Столярский средний

В математике среднее значение Столярского является обобщением логарифмического среднего . Оно было введено Кеннетом Б. Столярским в 1975 году. ^[1]

Определение

Для двух положительных действительных чисел x ,  y среднее значение Столярского определяется как:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{p}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\left({\frac {\xi ^{p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\right)^{1/(p-1)}\\[10pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{1/(p-1)}&{\text{else}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Вывод

Она выводится из теоремы о среднем значении , которая гласит, что секущая линия , пересекающая график дифференцируемой функции в точках и , имеет тот же наклон , что и касательная к графику в некоторой точке интервала . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (y,f(y))}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle [x,y]}$

${\displaystyle \exists \xi \in [x,y]\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

Среднее значение Столярского получается следующим образом:

${\displaystyle \xi =\left[f'\right]^{-1}\left({\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right)}$

при выборе . ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$

Особые случаи

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }S_{p}(x,y)}$это минимум .
• ${\displaystyle S_{-1}(x,y)}$это геометрическое среднее .
• ${\displaystyle \lim _{p\to 0}S_{p}(x,y)}$— логарифмическое среднее . Его можно получить из теоремы о среднем значении, выбрав . ${\displaystyle f(x)=\ln x}$
• ${\displaystyle S_{\frac {1}{2}}(x,y)}$— это степенное среднее с показателем . ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle \lim _{p\to 1}S_{p}(x,y)}$— это тождественное среднее . Его можно получить из теоремы о среднем значении, выбрав . ${\displaystyle f(x)=x\cdot \ln x}$
• ${\displaystyle S_{2}(x,y)}$это среднее арифметическое .
• ${\displaystyle S_{3}(x,y)=QM(x,y,GM(x,y))}$является связью со средним квадратичным и средним геометрическим .
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }S_{p}(x,y)}$это максимум .

Обобщения

Можно обобщить среднее значение на n  + 1 переменных, рассмотрев теорему о среднем значении для разделенных разностей для n -й производной . Получаем

${\displaystyle S_{p}(x_{0},\dots ,x_{n})={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}])}$для . ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$

Смотрите также

• Иметь в виду

Ссылки

1. Столярский, Кеннет Б. (1975). «Обобщения логарифмического среднего». Mathematics Magazine . 48 (2): 87–92. doi :10.2307/2689825. ISSN  0025-570X. JSTOR  2689825. Zbl  0302.26003.