (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-35880-4 , 1988. 
12. Джейн Гроссман, Майкл Гроссман, Роберт Кац. Первые системы взвешенного дифференциального и интегрального исчисления, ISBN 0-9771170-1-4 , 1980. 

дальнейшее чтение

• Бевингтон, Филип Р. (1969). Сокращение данных и анализ ошибок для физических наук . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ОСЛК  300283069.
• Струц, Т. (2010). Подбор данных и неопределенность (Практическое введение в метод взвешенных наименьших квадратов и не только) . Вьюег+Тойбнер. ISBN 978-3-8348-1022-9.

Внешние ссылки

• Дэвид Терр. "Средневзвешенное значение". Математический мир .
• Инструмент для расчета средневзвешенного значения